Hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên đáy là điểm K thuộc đoạn OB sao cho BK = 2 OK và N là hình chiếu vuông góc của K lên SO.. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường
Trang 1ĐỀ TỰ LUYỆN THPT QUỐC GIA NĂM HỌC 2014- 2015
MÔN TOÁN
Thời gian làm bài : 180 phút
Câu 1* : ( 2 điểm) Cho hàm số y= − +x3 3x 1+
a)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C) của hàm số
2
log − +x 4x m− +log x 0= có duy nhất một nghiệm thực
Câu 2* : (0,5 điểm ) Giải phương trình : sin 2x−(sin x cos x 1 2sin x cos x 3+ − ) ( − − =) 0
Câu 3* : (1 điểm) Tìm môđun của số phức z thỏa mãn số phức z 6 2i
z 2 4i
+ +
− − là số thuần ảo và đồng thời
z 6 i− − =5
Câu 4 : (1 điểm) Giải bất phương trình : (x 1− ) x2+ + >5 x x2+1
Câu 5* : (1 điểm) Tính tích phân : I 1e ln x 12 2 dx
−
=
−
∫
Câu 6 : (1 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O và điểm I là trung điểm
cạnh AD Hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên đáy là điểm K thuộc đoạn OB sao cho BK = 2 OK và N là hình chiếu vuông góc của K lên SO Biết rằng SK = a 3 và SK hợp với mp(SAC) góc 300 Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AN và CI
Câu 7 : (1 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình thang vuông ABCD vuông tại A và
D ; AB = AD , AD < CD ; B(1;2) ; phương trình đường thẳng BD : y =2 Biết rằng đường thẳng
d : 7x-y-25 = 0 cắt các cạnh AD,CD lần lượt tại M,N sao cho BM vuông góc với BC và tia BN
là tia phân giác của ·MBC Tìm tọa độ đỉnh D có hoành độ dương
Câu 8* :(1 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai mặt phẳng (P) : x y z 6 0− + − = , mặt phẳng (Q) : 2x y 2z 1 0+ − + = và đường thẳng D : x 2 y 3 z 4
− = − = −
thuộc mặt phẳng (P) sao cho MN vuông góc với mặt phẳng (Q) và MN = 3
Câu 9* : (0,5 điểm ) Một người có 10 đôi giày khác nhau và trong lúc đi du lịch vội vã lấy ngẫu nhiên 4
chiếc Tính xác suất để trong 4 chiếc giày lấy ra có ít nhất một đôi
Câu 10: (1 điểm) Cho x,y là 2 số thực thỏa mãn 4 4 ( )2
x +16y + 2xy+1 =2 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau : P=x x +3 +2y 4y +3( 2 ) ( 2 )
Hết
Trang 2Đáp án :
b) Dùng đồ thị (C) tìm số nghiệm PT:
1 1
2
x k2 sin x cos x 1
2
⇔ + − + + = + − − −
= π
0,25 0,25
3 Câu 3 : z=a+bi : Đk : z 2 4i≠ +
Theo đề bài :
(L)V
+ + − + = = =
⇒ = − ⇒ =
0,25 0,25
x 1
+ ≤ : loại
( )
2
2
2
x 1
5 x
x 2 4
− + + > + > ⇔ + > + ⇔ + − >
⇔ > ⇔ − > + + ⇔ − > +
− + +
>
− + >
Vậy : x > 2
0,5
0,5
5
Câu 5 :
e
2 1
2
ln x 1 I
ln x
x 1
x
−
=
−
÷
2
−
u(e)= 1
e
1
e
2 0
0
∫
0,5
0,5
Trang 3( ) · ( ) · 0
KN SO⊥ ⇒KN⊥ SAC ⇒SK, SAC =NSK 30=
3 SABCD
OK a, BD 6 a, AB 3a 3
=
⊥ ⇒ ⊥ ⇒ =
0,25 0,25 0,25
0,25
7 Câu 7 : Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên CD
( )
ABM
HBC
V d 3
⇒ = ⇒ ∆ = ∆
∆
= −
=
=
∆
Vậy : D(3;2)
0,5 0,5
( )
Q
Q
2
= −
∈ ⇔ + = −
= ⇔ = ⇔ = ±
= − ⇒ = −
uur
uuuur uur
0,25 0,25 0,5
Số cách lấy 4 chiếc giày tùy ý : C = 4845
Số cách chọn 4 chiếc giày từ 4 đôi ( mỗi chiếc lấy từ một đôi )là :
(số cách chọn 4 đôi từ 10 đôi)×( số cách chọn 4 chiếc)= C24
Xác suất cần tìm là :
4
20 10 4 20
= 969
0,25 0,25
P= x 2y+ −6xy x 2y+ +3 x 2y+ Theo đề bài :
1 ⇔x + 2y = −1 2xy ⇒x + 2y = −1 2xy⇔ x 2y+ = +1 2xy
( )2 (x 2y)2 ( )2 4
+
0,25
Trang 4( vì từ (1) 2 x4 16y4 2 16x y4 4 xy 1 1 2xy 0
2
Đặt t = x+2y : 2xy = t2 -1 : t 2
3
≤ :
3
= = − − + = − + ≤
1
2 1
2
0,25
0,25
0,25