Đề kiểm tra Học sinh gỏi Toán lớp 6 là một tài liệu giúp các bạn có thể tham khảo trong việc áp dụng vào giảng dạy bộ mônToán 6, đồng thời cũng có thể giúp các bậc phụ huynh tham khảo, kiểm tra trình độ của con em mình...
Trang 1UBND HUYỆN VŨ THƯ
PHềNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
ĐỀ KHẢO SÁT CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
Năm học 2013-2014
Mụn: TOÁN 6
(Thời gian làm bài: 120 phỳt)
Bài 1: ( 4 điểm) Thực hiện phép tính (một cách hợp lý nếu có thể)
1) A = 1 + 2 - 3 - 4 + 5 + 6 - … - 2011 - 2012 + 2013 + 2014
2)
4 25.49 24 7 11 2011 13
:
12 12 12 12
2011 13 7 11
=
Bài 2: ( 5 điểm)
1) Tìm x biết:
21 28 36 45+ + + + + x x 1 = 9
+ 2) Tìm số nguyên tố p sao cho p + 10 và p + 20 đều là số nguyên tố
3) Có 10 ngời, tuổi của mỗi ngời là một số tự nhiên Tổng số tuổi của 9 ngời trong
10 ngời đó là 82; 83; 84; 85; 87; 89; 90; 90; 91; 92 Tìm tuổi của ngời trẻ nhất và tuổi của ngời già nhất
Bài 3: ( 5 điểm)
1) Cho C = + + +31 32 33 3+ 330 +3331
a) Chứng minh rằng C không chia hết cho 13
b) Số C có phải là số chính phơng không? Vì sao?
2) Cho a, b, c, d là các số nguyên
Biết tích cd là số liền trớc của tích ab và a + b = c + d Chứng minh rằng a = b
Bài 4: ( 5 điểm)
Cho góc xOy = 1000 và góc xOz = 500 Vẽ tia Ot nằm giữa hai tia Ox và Oy sao cho góc yOt = 750
1) Tính số đo của góc xOt
2) Tia Ot là tia phân giác của góc nào? Vì sao?
Bài 5: (1 điểm): Cho 233 233 233 23 3 23 3
So sánh D với 2
3
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
Trang 2§¸p ¸n vµ biÓu ®iÓm
§Ò kh¶o s¸t chÊt lîng häc sinh giái
N¨m häc 2013 - 2014 M«n To¸n líp 6
Bµi 1
4®iÓm 1 A = 1 + 2 - 3 - 4 + 5 + 6 - … - 2011 - 2012 + 2013 + 2014 2,0
®iÓm
Sè sè h¹ng cña A lµ: 2014 sè h¹ng
A = 1+ (2 -3 -4+5)+(6-7-8+9)+… + (2010-2011-2012+2013)+2014
A = 1 + 0 + 0 + … + 0 + 2014 ( cã 503 sè h¹ng lµ 0)
A = 2015
0.25 1,0 0,5 0,25
4 25.49 24 7 11 2011 13
:
12 12 12 12
2011 13 7 11
=
2,0
®iÓm
(24 1 49 24) 4 1 17 11 2011 131 1 1
:
2011 13 7 11
4 1 24.49 49 24: 7 11 2011 13
25 49.24 12 1
7 11 2011 13 24.49 25 1
: 24.49 25 3 1
1:
3 3
B
B
B B B
=
=
+
=
+
=
=
1,0
0,5
0,5
Bµi 2
(5®iÓm) 1 T×m x biÕt:
21 28 36 45+ + + + + x x 1 =9
+
2,0
®iÓm
+
+
+
x x
x x
x x
0,25 0,25
0,25 0,25
Trang 31 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2
2
1 3 9
1 9
1 18
1 18 17
+
+
+
+
+
+
⇒ + =
⇒ =
x x x x
x x x
Vậy x = 17
0,25
0,25 0,25
2 Tìm số nguyên tố p sao cho p + 10 và p + 20 đều là số nguyên tố 1,5
điểm
Lấy p chia cho 3 xảy ra 3 trờng hợp về số d: d 0, d 1, d 2 + Nếu p chia cho 3 d 0 ⇒ pM3
Mà p là số nguyên tố nên p = 3 Khi đó p + 10 = 13; p + 20 = 23 đều là các số nguyên tố ( thoả mãn) + Nếu p chia cho 3 d 1 ⇒ =p 3.k +1(k N∈ *)
( )
20 3 1 20 3 21 3 7 3
Mà p + 20 > 3 ⇒ p + 20 là hợp số (loại) + Nếu p chia cho 3 d 2 ⇒ =p 3.k +2(k N∈ *)
( )
10 3 2 10 3 12 3 4 3
Mà p + 10 > 3 ⇒ p + 10 là hợp số (loại) Vậy p = 3 là số nguyên tố phải tìm
0,5
0,5
0,5
3 Có 10 ngời, Tuổi của mỗi ngời là một số tự nhiên Tổng số tuổi
của 9 ngời trong 10 ngời đó là 82; 83; 84; 85; 87; 89; 90; 90; 91; 92
Tìm tuổi của ngời trẻ nhất và tuổi của ngời già nhất
1,5
điểm
Tổng số tuổi của 10 ngời là:
(82 + 83 + 84 + 85 + 87 + 89 + 90 + 90 + 91 + 92): 9 = 97 Nên tuổi của ngời trẻ nhất là:
97 - 92 = 5 Tuổi của ngời già nhất là:
97 – 82 = 15 Trả lời: Ngời trẻ nhất 5 tuổi; ngời già nhất 15 tuổi
0,75 0,25 0,25 0,25 Bài 3
(5điểm) 1 Cho C = + + +31 32 33 3+ 330 +3331
a) Chứng minh rằng C không chia hết cho 13 b) Số C có phải là số chính phơng không? Vì sao?
