Xác định M để đường thẳng và parabol có điểm chung.. Chứng minh:Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP trùng nhau.. Khi M di đông trên đoạn BC v
Trang 1ĐỀ SỐ 7
Ngày 10 tháng 3 năm 2014 Câu 1: (2,0 Điểm) :
Cho biểu thức: P= 3 1 : 3 2 1
a) Rút gọn P
b) Tìm a sao cho P = 2
1
12
a
−
Câu 2: (2,0 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ cho parabol y x = 2 và đường thẳng ( )2
y mx m 2= − − , với m là tham số
1 Xác định M để đường thẳng và parabol có điểm chung
2 Gọi hoành độ các điểm chung của đường thẳng và parabol là x1; x2 tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức : Q x x 2x = 1 2 + 1+ 2x2
Câu 3 :(2điểm)
Giải phương trình : ( 2 ) (4 2 )4
x 3x 3 + + + x + 3x 5 + = 82
Câu 4 :(3 điểm )
Cho Tam giác đều ABC , Trên các cạnh BC; CA; AB lần lượt lấy các điểm M, N, P Sao cho BM
= CN = AP
1 Chứng minh:Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP trùng nhau
2 Gọi I;J;K lần lượt là trung điểm của MN; BC; CA Chứng minh ba điểm I; J; K thẳng hàng
3 Khi M di đông trên đoạn BC và N di động trên đoạn CA Hãy xác định vị trí các điểm M; N để đoạn MN có độ dài nhỏ nhất
Câu 5: (1 điểm)
Cho x; y là hai số thực thỏa mãn điều kiện :
x2013 y + 2013 2x = 1006 1006y
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : S 1 xy = −
**** Hết ****
Họ tên thí sinh: Số báo danh:
Chữ ký của giám thị số 1 Chữ ký giám thị số 2:
Trang 2HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ SỐ 7
m 1
Cho biểu thức:
2
= + − ÷ + ÷
a) Rút gọn (ĐK: - 1 < a < 1)
2
= + − ÷ + = ÷ −
b) Tìm a sao cho 1 2
P
1 a
=
−
Với đk xđ:
a 0 (t/m)
a a 1 0 *
=
⇔ − − =
Giải (*) ta được 1 1 5
a
2
−
= (t/m đ/k) ; 2 1 5
a
2
+
= (không t/m đ/k) Vậy a = 0; 1 1 5
a
2
−
= thì 1 2
P
1 a
=
−
1,0
1.0
2 Trong mặt phẳng tọa độ cho parabol y x = 2 và đường thẳng ( )2
y m x m 2= − − , với m là tham số
1 Xác định m để đường thẳng và parabol có điểm chung
Ta có PT hoành độ: 2 ( )2
x = m x m 2 − − 2 ( )2
x m x m 2 0
⇔ − + − =
2
∆ = − − = − + −
Đường thẳng và đường cong có điểm chung ⇔ ∆ ≥ 0
3
⇔ − + − ≥ ⇔ ≤ ≤
2 Gọi hoành độ các điểm chung của đường thẳng và parabol là x1; x2 tìm giá trị lớn nhất và
nhỏ nhất của biểu thức : Q x x 2x = 1 2 + 1+ 2x2
PT hoành độ có 2 nghiệm x1; x2, áp dụng hệ thức Vi Et ta có:
1 2
2
1 2
x x m 2
+ =
= −
Thay vào Q ta có: ( )2 2 ( )2
Q = m 2 − + 2m m = − 4m 4 + = m 2 − ≥ 0
∀m
Dấu bằng xảy ra ⇔ m = 2 ( t/m đ/k)
Vậy giá trị nhỏ nhất của Q là 0 và đạt khi m = 2
1.0
0.5
0.5
3 Giải phương trình : ( 2 ) (4 2 )4
x 3x 3 + + + x + 3x 5 + = 82 Đặt x 3x 4 = t2 + + ta có PT: ( ) (4 )4
t 1 − + + t 1 = 82
t 6t 40 0
t 4
= −
+ − = ⇔ =
Với t = -10 ⇒ x 3x 4 = -10 PT VN2 + +
1.0
1.0
Trang 3Với t = 4 ⇒ x 3x 4 42 x 0
=
+ + = ⇔ = −
Vậy PT có 2 nghiệm x = 0; x = - 3
4 1 Chứng minh:Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và tâm đường tròn ngoại tiếp tam
giác MNP trùng nhau
G
N
A
B
P
Gọi G là tâm đường tròn ngoại tiếp
∆ABC ⇒ G là trọng tâm, giao ba phân giác của ∆ABC
C/m ∆AGP = ∆BGM = ∆CGN ⇒ GP
= GM = GN ⇒ G là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP
2 Gọi I;J;K lần lượt là trung điểm của MN; BC; CA Chứng minh ba điểm I; J; K thẳng
hàng
K
I G
J
N
B
A P
E
JK là đường trung bình của ∆ABC ⇒ JK //AB (1)
Qua M vẽ đường thẳng // CA cắt AB tại E ⇒ ∆BEM đều ⇒ ME = BM ⇒ ME = CN ⇒
□MENC là hình bình hành ⇒ CE cắt MN tại trung điểm của mỗi đường, nên I là trung điểm
của CE ⇒ KI // AE (2)
Từ (1) & (2) ⇒ J, I, K thẳng hàng (ƠCLit)
3 Khi M di đông trên đoạn BC và N di động trên đoạn CA Hãy xác định vị trí các điểm M;
N để đoạn MN có độ dài nhỏ nhất
G
J
N
A
B
P
∆GMN cân có ∠MGN = 120o
không thay đổi, nên MN nhỏ nhất
⇔ GM nhỏ nhất
⇔ GM = GJ
⇔ M ≡ J (là trung điểm của BC)
& N là trung điểm của AC
1,0
0,25
0,5 0,25
1,0
5
Cho x; y là hai số thực thỏa mãn điều kiện x2013 y + 2013 2x = 1006 1006y
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : S 1 xy = −
Ta thấy
2013 2013 1006 1006
2013 2013
1006 1006
x y 2x y
x y 0 2x y 0
≥ ⇒ trong hai số x và y có ít nhất có một số dương
TH1 x.y ≤ 0 thì S 1 0 ≥ − ⇒ ≥ S 1
TH2 x > 0; y > 0 thì áp dụng BĐT Co Si cho hai số dương ta được:
Trang 42013 2013 2013 2013
x y + ≥ 2 x y (1)
Theo đề ra có x2013 y + 2013 2x = 1006 1006y (2)
Thay (2) vào (1) ta có:
1006 1006 2013 2013 1006 1006 1006 1006
⇔ ≤ ⇔ ≤ ⇔ − ≥ − ⇔ − ≥ ⇔ ≥
Dấu bằng xảy ra ⇔ x = y, thay vào (2) ta được x = y = 1
Vậy kết hợp 2 trường hợp ta được MinS = 0 đạt khi x = y = 1 1.0