Viết phương trình tiếp tuyến của C, biết khoảng cách từ điểm I1;2 đến tiếp tuyến bằng 2.. Hai mặt phẳng SAB và SAC cùng tạo với mặt phẳng đáy góc 600.. Tính côsin của góc giữa hai mặt p
Trang 1ĐỀ TỰ LUYỆN THPT QUỐC GIA NĂM HỌC 2014- 2015
Môn: TOÁN; ĐỀ 07-BN
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1* (2 điểm)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2 1
1
x y x
−
=
−
2 Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết khoảng cách từ điểm I(1;2) đến tiếp tuyến bằng 2
Câu 2* (1điểm)
1) Giải phương trình 17 2
sin(2 ) 16 2 3.sin cos 20sin ( )
2) Cho z là số phức Tìm m để phương trình mz2 − (m− 1)z i− = 0 có hai nghiệm phân biệt
1 ; sao cho | 2 1 | | + 2 | 2 ≥
Câu 3* (0,5 điểm) Giải pt sau: 8.3x + 3.2x = 24 + 6x
Câu 4 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình :
4 3 2 2
3 2
1 1
x x y x y
x y x xy
Câu 5*(1 điểm): Tính tích phân: I = 4
0
tan ln(cos ) cos
x
π
∫
Câu 6 (1 điểm): Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A với AB = a, các
mặt bên là các tam giác cân tại đỉnh S Hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng tạo với mặt phẳng đáy góc 600 Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC)
Câu 7 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(1;1) và đường thẳng ∆ : 2x + 3y +
4 = 0 Tìm tọa độ điểm B thuộc đường thẳng ∆ sao cho đường thẳng AB và ∆ hợp với nhau góc 450
Câu 8* (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1;-1;1) và hai đường
thẳng ( ) : 1
− − và
( ') :
Chứng minh: điểm M, (d), (d’) cùng nằm trên một mặt phẳng Viết phương trình mặt phẳng đó
Câu 9* (0,5 điểm) Hai người cùng bắn vào một mục tiêu Xác suất bắn trúng của từng người
là 0,8 và 0,9 Tìm xác suất của các biến cố sao cho chỉ có một người bắn trúng mục tiêu
Câu 10: (1 điểm) Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a + b + c = 1 Chứng minh rằng:
a b b c c a 3
Trang 2ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM
1.1 *Tập xác định :D R= \ 1{ }
*Tính ' 1 2 0
( 1)
x
−
−
Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( −∞ ;1) và (1; +∞ )
*Hàm số không có cực trị
*Giới hạn
1
x
Limy
+
→ = +∞
1
x
Limy
−
2
x Lim y
→+∞ = 2
x Lim y
Đồ thị có tiệm cận đứng :x=1 , tiệm cận ngang y=2
*Bảng biến thiên
*Vẽ đồ thị
0.25 0.25 0.25
0.25
1.2 *Tiếp tuyến của (C) tại điểm M x f x( ; ( )) ( ) 0 0 ∈ C có phương trình
y f x x x= '( )( 0 − 0 ) +f x( ) 0
Hay 2 2
x+ x − y− x + x − = (*)
*Khoảng cách từ điểm I(1;2) đến tiếp tuyến (*) bằng 2
0 4
0
2 2
2
1 ( 1)
x x
−
giải được nghiệm x0 = 0 và x0 = 2
*Các tiếp tuyến cần tìm : x y+ − = 1 0 và x y+ − = 5 0
0.25 0.25
0.25 0.25 2.1 *Biến đổi phương trình đã cho tương đương với
os2 3 sin 2 10 os( ) 6 0
6
c x− x+ c x+π + =
os(2 ) 5 os( ) 3 0
2 os ( 2 ) 5 os( ) 2 0
Giải được os( ) 1
