Đề thi thử HSG 11 môn toán

Gọi M là trung điểm của cạnh BC.. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và OM... Vậy Un là dãy tăng.

ĐỀ THI THỬ CHỌN HSG LỚP 11 THPT NĂM HỌC 2012 – 2013

ĐỀ THI MÔN: TOÁN 11

Dành cho học sinh THPT không chuyên Thời gian 180 phút, không kể thời gian giao đề

Câu 1 (2 điểm).

os2 os6 4(3sinx 4sin 1) 0

b) Giải phương trình: 4 x2 + + = +x 1 1 5x+ 4x2 − 2x3 −x4

Câu 2 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình:

2 2

1







Câu 3 (1 điểm) Cho m là số nguyên thỏa mãn : 0 < <m 2013 Chứng minh rằng:

( 2012)!

!.2013!

m

m

+

là một số nguyên.

Câu 4 (1,5 điểm)

Cho dãy số (Un) xác định bởi:

1

2 1

3 1 ( 4), 1, 2,3,

5

u

=







Chứng minh rằng (Un) là dãy số tăng nhưng không bị chặn trên

Đặt

1

1 , 1, 2,3,

3

n

n

u

=

+

∑ Tính: xlimv n

→+∞

Câu 5 (1điểm) Tìm giới hạn 3

0

1 tan 1 sin lim

x

L

x

→

=

Câu 6 (1,0 điểm) Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: x2 + + =x 2 y2

Câu 7 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho (C) có phương trình:

( ) (2 )2

x− + +y = tâm I và điểm A(1 + 3; 2) Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi

qua A đều cắt (C) tại hai điểm phân biệt Viết phương trình đường thẳng d đi qua A cắt (C) tại hai điểm phân biệt B, C sao cho tam giác IBC nhọn và có diện tích bằng 4 3 Câu 8 (1,5 điểm)

Cho tứ diện OABC có đáy OBC là tam giác vuông tại O, OB = a, OC = a 3 (a> 0) và

đường cao OA =a 3 Gọi M là trung điểm của cạnh BC Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và OM

Hết

-Họ và tên thí sinh:……… Số báo danh:………

ĐÁP ÁN THI THỬ HSG LỚP 11 – MÔN: TOÁN 11

Dành cho học sinh THPT không chuyên Thời gian 180 phút không kể thời gian giao đề

Câu1

1điểm

a)

1 os2 (1 os6 ) 4sin3x+2 0

2 os 2sin 3 4sin 3 2 0

os sin 3 1 0

sin 3 1

x

x

=



6 3

x

π π

 = +



 = − +



¢

Vậy phương trình có nghiệm là: ,

2

b)

1điểm

4 x x 1 (x x 1) 7 x x 1 5

1 ,

2

t = x + +x t≥ Khi đó phương trình trở thành:

4t= − +t 7t − ⇔ − 5 t 7t + + = ⇔ − 4t 5 0 t 6t + − 9 (t − + = 4t 4) 0

2

1 0

5 0

 − − =



0,25

2

t≥ thì t2 − − =t 1 0 có nghiệm 1 5

2

2

t≥ thì t2 + − =t 5 0 có nghiệm 1 21

2

• Khi 1 5

2

t= + thì 2 1 5 2 2

2

+ + = ÷÷ ⇔ + − − =

1 3 2 5 2

2

0,25

• Khi 1 21

2

t=− + thì 2 1 21 2 2

2

1 19 2 21 2

2

0,25

Câu 2

1điểm

2 2







y ≥ ⇔ − =x y y − − x +

0,25

Kết hợp với (2) ta được hệ:

2 2

2

2 2

2 1



0

x= thế vào (2) y2 = ⇔ = ± 1 y 1

2

y= x thế vào (2) 2 1 2

x = ⇔ = ±x ⇒ = ±y

0,25

0,25

Thử lại ta có: x= 0,y= 1 và 1 , 2

Vậy hệ phương trình có nghiệm : ( ; ) ( )0;1 ; 1 ; 2

3 3

0,25

Câu3

1điểm

( 2012)! 2013 ( 2013)! 2013

!2012! 2013 !2013! 2013

Suy ra: ( ) 2012 2013

2012 2013

2013 m 2013. m

Tức là: ( ) 2012

2012

2013 m

m+ C + chia hết cho 2013 ( do 2012

2012

m

2013

m

C + là các số

Vì: 2013 là số nguyên tố và 0<m<2013 nên ƯCLN(m,2013) = 1 0,25 Vậy: 2012

2012

m

C + chia hết cho 2013 hay ( 2012)!

!.2013!

m m

+

là một số nguyên 0,25

Câu4

1,5

Điểm

• Ta có:

Xét hàm số: f u( ) =u2 + +u 4 là hàm số đông biến trên 1;

2

− +∞

1 15

f − = < =u Suy ra u n+1 >u n >u n−1 > =u1 3, ∀ =n 1, 2,

Vậy (Un) là dãy tăng Từ đó, u n >u1 , ∀ =n 1, 2,

0,25

+ Nếu (Un) bị chặn trên thì nó có giới hạn Giải sử xlimu n a a( 3)

1

Điều này không xảy ra vì a≥ 3 Vậy dãy (Un) không bị chặn trên

0,25

• Ta có: lim n lim 1 0

x

n

u

u

+ Ta có:

1

5

Do đó:

lim

n n

v

∑

Vậy limv n = 1

0,25

1 tan 1 sin

L

2

Câu 5

3 3

0

sin lim

.cos 1 cos 1 tan 1 sin

x

x

→

=

3 3 0

lim

4 cos 1 cos 1 tan 1 sin

x

x

→

Câu 6

1điểm

Ta có:

2 2 1 2 2 1 7 7.1 1.7 ( 7).( 1) ( 1).( 7)

0,5

• 22y y+−22x x− =+ =1 71 1 ⇔x y==12

• 22y y+−22x x− =+ =1 11 7⇔x y= −=22

0,25

• 22y y+−22x x− = −+ = −11 71⇔x y= −= −22

• 22y y+−22x x− = −+ = −11 17⇔x y== −12

Vậy phương trình có 4 nghiệm nguyên:

( ; )x y = 1; 2 , 1; 2 , 2; 2 , 2; 2 − − −

0,25

Câu 7

1điểm

Đường tròn (C) có tâm I(1;-1) , Bán kính R= 4.

• IA= 3 9 2 3 4 + = < suy ra điểm A nằm trong (C) vậy mọi đường

thẳng đi qua A đều cắt (C) tại hai điểm phân biệt

0,25

IBC

0 0

60 3

BIC



0,25

• Đường thẳng đi qua A, nhậnn a b ar( ; ) ( 2 +b2 ≠ 0) có phương trình

( 1 3) ( 2) 0 ( ; ) 2 3

a x− − +b y− = ⇒d I BC =

2

2 2

3 3

a b

+

0,25

Chọn a= 1,b= 3 có d: 3x+ 3y− 3 9 0 − =

Vậy d: 3x+ 3y− 3 9 0 − = thỏa mãn yêu cầu bài toán 0,25

1,5

điểm

B

S

O

M K

H

Gọi N là điểm đối xứng với C qua O

Ta có: OM song song với BN ( tính chất đường trung bình)

0,5

Kẻ OK ⊥BN OH, ⊥ AK K BN H( ∈ , ∈AK)

Ta có: (SBN) ⊥ (OAK)

( ,( ))

Từ tam giác vuông OAK và OBN ta có:

a OH

Vậy, ( , ) ( ,( )) 15

5

a

- Hết