đề toán thi thử năm 2015 số 7

Tìm phần thực và phần ảo của z.. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB... a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số 1.. Định m để k

SỞ GD&ĐT QUẢNG NAM ĐỀ THI THỬ QUỐC GIA 2015

Thời gian làm bài: 180 phút

Câu 1(2điểm) Cho hàm số: y = f x ( ) = + x3 3 x2 + m, (m R ∈ ) (1)

a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 0.

b/ Chứng minh rằng với mọi m, đồ thị hàm số (1) luôn có hai điểm cực trị A, B Tìm m

để góc ·AOB bằng 120o

Câu 2(1 điểm) Giải các phương trình:

a/ log (4 x − 1)2 − log2x = 1

b/ 2cosx(sinx + 1) – cos2x = 0

Câu 3(1điểm) Tính tích phân:I =

Câu4(1 điểm)

a/ Cho số phức z thỏa mãn điều kiện: (2 - 3i)z + (4 - i) z = 2(4 - 3i) Tìm phần thực và

phần ảo của z

b/ Trong khai triển nhị thức P(x) = (5 - 4x)n , n nguyên dương, hãy tính tổng tất cả các hệ

số lũy thừa lẻ của x

Câu 5 (1 điểm): Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và

mặt đáy bằng 300 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB

Câu 6 (1 điểm): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 5; 0), B(3; 3; 6) và

đường thẳng ∆: x 1 y 1 z

+ = − =

a/ Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với đường thẳng ∆

b/ Tìm toạ độ điểm M trên ∆ sao cho tam giác ∆MAB có diện tích nhỏ nhất

Câu 7(1điểm): Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hai điểm A(1; 0), B(0; 1) và đường

thẳng ∆: 0

2

1 = +

− y

x Lập phương trình đường tròn (C) qua hai điểm A, B và cắt đường

thẳng ∆ tại hai điểm mà tiếp tuyến tại hai điểm này tạo với nhau một góc 60ο

Câu 8(1điểm) Giải bất phương trình: 2

x + x+ + x ≤ x+

Câu 9(1 điểm) Cho ba số dương , ,x y z thỏa x y z+ + = 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

P

===Hết===

x y

-2

4

0 1

ĐÁP ÁN ĐỀ TOÁN SỐ 1

1

2

a/

(1điểm)

b/(1đ)

a/(0,5đ)

b/(0,5đ)

1) m = 0: y = x3 + 3x2 + TXĐ: D = R

+ Chiều biến thiên: y’ = 3x2 + 6x y’ = 0 ⇔x = 0 hay x = -2

→+∞ = +∞ →−∞ = −∞

+ BBT:

x -∞ -2 0 +∞

y’ + 0 - 0 +

y 4 +∞

-∞ 0 Hàm số nghịch biến trong (-2; 0), đồng biến trong mỗi khoảng (−∞; -2) và (0; +∞)

Hàm sô đạt cực đại bằng 4 khi x = -2, đạt cực tiểu bằng 0 khi x = 0

+ Đồ thị:

2) y = f x ( ) = + x3 3 x2 + m

+ y’ = 3x2 + 6x có hai nghiệm x = -2, x = 0 với mọi m, suy

ra đồ thị hàm số luôn có hai điểm cực trị

Tọa độ hai điểm cực trị là A(0; m) và B(-2; 4+m)

+ ·AOB = 120o ⇔ . 1

OA OB

OA OB = − uuur uuur

2

2 ( m m 4) m m 8 m 20

3

m = m = − +

ĐK : 0< x≠1 , PT(1)⇔log2|x−1|=log22x Tìm được nghiệm: x =

3

1

+ Biến đổi về pt: cos2x - sin2x = cosx

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25 0.25 0,25

0,25 0,25 0.25 0.25

4

5

6

a/(0,5đ)

b/(0,5đ)

a/(1 đ)

a/(0.5đ)

b/(0.5)

+ Tìm được nghiệm pt : x = + k2 ; x = + ; Đặt u = ln , x dv x x = d , suy ra

2

1 , 2

x

x

Dẫn đến I =

1 1

e e

∫

Kết quả I = 1 ( 2 )

1

4 e + Gọi số phức cần tìm z = a + bi ⇒ z=a−bi; a,b∈R

+ biến đổi về được: 6a +2b -(4a +2b)i = 8-6i + Tìm a =1; b=1

Ta có: P(x)= ao+a1x+a2x2 + + anxn P(1) = ao+ a1+ + an

P(-1) = ao - a1 +a2 - a3 + +(-1)nan

và P(1) = (5 - 4)n = 1, P(-1) = (5+4)n = 9n tổng các hệ số theo lũy thừa lẻ là:

a1+ a3 + a5 + =

2

9 1 2

) 1 ( ) 1

O

A B

S K

Gọi O là tâm hình vuông ABCD.⇒SO⊥(ABCD) Góc SCO bằng 30o là góc giữa cạnh bên và đáy Tính được SO = a66 vậy VS.ABCD = (đvtt)

Kẻ OK⊥SB (1)