c x+π = −
và os( ) 2
6
c x+π = −
(loại)
*Giải os( ) 1
c x+π = −
được nghiệm 2
2
x= +π k π
và 5 2
6
x= − π +k π
0.25
0.25
2.2 Để pt có 2 nghiệm (*)
Với thì pt đã cho là pt bậc hai có nên pt có 2
Trang 3Theo bài ra :
Kết hợp với điều kiện (*) ta được thỏa mãn bài toán
0.25
3 Pt đã cho tương đương (3x -3)(8-2x )= 0
Từ đó tìm được x=1 hoặc x=3
0.25 0.25 4
*Biến đổi hệ tương đương với
x y x xy
*Đặt ẩn phụ
2 3
x xy u
x y v
=
, ta được hệ
1
v u
− = −
*Giải hệ trên được nghiệm (u;v) là (1;0) và (-2;-3)
*Từ đó giải được nghiệm (x;y) là (1;0) và (-1;0)
0.25
0.25 0.25
0.25
5 *Đặt t=cosx
Tính dt=-sinxdx , đổi cận x=0 thì t=1 ,
4
x=π thì 1
2
t=
Từ đó
1
1 2
1 1
2
lnt lnt
*Đặt u ln ;t dv 12dt
t
Suy ra
1 2 1 2
2
*Kết quả 2 1 2ln 2
2
I = − −
0.25 0.25 0.25
0.25
6 *Vẽ hình
*Gọi H là trung điểm BC , chứng minh SH ⊥ (ABC)
*Xác định đúng góc giữa hai mặt phẳng (SAB) , (SAC) với mặt đáy
là
60
SEH SFH= =
*Kẻ HK ⊥SB , lập luận suy ra góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và
(SBC)
bằng HK A
*Lập luận và tính được AC=AB=a , 2
2
a
tan 60
2
a
*Tam giác SHK vuông tại H có 1 2 1 2 1 2 3
10
K H a
*Tam giác AHK vuông tại H có
2 20 2
tan
3 3
10
a AH
AK H
K H
a
0.25 0.25
0.25
Trang 4cos 3
23
AKH
0.25 7
*∆ có phương trình tham số = − +x y= −1 32 2t t và có vtcp uur= − ( 3; 2)
*A thuộc ∆ ⇒A(1 3 ; 2 2 ) − t − + t
*Ta có (AB; ∆)=450 1
os( ; )
2
c AB u
⇔ uuuur ur = . 1
2
AB u
AB u
uuuurur ur
169 156 45 0
*Các điểm cần tìm là 1 2
32 4 22 32 ( ; ), ( ; )
13 13 13 13
0.25
0.25 0.25
0.25
8 *(d) đi qua M1(0; 1;0) − và có vtcp uuur1= − − (1; 2; 3)
(d’) đi qua M2 (0;1; 4) và có vtcp uuur2 = (1; 2;5)
*Ta có u uuur uur1 ; 2 = − − ( 4; 8; 4) ≠Our , M Muuuuuuur1 2 = (0; 2; 4)
Xét u u M Muur uur uuuuuuur1 ; 2 1 2 = − + =16 14 0
(d) và (d’) đồng phẳng
*Gọi (P) là mặt phẳng chứa (d) và (d’) => (P) có vtpt nur= (1; 2; 1) − và
đi qua M1 nên có phương trình x+ 2y z− + = 2 0
*Dễ thấy điểm M(1;-1;1) thuộc mf(P) , từ đó ta có đpcm
0.25
0.25
0.25 0.25
9 Gọi A là biến cố của người bắn trúng mục tiêu với xác suất là 0.8
B là biến cố của người bắn trúng mục tiêu với xác suất là 0.9
Gọi C là biến cố cần tính xác suất thì C=A B A B +
Vậy xác suất cần tính là P(C)=0,8.(1-0,9)+(1-0,8).0,9=0,26
0.25 0.25 10
*Biến đổi a b ab c++ = ab+ − −11−c b a = (1−1a−)(1c−b)
*Từ đó VT = (1−1a−)(1c−b) + (1−1c−)(1b−a) + (1−1c−)(1a−b)
Do a,b,c dương và a+b+c=1 nên a,b,c thuộc khoảng (0;1) =>
1-a,1-b,1-c dương
*áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số dương ta được
(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 )
VT
≥
− − − − − − =3 (đpcm)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1
3
a b c= = =
0.25
0.25
0.25 0.25
Chú ý: Học sinh làm theo cách khác mà vẫn đúng vẫn được tính điểm tối đa!
