Hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên đáy là điểm K thuộc đoạn OB sao cho BK = 2 OK và N là hình chiếu vuông góc của K lên SO.. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường
Trang 1ĐỀ TỰ LUYỆN THPT QUỐC GIA NĂM HỌC 2014- 2015
MÔN TOÁN
Thời gian làm bài : 180 phút
Câu 1* : ( 2 điểm) Cho hàm số y= − +x3 3x 1+
a)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C) của hàm số
b)Định tham số m để phương trình : ( 3 )
2
log − +x 4x m− +log x 0= có duy nhất một nghiệm thực
Câu 2* : (0,5 điểm ) Giải phương trình : sin 2x−(sin x cos x 1 2sin x cos x 3+ − ) ( − − =) 0
Câu 3* : (1 điểm) Tìm môđun của số phức z thỏa mãn số phức z 6 2i
z 2 4i
+ +
− − là số thuần ảo và đồng
thời z 6 i− − =5
Câu 4 : (1 điểm) Giải bất phương trình : (x 1− ) x2+ + >5 x x2+1
Câu 5* : (1 điểm) Tính tích phân : I 1e ln x 12 2 dx
x ln x
−
=
−
∫
Câu 6 : (1 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O và điểm I là trung
điểm cạnh AD Hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên đáy là điểm K thuộc đoạn OB sao cho BK = 2
OK và N là hình chiếu vuông góc của K lên SO Biết rằng SK = a 3 và SK hợp với mp(SAC) góc
300 Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AN và CI
Câu 7 : (1 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình thang vuông ABCD vuông
tại A và D ; AB = AD , AD < CD ; B(1;2) ; phương trình đường thẳng BD : y =2 Biết rằng đường thẳng
d : 7x-y-25 = 0 cắt các cạnh AD,CD lần lượt tại M,N sao cho BM vuông góc với BC và tia BN
là tia phân giác của ·MBC Tìm tọa độ đỉnh D có hoành độ dương
Câu 8* :(1 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai mặt phẳng (P) :
x y z 6 0− + − = , mặt
phẳng (Q) : 2x y 2z 1 0+ − + = và đường thẳng D : x 2 y 3 z 4
− Tìm điểm M thuộc D ,
N thuộc mặt phẳng (P) sao cho MN vuông góc với mặt phẳng (Q) và MN = 3
Câu 9* : (0,5 điểm ) Một người có 10 đôi giày khác nhau và trong lúc đi du lịch vội vã lấy ngẫu
nhiên 4 chiếc Tính xác suất để trong 4 chiếc giày lấy ra có ít nhất một đôi
Câu 10: (1 điểm) Cho x,y là 2 số thực thỏa mãn 4 4 ( )2
x +16y + 2xy+1 =2 Tìm giá trị lớn nhất
và giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau : P=x x +3 +2y 4y +3( 2 ) ( 2 )
Hết
Trang 2Đáp án :
1 Câu 1 : a) Tự giải
b) Dùng đồ thị (C) tìm số nghiệm PT:
m 1 1 m 0
x 4x m x x 3x 1 m 1
1 1
2
PT sin x cos x 1 sin x cosx 1 2sin x cos x 3
sin x cos x 1 sin x cos x 1 sin x cosx 1 2sin x cos x 3
x k2 sin x cos x 1
sin x 2cos x 4(VN) x k2
2
0,25
0,25
3 Câu 3 : z=a+bi : Đk : z 2 4i≠ +
Theo đề bài :
a b 4a 2b 12 0 a 2 a 2
(L)V
a 6 b 1 25
z 2 2i z 2 2
⇒ = − ⇒ =
0,25 0,25
x 1
+ ≤ : loại
( )
2
2
2
5 x 1 x 5 x 4x 5 x 5
x 1
x 5 x 5 x
x 2 4
15x 40x 20 0
− +
− + +
>
Vậy : x > 2
0,5
0,5
5
Câu 5 :
e
2 1
2
ln x 1 I
ln x
x 1
x
−
=
−
2
ln x 1 ln x
−
= ⇒ = : u(1)=0;
u(e)= 1
e
1
e
2 0
0
∫
0,5
0,5
6 Câu 6 ; (SAC) vuông góc với (SBD) theo giao tuyến SO
Trang 3( ) · ( ) · 0
KN SO⊥ ⇒KN⊥ SAC ⇒SK, SAC =NSK 30=
3 SABCD
OK a, BD 6 a, AB 3a 3
CI / /AK CI / / AKN d CI, AN d C, AKN 2.d O, AKN
=
KN⊥(SAC)⇒ AKN ⊥ SAC theo giao tuyến AN Kẻ
OH AN OH AKN d O, AKN OH
OH d CI, AN
0,25 0,25
0,25
0,25
7 Câu 7 : Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên CD
( )
BM BC BNC BMN
BH d B,d 2 2 BD 4
D BD D m; 2
ABM
:BD 4 d 1 4 d 1(L)
HBC
V d 3
∆
= −
=
=
∆
Vậy : D(3;2)
0,5
0,5
( )
Q
Q 2
VTPTn (2;1; 2)
M D M 2 t;3 t; 4 t
MN Q MN kn 2k; k; 2k N 2k t 2; k t 3; 2k t 4
MN 3 k 1 k 1
k 1 t 4 : M 6; 1;0 ; N(8;0; 2)
k 1 t 2 : M 4;1; 2 ; N 2;0; 4
= − ⇒ = −
uur
uuuur uur
0,25 0,25 0,5
Số cách lấy 4 chiếc giày tùy ý : C = 4845
Số cách chọn 4 chiếc giày từ 4 đôi ( mỗi chiếc lấy từ một đôi )là :
(số cách chọn 4 đôi từ 10 đôi)×( số cách chọn 4 chiếc)= C24
Xác suất cần tìm là :
4
20 10 4 20
= 969
0,25
0,25
P= x 2y+ −6xy x 2y+ +3 x 2y+
Theo đề bài :
1 ⇔x + 2y = −1 2xy ⇒x + 2y = −1 2xy⇔ x 2y+ = +1 2xy
( )2 (x 2y)2 ( )2 4
+
0,25
Trang 4( vì từ (1) 2 x4 16y4 2 16x y4 4 xy 1 1 2xy 0
2
Đặt t = x+2y : 2xy = t2 -1 : t 2
3
P f t t 3 t 1 t 3t 2t 6t : t
3
1 MaxP Maxf (t) f 1 4(t 1khi x, y 0, hay x, y 1, 0 )
2 1 MinP Minf (t) f 1 4(t 1khi x, y 0, hay x, y 1,0 )
2
0,25
0,25
0,25