AC⊥(SBD) ⇒ AC⊥OK (2)

(1) và (2) cho OK là khoảng cách giữa AC và SB Tính được d(AC;SB)= OK=2a2

+ Tìm được VTPT n=(2;−1;2) của mp(P) + Viết được ptmp(P):2x - y +2z +3 = 0 Gọi M( 1 2 ;1 ;2 )− + t −t t ∈∆

0,25 0,25 0.25

0.25

0,25 0,25

0,25 0,25

0,25 0,25

0,25 0,25

0,25 0,25 0,25

8

9

Diện tích ∆MABlà S 1 AM AB, 18t2 36 216t

= 18( 1) 198t− 2+ ≥ 198

Vậy Min S = 198 khi t 1= hay M(1; 0; 2)

+Tìm được pt đường trung trực d của đoạn AB: y = x + Đường tròn (C) có tâm I (t;t)

Gọi C, D lần lượt là giao điểm của (C) và đt ∆, tiếp tuyến tại

C, D cắt nhau tại J và tạo với nhau một góc 60οnên

60

=

CJD (1)hoặc gócCJD= 120 ο (2) (1)gócCJD=60 : Khi đó ·CID =120o nên IH IA

2

1

= (H là

hình chiếu của điểm I lên đt ∆) d I IA

2

1 )

;

⇔

Tìm được tâm I(0;0) Bkính R=1

Pt đường tròn (C): x2 + y2= 1

và tâm I'(2;2) Bkính R' = 5

Pt đường tròn (C): (x-2)2 + (y-2)2 =5 (2)gócCJD= 120 ο Tìm được IH IA

2

3

= (H là hình chiếu của Điểm I lên đt ∆)

IA I

d

2

1 )

;

2

3 2

1

t

t− +

=

Điều kiện: x 0 (*) + x=0 là nghiệm bpt (1) + x>0 chia 2 vế bpt cho ta được: +1 2(

+ )

Đặt t = + => x+ = t2 - 4 Bất phương trình thành: 2t-1



 t 3

0,25 0,25

0.25

0,25

0,25 0,25

0.25

0.25

0.25

0.25 0.25

Với t 3 ta có: + 3

 x 4 ; 0 1

Kết hợp với điều kiện (*) và nghiệm x = 0 ta được tập

nghiệm bpt là S = [0;1] [4;+ ]

+Ta có:

P

= 3- 1 1 1

x + y + z

Mà : 1 1 1

x + y + z

3 (x 1)(y )(z 1)

≥

+ + + (Cô-si) (1)

+ Và : 1 1 1 3

( 1)( 1)( 1) 3

⇔ 3

( 1)( 1)( 1)

3

Từ (1) và (2) Suy ra : 1 1 1 9

+ + +

Suy ra : 9 3

3

4 4

P≤ − =

MaxP

4

= đạt được kck

0.25

0.25

SỞ GD&ĐT QUẢNG NAM ĐỀ THI THỬ QUỐC GIA 2015

Thời gian làm bài: 180 phút

Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số = − ( )

+

x 2

x 1 có đồ thị (C ).

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1)

b) Chứng minh đường thẳng (d): 2x y m + + = 0 luôn cắt đồ thị (C ) tại 2 điểm phân biệt

A, B Định m để khoảng cách AB bé nhất.

Câu 2 (1,0 điểm) Giải phương trình: sin x cos x3 + 4 = 1

Câu 3 (1,0 điểm) Tính tích phân: = +

∫4

0

2x 1

Câu 4 (1,0 điểm).

a) Tìm số phức z biết:( ) 1 i z 1 + − = 0

b) Một đội văn nghệ có 15 người gồm 10 nam và 5 nữ Hỏi có bao nhiêu cách lập một nhóm

đồng ca gồm 8 người biết rằng trong nhóm đó phải có ít nhất 3 người nữ

Câu 5 (1,5 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng

(P ) : x 2 y 2 z 1 0 và mặt cầu (S) : x2 + y2 + z2 − 4x 6y 6z 17 + + + = 0

a) Viết phương trình đường thẳng (d) qua tâm của (S) và vuông góc với (P)

b) Gọi (C) là đường tròn giao tuyến của (S) và (P) Lập phương trình mặt cầu (S') chứa đường tròn (C) và có tâm thuộc mặt phẳng (Q) : x y z 3 + + + = 0

Câu 6 (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi với góc ·BAD bằng 1200,

=

BD a , hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt đáy, góc giữa mặt phẳng (SBC) và mặt đáy bằng 600 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ D đến mp(SBC)

y

1

1

-1

Câu 7 (0,5 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(2;3), B(2;1), C(6;3) Gọi D là chân đường phân giác trong góc A của tam giác ABC Tìm điểm M trên đường tròn ( ) (C : x 3− ) (2 + y 1− )2 =25 sao cho diện tích tam giác MCD gấp đôi diện tích tam giác ABD

Câu 8 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình:  +  + = + ( + ) +





3 2

Câu 9 (1,0 điểm) Cho x, y, z là các số thực dương thỏa x y z + + = 1 Tính giá trị nhỏ nhất

của biểu thức:

