Tính thể tích hình chóp S.ABCD và khoảng cách từ G đến mặt phẳng SAB.. Xác định tọa độ điểm H biết rằng khoảng cách từ H đến đường thẳng nhỏ nhất... Tính xác suất để hai số ghi trên
Trang 1ĐỀ TỰ LUYỆN THPT QUỐC GIA NĂM HỌC 2014- 2015
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số yx43x21 có đồ thị (C)
a*) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)
b*) Dựa vào đồ thị (C) tìm m để phương trình x4 3x2m có 4 nghiệm phân biệt 0
Câu 2 ( 1,0 điểm).
a*) Giải phương trình: sin 2x c os2x2sinx1
b*) Tìm số phức Z thỏa mãn : z1 z2ilà số thực và z i 2
Câu 3* (0.5 điểm) Giải phương trình
2 2
log x x 1 log x x 3
Câu 4 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình
2
Câu 5* ( 1,0 điểm): Tính tích phân:
0
(1 cos )
p
Câu 6 ( 1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng 2a,
góc BAD1200.Mặt bên (SAB) có SA a SB a , 3 và vuông góc với mặt phẳng đáy Gọi
G là trọng tâm tam giác SCD Tính thể tích hình chóp S.ABCD và khoảng cách từ G đến mặt phẳng (SAB)
Câu 7 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường thẳng
d mx y m và đường thẳng :x2y 9 0; điểm B(-3; 2) Gọi H là hình chiếu của B trên d Xác định tọa độ điểm H biết rằng khoảng cách từ H đến đường thẳng nhỏ nhất
Câu 8* ( 1,0 điểm ): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng
:
và mặt phẳng (P): x + 3y + 2z + 2 = 0 Lập phương trình đường thẳng song song với mặt phẳng (P), đi qua M(2; 2; 4) và cắt đường thẳng ()
Câu 9 *(0.5 điểm)
Trang 2Từ các chữ số của tập T 0;1;2;3;4;5 , người ta ghi ngẫu nhiên hai số tự nhiên có ba
chữ số khác nhau lên hai tấm thẻ Tính xác suất để hai số ghi trên hai tấm thẻ đó có ít
nhất một số chia hết cho 5
Câu 10 ( 1,0 điểm) Cho x, y, z là ba số thực tùy ý thỏa mãn x + y + z = 3
Chứng minh rằng với a 1 ta luôn có : 1 1 1
a a a a a a
Câu 1
Trang 3+ y ' 4x36x; 3
0 6
2 6 2
x
x
+ Giới hạn: limx y , limx y
+Hàm số đồng biến trên ; 6
2
2
; nghịch biến trên 6;0
2
6
2
+ Hàm số đạt cực đại tại 6
2
13 4
C
y , Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, yCT = 1
Đồ thị: Điểm đặc biệt: (0; 1), (-1; 3), (1; 3) 0.25
Trang 4Số nghiệm của phương trỡnh là số giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng
Dựa vào đồ thị, phương trỡnh cú 4 nghiệm phõn biệt
0.5
Cõu2
(1đ)
a Biến đổi phơng trình về dạng : 2sinx(cosx1) 2sin 2x0
sinx 0 sinx(sin cos 1) 0
Với s inx 0 x k 2
Với cos2x = 1
2 1
2
x k
, k Z
Vậy phương trỡnh cú 2 họ nghiệm , 2
2
x k x k , k Z
0,25
0,25
b Giả sử z = a + bi ,( ,a b R ) Khi đó: 22 22
( 1) 2
a b
Giải hệ ta đợc a = 1 , b = 0 hoặc 1
5
a , 12
5
b
Vậy z 1 1, 2 1 12
z i
0,25
0,25
Cõu 3
(0.5) đ
ĐK: x
Trang 5PT 2 2 2
x2 x 1 2 x2 x 1 2 0
4
t x x t
Ta được phương trình : 2 2 0 1( )
2( )
t t
2
2
x
x
2
x và 1 5
2
x là nghiệm của phương trình
0.25
0.25
Câu 4
1 đ
ĐKXĐ: x; y
2
2
2
2 2
y x x (1) Thế vào phương trình thứ hai trong hệ, ta có :
x x x x x x
Xét hàm số f t( )t1 t22 với t Ta có
2 2
2
2
t
2
0.25
0.25
0.25
Trang 6Thay 1
2
x vào (1) ta tìm được y1.Vậy hệ đã cho có nghiệm là
1 2 1
x y
0.25
Câu 5
1 đ
0 0
0
x
p p
0.25
Với 2
0
cos
p
Đặt ìïïídv u=xcosxdxÞ ìïïídu v =sindx x
î î Thay vào công thức tích phân từng phần ta được:
0.25
2
Câu 6
(1đ)
*) Tính VS.ABCD
Dễ thấy tam giác SAB vuông tại S
Trong mp(SAB) hạ SH AB ta có
0,25
Trang 7Tính được 3
2
a
.
