a Khảo sát và vẽ đồ thị C của hàm số đã cho.. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là một tam giác đều cạnh bằng 2a.. Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa hai đường
Trang 1ĐỀ TỰ LUYỆN THPT QUỐC GIA NĂM HỌC 2014- 2015
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
Câu 1* (2 điểm): Cho hàm số y x= −3 3x2+2 ( )C
a) Khảo sát và vẽ đồ thị ( )C của hàm số đã cho.
b) Gọi giao điểm của đồ thị ( )C và đường thẳng y= − −x 3 là M , viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị
( )C tại điểm M.
Câu 2* (1,0 điểm)
a Giải phương trình sau: cos sin 2 1
b Trong các số phức thỏa mãn 3
2 3
2
z− + i = Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất
Câu 3* (0,5 điểm) Giải bất phương trình sau : 2 2 1
2 log (x − ≥1) log (x−1)
Câu 4 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình : 3 3 2 ( ) ( )
3 2
,
x y
Câu 5*: Tính tích phân: I = ∫π +
01 sinx dx
Câu 6 (1,0 điểm) Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là một tam giác đều cạnh bằng 2a Hình chiếu
vuông góc của B lên mặt phẳng (A’B’C’) là trung điểm H của cạnh B’C’, góc giữa A’B với mặt phẳng (A’B’C’) bằng 600 Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa hai đường thẳng CC’ và A’B theo a.
Câu 7 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho ∆ABCcó đỉnh A(−3;4), đường phân
giác trong của góc A có phương trình x y+ − =1 0và tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC là I (1 ;7) Viết phương trình cạnh BC, biết diện tích ∆ABC gấp 4 lần diện tích ∆IBC
Câu 8*(1,0 điểm).Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm A(4;-4;3), B(1;3;-1), C(-2;0;-1) Viết phương trình
mặt cầu (S) đi qua các điểm A, B, C và cắt hai mặt phẳng ( ) :α x y z+ + + =2 0 và (β):x−y−z−4=0
Câu 9*(0,5 điểm)
Một hộp đựng 5 viên bi đỏ giống nhau và 6 viên bi xanh cũng giống nhau Lấy ngẫu nhiên từ hộp đó ra 4 viên bi Tính xác suất để 4 viên bi được lấy ra có đủ hai màu và số viên bi màu đỏ lớn hơn số viên bi màu xanh
Câu 10 (1,0 điểm) Cho x, y, z là các số thực dương và thỏa mãn: z z x y( − − ) = + +x y 1
Trang 2Chứng minh rằng :
3
x y
-Hết -Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: Số báo danh
Trang 3TRƯỜNG THPT THUẬN
THÀNH SỐ 2
(Hướng dẫn chấm có 05 trang)
HƯỚNG DẪN CHẤM KTCL ÔN THI THPT QUỐC GIA LẦN 1 NĂM 2015
Môn: Toán
1 a 1,0 điểm
*) TXĐ: D=¡
*) Sự biến thiên:
- Giới hạn: limx→+∞y= +∞; limx→−∞y= −∞
- Ta có ' 3 2 6 ' 0 0
2
x
x
=
0,25
- Ta có ' 0y > ∀ ∈ −∞x ( ;0) (2;∪ +∞), ' 0y < ∀ ∈x (0; 2) suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞;0) & (2;+∞), nghịch biến trên khoảng (0; 2)
- Hàm số đạt cực đại tại x=0, (0) 2f = ; đạt cực tiểu tại x=2, (2)f = −2 0,25 -Bảng biến thiên
0,25
*) Đồ thị
4
2
-2
5
y
x
f x ( ) = x ( 3 -3 ⋅ x 2 ) +2
O 1
0,25
b 1,0 điểm
Tọa độ của M là nghiệm của hệ
3 3 2 2 3
= − −
( 1; 2) 1
M x
Phương trình tiếp tuyến với (C) tại M là y= f '( 1)(− x+ −1) 2 0,25
9( 1) 2 9 7
2 1,0 điểm
Pt đã cho cos sin 2 1
⇔ 2 cos 4 x 2 sin 2x 4 1
cosx sinx sin 2x cos2x 1
0,25
Trang 4⇔ cos sin 0
1 2cos 0
x
tan 1
1 cos
2 2
3
k x
¢
0,25 Vậy phương trình đã cho có 3 họ nghiệm:
, 2 ,( )
x = − +π kπ x= ± +π k π k∈
¢ .
b
2 3
2
z− + i = ⇒ … ⇒( ) (2 )2 9
4
* Vẽ hình ⇒|z|min ⇒z ĐS: 26 3 13 78 9 13
0.25
ĐK: x >1 BPT
2 log (x − ≥1) log (x−1) ⇔ log (x − +1) log (x− ≥1) 0 0,25 2
(x 1)(x 1) 1
1 5 2
⇔ ≥ (do x >1).