3,0
điểm
a) Chứng minh rằng C không chia hết cho 13 Tổng C gồm 331 số hạng
Ta có
2,0
điểm
0,25
Trang 4
3 3 3 3 3
C
(C gồm (331 -1) : 3 + 1 = 111 tổng nhỏ )
C = 3 + 3 1 3 3 3 1 3 3 3 1 3 3
C = 3 + 3 13 + 3 13 3 13
C = 3 + 13 3 3 3
Ta thấy 13 3( 2 + +35 3+ 329) 13M nhng 3 không chia hết 13
Do đó C không chia hết cho 13
0,5 0,5
0,5 0,25
b) Số C có phải là số chính phơng không? Vì sao?
Ta thấy C luôn chia hết cho 3
Ta lại có 3 92 M nên 3 9, 3 9, , 3 93 M 4 M 331 M Nhng 3 không chia hết cho 9
Do đó C không chia hết cho 9 Vậy C chia hết cho 3 nhng C không chia hết cho 9 Chứng tỏ C không phải là số chính phơng
1,0
điểm
0,5 0,25 0,25
2 Cho a, b, c, d là các số nguyên Biết tích cd là số liền trớc của tích
ab và a + b = c + d Chứng minh rằng a = b 2,0
điểm
Ta có a + b = c + d suy ra d = a + b - c
Mà tích cd là số liền trớc của tích ab nên a.b - c.d = 1 Suy ra a.b - c.( a + b - c) = 1
⇒ a.b - a.c - b.c + c2 = 1 ⇒ a.(b - c ) - c.(b - c) = 1 ⇒(b - c).(a - c) =1 (*) Vì a,b,c,d là các số nguyên nên b - c ∈ Z ; a - c ∈ Z Nên từ (*) suy ra a - c = b - c = 1 hoặc a - c = b - c = - 1
⇒ a - c = b - c ⇒a = b (Điều phải chứng minh)
0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 Bài 4
5,0
điểm
Cho góc xOy = 1000 và góc xOz = 500 Vẽ tia Ot nằm giữa hai tia
Ox và Oy sao cho góc yOt = 750
1) Tính số đo của góc xOt 2) Tia Ot là tia phân giác của góc nào? Vì sao?
5,0
điểm
TH1: tia Oy và Oz cùng thuộc nửa mặt phẳng có bờ là Ox TH2: tia Oy và Oz thuộc 2 nửa mặt phẳng đối nhau có bờ là Ox
1 1) Tính số đo của góc xOt
Theo bài ra tia Ot là tia nằm giữa 2 tia Ox và Oy:
1,0
điểm
0,25
O
y
x
z t
O
y
x z
t
100 0
100 0
50 0
75 0
Trang 5Mà xOy = 1000 và tOy = 750
Suy ra: xOt + 750 = 1000 ⇒ xOt = 250
0,5
2 2) Tia Ot là tia phân giác của góc nào? Vì sao?
TH1: tia Oy và Oz cùng thuộc nửa mặt phẳng có bờ là Ox
Ta có: xOt = 250
Mặt khác xOz = 500
Suy ra: xOt < xOz (vì 250 < 500)
⇒Tia Ot nằm giữa 2 tia Ox và Oz
⇒ xOt + tOz = xOz ⇒ tOz = 250
Ta có : Tia Ot nằm giữa 2 tia Ox và Oz
xOt = tOz = 250
Do đó tia Ot là tia phân giác của xOz
TH2: tia Oy và Oz thuộc 2 nửa mặt phẳng đối nhau có bờ là Ox
Theo bài ra tia Ot là tia nằm giữa 2 tia Ox và Oy nên tia Ot và Oy
cùng nằm trên một nửa mặt phẳng bờ là đờng thẳng chứa tia Ox
Mà tia Oy và Oz thuộc 2 nửa mặt phẳng đối nhau có bờ là Ox
Suy ra tia Ot và Oz thuộc 2 nửa mặt phẳng đối nhau có bờ là Ox
Do đó tia Ox nằm giữa 2 tia Ot và Oz
⇒ xOt + xOz = zOt ⇒ zOt = 750
- Lý luận chỉ ra tia Ot nằm 2 tia Oz và Oy
- Chỉ ra yOt = zOt = 750
KL: Ot là tia phân giác của yOz
3,75
điểm 1,75
điểm
0,5 0,5 0,5 0,25
2,0
điểm
0,5 0,5 0,5
0,5
Bài 5
1,0
điểm Cho
D= + + + + + So sánh D với 2
3
1,0
điẻm
D
Ta có:
3
3 =3.3.3 1.3.5 1.3 3.5< = −
3
5 = 5.5.5 3.5.7 3.5 5.7< = −
3
7 =7.7.7 5.7.9< = 5.7 7.9− ………
2011 = 2011.2011.2011 2009.2011.2013 < = 2009.2011 2011.2013 −
0,25
0,5
Trang 64 3 4 4 1 1
2013 = 2013.2013.2013 2011.2013.2015 < = 2011.2013 2013.2015 −
Suy ra 43 43 43 4 3 4 3 1 1 1
3 +5 + 7 + + 2011 + 2013 <1.3 2013.2015 3− <
Do đó: D < 2 = 1 2
0,25
Chú ý: -Trên đây chỉ là hớng dẫn một cách giải cụ thể Các cách giải khác hợp lý,
cho kết quả đúng vẫn cho điểm tối đa.
- Điểm toàn bài bằng tổng điểm từng phần Không làm tròn.