đề toán thi thử năm 2015 đề số 79.pdf

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị H của hàm số 1.. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại giao điểm của đồ thị và đường thẳng y = 4.. Viết phương trình mặt phẳng P đi qua

TRƯỜNG THPT SÔNG LÔ

(Đề thi có 01 trang)

ĐỀ KTCL ÔN THI THPT QUỐC GIA LẦN 2 NĂM 2015

Môn thi : TOÁN

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề

Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số 2

1

x y x





 (1)

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số (1)

b Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại giao điểm của đồ thị và đường thẳng y = 4

Câu 2 (1,0 điểm)

a Giải phương trình: cos 2x 7 cos x 4 0

b Một hộp có 7 bút bi xanh, 8 bút bi đỏ và 5 bút bi đen chỉ khác nhau về màu, lấy ngẫu nhiên từ hộp trên

3 bút bi Tính xác suất để trong 3 bút lấy ra có đủ 3 màu

Câu 3 (1,0 điểm) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:

2

1

y

x



 trên đoạn

1

; 2 2

 

 

Câu 4 (1 điểm) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số:

2 1

yx  x và yx4 x 1

Câu 5 (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A1;1; 2 , B 1;0;1 ,   

C 1;1;0 và D 2; 1; 2    

a Viết phương trình mặt phẳng ( P ) đi qua ba điểm B, C, D

b Viết phương trình mặt cầu ( S ) có tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (P)

Câu 6 (1 điểm) Cho hình chóp đều S ABCD có cạnh bên và cạnh đáy cùng bằng a , gọi M là trung điểm của SC Một mặt phẳng  P chứa AMvà song song với BD, lần lượt cắt SB SD, tại I K, Tính theo a thể tích khối đa diện SMIAK

Câu 7 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC cân tại A, phương trình đường trung tuyến

kẻ từ đỉnh A là d: 2x  y 3 0 Biết đỉnh B thuộc trục hoành, đỉnh C thuộc trục tung và diện tích tam giác ABC bằng 5 Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C của tam giác ABC

Câu 8 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình:

2 2

2 2

12 , , 12

x y x y

x y

y x y



 



Câu 9 (1,0 điểm) Cho 3 số thực dương a b c, , thoả mãn abc1 Chứng minh rằng:

1

b a  c b a c 

-Hết -

Cán bộ coi thi không được giải thích gì thêm

Họ và tên thí sinh Số BD

TRƯỜNG THPT SÔNG LÔ

(HD chấm có 05 trang)

HƯỚNG DẪN CHẤM KTCL ÔN THI THPTQG LẦN 2 NĂM 2015

Môn thi : TOÁN

I LƯU Ý CHUNG

- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có Khi chấm bài học sinh làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa

- Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn

- Với bài hình học không gian (câu 6) nếu thí sinh không vẽ hình hoặc vẽ sai ở phần nào thì không cho điểm tương ứng với phần đó

II ĐÁP ÁN

a

Cho hàm số 2

1

x y x





 (1)

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số (1)

1,0

1) Tập xác định: D \ 1 

2) Sự biến thiên

+)

 2

3

1

y x



 suy ra hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định

Giới hạn: lim lim 1

     đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị

       đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị 0,25 + Bảng biến thiên:

-1 1

1

+

-

+

-

y y' x

0,25

3) Đồ thị: Đồ thị cắt trục toạ độ tại các điểm: A(-2; 0) và B(0; -2)

Đồ thị nhận giao điểm của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng

4

2

-2

-4

x

f x   = x+2 x-1

I

O 1

1

0,25

b Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại giao điểm của đồ thị và đường

Phương trình hoành độ giao điểm: 2 4

1

x x





 1

2 4( 1)

x







1

2 2

x

x x





 M(2; 4) là giao điểm của đồ thị và đường thẳng y = 4

0,25

 2

3 '

1

y

x





hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm M(2; 4) là: k y' 2 

 2

3

3

2 1



Phương trình tiếp tuyến là: y 3x     2 4 y 3x 10

0,25

cos 2x 7 cos x 4 0  2

2cos x7 cosx 3 0

1 cos

2 cos 3

x x

  







 



0,25

1 cos

2

x

3

x   k  k

b Một hộp có 7 bút bi xanh, 8 bút bi đỏ và 5 bút bi đen chỉ khác nhau về màu, lấy

ngẫu nhiên từ hộp trên 3 bút bi Tính xác suất để trong 3 bút lấy ra có đủ 3 màu

0,5

Lấy 3 bút ngẫu nhiên có 3

20 ( ) 1140

Gọi A là biến cố: “Lấy 3 bút có đủ 3 màu”, ta có n A( )7.8.5280

Xác suất : ( ) 14

57

3

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:

