đề tự luyện THPT QG môn toán đề số 1

Gọi M là trung điểm của SA.. Mặt phẳng BCM cắt SD tại N.. Tính thể tích khối chóp S.BCMN và khoảng cách giữa SB và AC.. Viết phương trình đường tròn C có tâm I thuộc d3, cắt d1 tại A và

ĐỀ TỰ LUYỆN THPT QUỐC GIA NĂM HỌC 2014- 2015

Môn: TOÁN

Thời gian làm bài: 180 phút

Câu 1( 2 điểm) : Cho hàm số y  x3 3 x2 1

a*) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên

b*) Dựa vào đồ thị biện luận theo m số nghiệm của phương trình x3 3x2m0

Câu 2 ( 1 điểm ) :

a*) Giải phương trình: 2sin2x + 3cosx – 2 = 0

b*) Tìm số phức liên hợp của

1 (1 )(3 2 )

3

i



Câu 3* ( 0,5 điểm): Giải phương trình 2x 23 x 2 0

Câu 4 (1,0 điểm) Giải phương trình: x4 x2    1 x x (1  x2)

Câu 5* ( 1 điểm): Tính Tích phân 2

0

cos





Câu 6 (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA a  , SA  (ABCD) Gọi M là trung điểm của SA Mặt phẳng (BCM) cắt SD tại N Tính thể tích khối chóp S.BCMN và khoảng cách giữa SB và AC.

Câu 7( 1,0 điểm):

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho 3 đường thẳng d x1:  2 y  6 0  ; d x2:  2 y  0 và

d x y    Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I thuộc d3, cắt d1 tại A và B, cắt d2 tại

C và D sao cho tứ giác ABCD là hình vuông.

Câu 8 *( 1 điểm ) : Cho mặt cầu (S): x2 y2 z2 2 x  6 y  8 z   1 0

a) Xác định tọa độ tâm I và bán kính r của mặt cầu (S).

b) Viết phương trình mp(P) tiếp xúc với mặt cầu tại M(1;1;1).

Câu 9* (0.5 điểm) Cho khai triển:

 3 x  1 2n a0 a x a x1  2 2  a xk k  a x2n 2n

, k n N,  ;0 k 2n

Biết rằng: a0 a1 a2    1 k ak   a2n  4096 Tìm hệ số của x8 trong khai triển.

Câu 10 (1,0 điểm) Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn: x y z  1

Tìm giá trị nhỏ nhất của: P x y y z z x

xy z yz x zx y

c)

d) ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM THI

Câu

1

(1,0) )

a  TXĐ: D = R.

 y  ' 3x2 6x

' 0 3x 6x=0

2

x y

x







 Giới hạn: lim , lim

       

0.25

 Bảng biến thiên:

0.25

 Hàm số đồng biến trên (0 ; 2); hàm số nghịch biến trên ( ;0) và (2;)

 Hàm số đạt cực đại tại x = 2, yCĐ = 3; hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, yCT = -1 0.25

 Đồ thị: Điểm đặc biệt: (0;-1), (-1; 3), (3; -1), (1; 1) 0.25

b  x3 3x2m  0 x33x21 m 1

 Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số y  x3 3 x2 1 với đường thẳng y = m – 1

0,5

Vậy

m    m  : Phương trình có 1 nghiệm

m    m  : Phương trình có 2 nghiệm

3  m     1 1 4  m  0: Phương trình có 3 nghiệm

m    m  :Phương trình có 2 nghiệm

m     m  : Phương trình có 1 nghiệm

0,5

Câu 2

(1,0) a, 2sin2x + 3cosx – 2 = 0 (1)

 Pt (1)  2(1 – cos2x) + 3cosx – 2 = 0  2cos2x – 3cosx = 0 (*)

 đặt t = cosx (t ≤ 1)

 Pt (*) trở thành : 2t2 – 3t = 0 

t = 0 3

t = 2









So sánh điều kiện t = 0 thỏa mãn

 Với t = 0  cosx = 0  x = k2 (k  Z))

Vậy nghiệm của phương trình là : x = k2 (k  Z))

0,25

0,25

i i

Suy ra số phức liên hợp của z là: 53 9

10 10

Câu 3 ( 0,5 điểm)

2

x



Đặt t  2 ,x t  0 Phương trình trở thành:

2 8 0

2 ( )

t nhan

t t

t loai





     



0.25

t    x Vậy phương trình có nghiệm x = 2.

0.25

Câu 4

(1đ)

ĐK:x1hoac0 x 1 TH1: Với x = 0 không phải nghiệm của phương trình

TH2: Với x  0

* Với 0   x 1

2

2

      Khi đó ta được phương trình

2

4 2

1

2 2 0

t

t t t





   



0,25

0,25

* Với x  Ta có 1 2

2

1 1

2

2

      Khi đó ta được t43  t 1 t 1

1 0

2

x  x   x 

So sánh đk ta được nghiệm 1 5

2

x  .Vậy pt đã cho có nghiệm 1 5

2

x 

0,25

0,25

Câu 5

(1)đ

2 0

cos







2

0



0,5

0,5

Câu 6

(1)đ

Do (BCM) // AD nên mp này cắt mp (SAD) theo giao tuyến MN // AD.

Ta có

BC AB

BC BM

BC SA











Tứ giác BCMN là hình thang vuông có BM là đường cao,

5

;

MN  BM 

.

Diện tích hình thang BCMN là

2

5

BCMN

a a a

a S



.

‘0.5

Dụng SK  BM , do BC(SAB) BCSK SK (BCMN)

Có

5 ( , )

5

a

SK d A BM 

Vậy

.

S BCMN

Khi đó, AC // (P) và d(AC; SB) = d(AC; (P)) = d(A; (P))

Ta có AI =

3 3 2

AH

0.5

Câu 7

(1)đ

Gọi I(a; 3a – 2)

0,25

=

3

5



0.25

Bán kính:

3 2

R = d 2 =

5

0.25

5

0.25

B A

d

I

Câu 8

(1)đ a.Từ phương trình mặt cầu ta có:



0,25

Tọa độ tâm I(1; -3; 4)

Bán kính: r  1 9 16 1 5    

0,25

Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu tại M nên IM vuông với mp

(0;4; 3)

IM  

0,25

Mp(P) qua M(1;1;1), có VTPT IM (0;4; 3)



có phương trình:

0( 1) 4( 1) 3( 1) 0

4 3 1 0

A x x B y y C z z

y z

0,25

Câu 9

0.5 đ

Ta có:

Thay x = -1, ta có: (-2)2n = a0 – a1 + a2 - … + (-1)kak +…+ a2n

0.25

Với n = 6, ta có khai triển:

 1+3x 12=C + C (3x) + C (3x) + + C (3x)120 112 122 2 1212 12

0.25

Câu 10

1 đ

0.5

1 1

Khi đó

P

xy z yz x zx y

1 (1 )(1 )

z



1 (1 )(1 )

x



1

(1 )(1 )

y



(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 )

Vậy MinP  3 đạt được khi

1 3

x  y z

0.5

ĐÁP ÁN CÂU 1