Vậy tập nghiệm của BPT là S= 1 5;
2
+∞÷
0,25
1,0 điểm
3 2
Đkxđ x y≤34
≥ −
Từ (1) ta có 3 ( )3 ( ) ( ) 2 ( ) ( )2
( )
2 3
y x
⇔ = −
0,25
Thế (3) vào (2) ta được
x+ + − =x x +x − x− ⇔x +x − x− + − x+ + − − =x
0,25
0,25
Trang 5( 2) ( 2) ( 1) 3 2( 2)(1 2 1) (3 1 3 )(12 3 ) 0
(x 2) (x 1) (x 2) 3 2( x 21)( x 2 1) (3 1 3 x1)(2 3 x) 0
Vì 4 2 2 3 2( 2)(1 2 1) (3 1 3 )(12 3 ) 0
Từ đó phương trình trên tương đương với
1
x
x
=
− + = ⇔ = −
Với x= ⇒ =2 y 0;x= − ⇒ = −1 y 3
Thử lại ta thấy thỏa mãn hệ phương trình Vậy hệ phương trình đã cho có tập nghiệm là
{ 1; 3 ; 2;0 }
0,25
5
I = ∫π +
01 sinx
dx
−
=
−
−
=
− +
π
π
π
π
2
4 2 cos
4 2
2 cos 1
x tg x
x d
x
dx
4
−
π tg
1
6 1,0 điểm
Vì BH ⊥ (A’B’C’) nên góc giữa
A’B với (A’B’C’) là góc giữa A’B với A’H.
Hay BA H· ' =600
0
' tan 60 3
0,25
2
3 ' ' ' ' ' '
4
a
Ta có CC’ // (ABB’A’) nên d(CC’,A’B) = d(C’,(ABB’A’)).
Dựng HM ⊥ A’B’ Khi đó A’B’ ⊥ (BMH) suy ra (ABB’A’) ⊥ (BMH)
Dựng HK ⊥ BM suy ra HK ⊥ (ABB’A’).
3 3
( ,( ' '))
13
a a
d H ABB A HK
0,25
Trang 6( ', ' ) ( ',( ' ')) 2 ( ,( ' '))
13
a
1,0 điểm
Ta thấy ( ) ( ) 2 ( )
2
1
e
-2;2 -2;2
maxy y 2 e ;miny y 1 2e
7
+ Ta có IA=5 Phương trình đường tròn ngoại tiếp ABC∆ có dạng
( )C : (x−1)2+ −(y 7)2 =25
+ Gọi D là giao điểm thứ hai của đường phân giác trong
góc A với đường tròn ngoại tiếp ABC∆ Tọa độ
của D là nghiệm của hệ
1 0
2;3 ( 1) ( 7) 25
x y
D
+ − =
− + − =
0,25
+ Vì AD là phân giác trong của góc A nên D là điểm chính giữa cung nhỏ BC Do đó
ID⊥BChay đường thẳng BC nhận véc tơ DIuuur=( )3; 4 làm vec tơ pháp tuyến
+ Phương trình cạnh BC có dạng 3x+4y c+ =0
0,25
+ Do S∆ABC =4S∆IBC nên AH =4IK
+ Mà ( ; ) 7
5
c
5
c
117 3
131 5
c
c
= −
= −
0,25
Vậy phương trình cạnh BC là : 3x+4y−39 0= ( )d1 hoặc 15x+20y−131 0= ( )d2
Thử lại nghiệm của bài toán ta thấy: Hai điểm A và D cùng phía so với d và 1 d Vậy 2
không có phương trình của BC nào thỏa mãn Bài toán vô nghiệm
0,25
8 Gọi I(a;b;c) là tâm của mặt cầu (S)
Vì (S) đi qua các điểm A, B, C và cắt hai mặt phẳng (α):x+y+z+2=0 và
0 4 :
) (β x− y−z− = theo hai giao tuyến là hai đường tròn có bán kính bằng nhau nên
ta có hệ :
−
−
−
= + + +
= +
−
= +
−
⇔
=
=
=
4 2
9 2 2 3
15 4 7 3
)) ( , ( )) ( ,
c b a
c b a
I d I
d
IC IA
IB IA
β α
0,25
Giải hệ ta được :
=
=
= 3 0 1
c b
a
hoặc
−
=
−
=
= 7 9
7 12
7 19
c b
a
0,25
Với
=
=
= 3 0 1
c b
a
, viết được phương trình mặt cầu : (x−1)2 +y2 +(z−3)2 =25
0,25
Trang 7Với
−
=
−
=
= 7 9
7 12
7 19
c b
a
, mặt cầu có phương trình :
49
1237 7
9 7
12 7
+ +
+ +
0,25
9 0,5 điểm
Số phần tử của không gian mẫu là: 4
11 330
Trong số 4 viên bi được chọn phải có 3 viên bi đỏ và 1 viên bi xanh
10 Số cách chọn 4 viên bi đó là: 3 1
5 6 60
Vậy xác suất cần tìm là : 60 2
330 11
z y
4 4
) 1 )(
1 ( )
1 ).(
).(
1 ).(
(x+y +y x+y +x x+ y+
y x
4 4
) 1 )(
1 ( ) (x+y x+ y+
y x
0,25
Áp dụng BĐT Côsi cho các số dương x, y ta có :
27 4 27 4 1
3 3 3 1
3 4 4 4 3 4
≥
=
27 4 27 4 1
3 3 3 1
3 4 4 4 3 4
≥
=
≥
0,25
Do đó (x+y)2.[(x+1)(y+1)]4 4 4
6
9 6
3 3
3
4 3
4
4xy x y = x y
4
3
≤
Dấu “=” ở ( * ) xảy ra 3, 3, 7
1
1 3
+ +
=
=
=
y x z
y x
.Vậy bất đẳng thức được
chứng minh
0,25