2

1

y

x



 trên đoạn

1

; 2 2

 

 

1,0

Hàm số

2

1

y

x



 liên tục trên đoạn

1

; 2 2

 

y  (2 2)( 1) (2 2 2 2) 2 22

1

; 2 2

x  

1

2

1

2

x

x



   



0,25

Ta có: f(0)2, 1 5

f  

10 (2) 3

f 

Vậy

2 ;2 2 ;2

10 min 2 , max

3

4

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số: 2

1

yx  x và

4 1

yx  x

1,0

Phương trình hoành độ giao điểm:

x   x x   x x x   x x 

0,25

Vậy diện tích cần tìm là: 1 2 4

1



2 4 1



1

3 5

1



0,25

5

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A1;1; 2 , B 1;0;1 ,   

C 1;1;0 v D 2; 1; 2 à  

1,0

a Viết phương trình mặt phẳng ( P ) đi qua ba điểm B, C và D 0,5

Cặp véc tơ chỉ phương của mặt phẳng (P) là :

 2 ;1 ; 1 

BC    , BD1; 1; 3  

Véc tơ pháp tuyến của (P) là nBC B, D   4; 7;1 0,25

Phương trình mặt phẳng (P): 4 x 1   7 y 0     z 1 0

Vậy phương trình mặt phẳng (P) : 4x 7y z 3 0.    0,25

b Viết phương trình mặt cầu (S) tâm A, tiếp xúc với mặt phẳng (P) 0,5

Bán kính     4.( 1) 7 2 32 2 2 2

R d A, P

66

4 7 ( 1)

   

Phương trình mặt cầu (S):   2  2 2 2

33

6 Cho hình chóp đều S ABCD có cạnh bên và cạnh đáy cùng bằng a , gọi M là

trung điểm của SC Một mặt phẳng  P chứa AM và song song với BD, lần

lượt cắt SB SD tại ,, I K Tính theo a thể tích khối đa diện SMIAK

1,0

K

G M

H

B C

D

S

A

Gọi H là tâm hình vuông ABCDSH SAC

Gọi GSHAM, suy ra K G I, , cùng thuộc giao tuyến của hai mp SAC và 

 P

Mà  P / /BDKI / /BD (1)

0,25

Vì M H, lần lượt là trung điểm SC AC, nên G là trọng tâm của

SAC

3

SG SH

3

SI SB

Lại có ACa 2 SAC vuông cân tại S

2

a SH

1 2 1

2 3 3

SAMI SABC

V  SC SB   ,

3

1 1

SABC

a

3 1

a

Tương tự

3 1

a

3 2 18

a

0,25

7 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC cân tại A, phương trình đường trung

tuyến kẻ từ đỉnh A là d: 2x  y 3 0 Biết đỉnh B thuộc trục hoành, đỉnh C

thuộc trục tung và diện tích tam giác ABC bằng 5 Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C

của tam giác ABC

1,0

Giả sử B b( ;0),C 0;c BC  b c;  Gọi H là trung điểm của BC ;

2 2

b c

H 

  Một vectơ chỉ phương của đường thẳng d là u  1; 2

0,25

BC u

H d



Suy ra B(4;0),C0; 2 

0,25

Ta có BC 2 5,H2; 1 , diện tích tam giác ABC là

1

2

S  AH BC  AH 

0,25 Giả sử A t ;3 2 t Ta có 5 1

3

t AH

t





 Suy ra A(1; 1) hoặc A(3; -3) 0,25

8

Giải hệ phương trình:

2 2

2 2

12 12

x y x y

y x y





 

Điều kiện: | | | |x  y Đặt u x2 y2, u 0

v x y





 

Vì x y không thỏa hệ nên xét x y ta có

2 1

2

u

v

Hệ phương trình đã cho có dạng:

2 12

12 2

u v

v v

 







4 8

u v





 hoặc

3 9

u v





 

0,25 +

2 2



 

+

2 2



 

Tập nghiệm của hệ phương trình ban đầu là S     5;3 , 5; 4 

0,25

9 Cho 3 số thực dương , ,a b c thoả mãn abc1

b a  c b a c 

1,0

Ta có

1

a ba

b a  a ba 

 

Tương tự:

1 2

b bc

c b 

 

c ac

a c 

 

0,25

Cộng các vế của các BĐT trên ta có:

0,25

=

1

bc bca babc b cbb bc bac

bc b b cbb bc 

      (điều phải chứng minh)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1

0,25

-Hết -