P

Hết

ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ SỐ 2 - PBC

1(2 đ) a) (1,0 điểm)

+ Tập xác định D = R \ { } − 1

+ Sự biến thiên: Chiều biến thiên:

+

2

3

x 1 Hàm số đồng biến trên từng khoảng ( −∞ − ; 1 ; 1; ) ( − +∞ )

0.25

+ Giới hạn và tiệm cận:

→−∞ = →+∞=

lim y 1;lim y 1 ⇒ = y 1là tiệm cận ngang − +

lim y ;lim y ⇒x = −1là tiệm cận đứng

0,25

+Bảng biến thiên:

x - ∞ -1 + ∞

y + +'

+∞ 1

y 1 - ∞ 0,25 + Đồ thị:

0,25

b) (1,0 điểm)

+ Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (C) : − = − −

+

x 2

2x m

⇔ 2x2 + m + 3 x m 2 + − = 0, x ≠ − 1 (*)

x = -1 không là nghiệm của phương trình (*) Mặt khác (*) có:

∆ = m2 − 2m 25 + = m 1 − 2 + 24 > ∀ 0, m Vậy (*) luôn có hai

nghiệm phân biệt khác -1, suy ra d luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt.

0,25

2

4

0,25

2

(1,0đ)

Phương trình đã cho tương đương với

sin x cos x sin x cos x

sin x s inx 1 cos x 1 cos x

0,25

⇔ sin x s inx 1 cos x2 ( − − 2 ) = ⇔ 0 sin x s in x s inx 22 ( 2 + − ) = 0 0.25 ⇔

π

 =

⇔

s inx 0

3

(1,0đ) Đặt t = 2x 1 + ⇒ t2 = 2x 1 + ⇒ dx = t dt

+

1 t

0,25

+

∫

3

4(1 đ) a) (0,5 điểm)

( ) 1 i z 1 + − = 0 ⇔ = ⇔ = −

+

z = − 1 1 i ⇔ = + z 1 1 i

b) (0,5điểm)

Chọn 3 nữ + 5 nam: có 3 5 =

5 10

C C 2520 cách Chọn 4 nữ + 4 nam: có 4 4 =

5 10

Chọn 5 nữ + 3 nam: có 5 3 =

5 10

C C 120 cách Theo qui tắc cộng: ta có 3690 cách lập nhóm đồng ca 0,25 5

(1.5đ)

a) (1 điểm)

(S) có Tâm I(2; 3; 3) bán kính − − R = 5

0.25 + (P) có VTPT n r = − (1; 2;2)

+ Suy ra d có VTCP là n r = − (1; 2;2)

+ Phương trình đường thẳng d

 = +



= − −



 = − +



0.25 0.25 0,25

b) (0,5điểm)

3 3 3 và bán kính r = 2 Gọi ( ) S' có tâm E bán kính r'

Khi đó : E = (d) (Q) I ⇒ E(3; 5; 1), r − − ' = 2 5

0.25

Nên ( ) ( S : x 3' − ) (2 + y 5 + ) ( )2 + z 1 + 2 = 20 0,25 6(1 đ) + Nêu được SA ⊥ (ABCD) , Gọi I là trung điểm của BC, góc giữa

(SBC) và mặt đáy là góc SIA ; suy ra AI = a

SA AI t an 60

2

⇒ VS.ABCD = 1 SABCD.SA = 1 1 a a a 3 = a3

0,25

Ta có : AD / / (SBC) ⇒ d(D;(SBC) = d(A;(SBC))

BC ⊥ (SAI) ⇒ (SAI) ⊥ (SBC)

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên cạnh SI nên ta có:

⊥

d(A;(SBC)) = AH

0.25

Trong tam giác vuông SAI ta có: AH = SA.AI = a 3

Vậy d(D;(SBC)) = a 3

4 (đvđd) 7(1 đ)

8(1 đ) Điều kiện: xy2 + 2x ≥ ⇔ ≥ 0 x 0

Phương trình (1) :

0,25

Xét: y2 + 2x = 0 hệ vô nghiệm

Xét: y2 −2x − xy2 +2x + =2 0

⇔ y2 2 − y2 2 − = ⇔ 2 0 y2 2 = 2

Nên 4x 1 − + 3 2x 1 1 − − = 0

Xét f(x) = 4x 1 − + 3 2x 1 1 − −

'

2 3

4x 1 3 (2x 1) , hàm số đồng biến x > 1

4

0,25

0,25

Mà f( ) 1 = ⇒ = 0 x 1 ; y = 0

9(1 đ) Ta có: ( x y − )2 ≥ 0 nên: x2 + y2 − xy ≥ xy ⇔ x3 + y3 ≥ xy(x y) +

⇔ x2 + y2 ≥ + x y;(1)

0,25

Tương tự: z2 + y2 ≥ + z y;(2)

y z x2 + z2 ≥ + x z;(3)

Từ (1),(2),(3)

P ≥ 2(x y z) = 2 + +

0,25

Vậy P min = 2 khi x = = = y z 1