*) Tính d(G,(SAB))
d I SAB
Ta có CD/ /AB CD/ /(SAB) d I SAB( , ( ))d C SAB( , ( ))a 3 (Hạ CK AB CK (SAB) mà ABC đều cạnh 2a CK a 3)
Vậy ( , ( )) 2 3
3
a
d G SAB
0,25
0,25
0,25
Câu 7
1 đ
Ta có phương trình d mx y m: 4 0 (x1)m(y 4) 0 Suy ra d luôn đi qua điểm cố định A(1; 4), mà BH vuông góc với d nên suy ra H luôn thuộc đường tròn (C) đường kính AB
0.25
Gọi I là tâm của (C) Ta có pt (C): (x1)2(y 3)2 5
Gọi d’ là đường thẳng đi qua I và vuông góc với Khi đó d’ có pt: 2x y 5 0.
0.25
Tọa độ giao điểm của d’ và (C) là nghiệm của hệ phương trình :
0
x
2
y x
Khi đó d’ cắt (C) tại
1(0;5); 2( 2;1)
0.25
Câu 8
1 đ
Trang 8Đường thẳng () cú phương trỡnh tham số:
1 3
2 2
2 2
Mặt phẳng (P) cú VTPT (1; 3; 2)
0.25
Giả sử N(1 + 3t ; 2 2t ; 2 + 2t) (3 3; 2 ;2 2)
Để MN // (P) thỡ . 0 7
Phương trỡnh đường thẳng cần tỡm : 2 2 4
Cõu 9
(0.5)đ
+ Cú 5.A 52 100 số tự nhiờn cú 3 chữ số khỏc nhau + Cú A524.A14 36 số tự nhiờn cú 3 chữ số khỏc nhau và chia hết cho 5
+ Cú 64 số tự nhiờn cú 3 chữ số khỏc nhau và khụng chia hết cho 5
+ n C1001 C991 9900
+ Gọi A là biến cố : “Trong hai số được ghi trờn 2 tấm thẻ cú ớt nhất 1 số chia hết cho 5”
Ta cú: n A C C361 164C C136 351 3564
Vậy :
3564 9
0,36
9900 25
n A
P A
n
0,25
0,25
Cõu 10
(1đ) * Với a = 1 ta thấy BĐT đúng
* Ta xét khi a > 1
Hàm số y= 1 1 t
t y
nghịch biến với t R, khi a > 1
Khi đó ta có
(x y)( x y) 0,
x y R, Suy ra x x y y x y y x
a a a a (1)
0,25
0,25
Trang 9Chứng minh tơng tự y y z z z y y z
a a a a (2) z x z x
a a a a (3)
Cộng vế với vế (1) ,(2) và (3) ta đợc 2( x x y y z z) y z x z x y x y z
Cộng 2 vế của (4) với biểu thức x x y y z z
a a a ta đợc
3( x x y y z z) x y z x x y z y x y z z (x y z)( x y z)
Suy ra 1 1 1
a a a a a a ( do x + y + z = 3 )
Dấu bằng xảy ra khi chỉ khi x = y = z = 1 (đpcm)
0,25
0,25
