a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số.. Chọn ra ngẫu nhiên 4 quyển.. ĐỀ THAM KHẢO.
Trang 1SỞ GD&ĐT QUẢNG NAM
TRƯỜNG THPT NGUYỄN HUỆ
KỲ THI THPT QUỐC GIA NĂM HỌC 2014-2015
Môn thi: Toán
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)
Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số 2 1
1
x y x
+
=
− có đồ thị (C)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b) Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng d: y = mx - 1 cắt (C) tại hai điểm phân biệt
A, B sao cho diện tích tam giác ABC bằng 3
2, biết C(1; -1).
Câu 2 (1,0 điểm) Giải phương trình 2
log (2 ) 5logx − x+ =1 0
Câu 3 (1,0 điểm)
a) Tìm số phức z thỏa z + −( )z 3 i=1
b) Một giá sách có 5 quyển sách Toán, 4 quyển sách Lí và 1 quyển sách Hóa Chọn ra ngẫu nhiên 4 quyển Tìm xác suất để 4 quyển chọn ra có đủ 3 môn Toán, Lí và Hóa
Câu 4 (1,0 điểm) Tính tích phân
2
6
cot cos 2
=∫ x
x
π
π
Câu 5 (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( ) :P x y− +2z+ =3 0 và
đường thẳng d:
4 3
= +
= −
=
z t
a) Tìm tọa độ giao điểm I của đường thẳng d và mặt phẳng (P)
b) Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong (P), vuông góc với d và cắt d.
Câu 6 (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có có , , 3
2
a
0
30
theo a.
Câu 7 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm M(1;2) và hai đường thẳng
1: −2 + =1 0
d x y , d2: 2x y+ + =2 0 Gọi A là giao điểm của d và 1 d Viết phương trình đường2
thẳng d qua M và cắt d , 1 d lần lượt tại B, C (B và C không trùng với A) sao cho 2 12 + 1 2
AB AC đạt
giá trị nhỏ nhất
Câu 8 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình
2 2
2 2
,
− + =
x y
Câu 9 (1,0 điểm) Cho a b, là các số thực dương thỏa mãn a b ab+ + =3
ĐỀ THAM KHẢO
Trang 2Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2 2
P
HẾT
-SỞ GD&ĐT QUẢNG NAM
TRƯỜNG THPT NGUYỄN HUỆ
HƯỚNG DẪN CHẤM
KỲ THI THPT QUỐC GIA NĂM HỌC 2014-2015
Môn thi: Toán
• Tập xác định: D=¡ \ 1{ }
• Sự biến thiên
,
2
3
1
x
−
= < ∀ ≠
0,25
+ Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng(−∞;1) và (1;+∞)
+ Hàm số không có cực trị
+ Giới hạn:
* limx→−∞y=2;limx→+∞y=2 ⇒Đường thẳng y=2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
*limx→1−y= −∞;limx→1+y= +∞ ⇒Đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
0,25
• Bảng biến thiên:
0,25
• Đồ thị: Giao điểm của (C) với Ox là 1;0
2
−
, giao điểm của (C) với Oy là (0; 1− )
Đồ thị nhận I( )1; 2 làm tâm đối xứng
0,25
ĐỀ THAM KHẢO
Trang 31.b 1,0
Phương trình hoành độ giao điểm của d và (C): 2 1 1 21
≠
+ = − ⇔
x x
mx
1 0 3(2)
≠
⇔ =
= +
x
x
mx m
0,25
Để d cắt (C) tại hai điểm phân biệt thì pt (2) có một nghiệm khác 0 và 1 0
3
≠
⇔ ≠ −
m
Khi đó (0; 1 , (− ) m+3; +2)
m
2 3
+
⇒AB= m m +
m , ( , ) 2
1
=
+
m
d C d
0 3
3 3
6 2
=
= ⇔ + = ⇔ = −
ABC
m
Vậy m = -6 là giá trị cần tìm
0,25
log (2 ) 5logx − x+ = ⇔1 0 log x−3log x+ =2 0 0,25
2
2
Vậy nghiệm của phương trình là x = 2, x = 4
0,5
Gọi z a bi a b= + ; , ∈¡
( )3 1 2 2 ( 3) 1
+ − = ⇔ + + + − =
4
3 0
⇔a− =a b b⇔ = −a b
Vậy z= −3 4i
0,25
Gọi A là biến cố: “4 quyển chọn ra có đủ 3 môn Toán, Lí và Hóa ”
Ta có 4
10 ( )Ω =
Số cách chọn 2 quyển sách Toán, 1 quyển sách Lí là 2 1
5 4
C C
Số cách chọn 1 quyển sách Toán, 2 quyển sách Lí là 1 2
5 4
C C
Do đó 2 1 1 2
5 4 5 4 ( )= + =70
n A C C C C
Vậy ( ) 4
10
( ) 70 1
Ω
n A
P A
0,25
Ta có:
2
cos 2 sin (1 2sin )
−
0,25
Trang 4Đặt t=sinx⇒ =dt cosxdx
1
= ⇒ = = ⇒ =
Khi đó
1
2 1
2
1 (1 2 )
=
−
∫
0,25
1
2 2
1 2
1
ln ln 1 2 1
2
= + ÷ = − − ÷
−
1
ln 2 2
a)
Tọa độ điểm I là nghiệm của hệ
4
3 3
4 1
2 3 0
= +
= −
− +x y =
x
y
z t
Vậy I(3; 4; -1)
0,5
b) Đường thẳng d có véctơ chỉ phương ur= −(1; 1;1)và mặt phẳng (P) có véctơ pháp tuyến
(1; 1; 2)
= −
r
n
Đường thẳng ∆ có véctơ chỉ phương ,n ur r = (1;1;0)và đi qua I nên có phương trình tham
số
3
4
1
= +
= +
= −
z
0,5
a 2
a 3
a
a
30 0
F
E
S
A
B
C
Gọi E là trung điểm của BC
Ta có BC ⊥ AE
Mặt khác, ∆SAB= ∆SAC⇒SB SC= ⇒BC ⊥SE
Do đó BC ⊥SA
0,5
Trang 5Theo định lý cosin trong tam giác SAB ta có
2
Gọi F là trung điểm SA, ta có EF ⊥SA và
2
Ta có
3
S ABC B SAE C SAE SAE
a
0,5
Ta có 2 1 0 1 ( 1;0)
A
và d1⊥d2
0,25 Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên d
Khi đó 12 + 12 = 1 2 ≥ 1 2
Do đó 12 + 12
AB AC nhỏ nhất khi H trùng với M.
0,5
Vậy d là đường thẳng vuông góc với AM tại M nên có phương trình x y− − =3 0 0,25
2 2
2 2
3 12 24 9 2 2 0 (1)
,
− + =
x y
ĐK xy≥0
(1)⇔ +x 2y +4xy=3 x+2y 2xy(3)
0,25
Ta có x = 0 hoặc y = 0 không là nghiệm của hệ nên xy>0 Chia hai vế của (3) cho
(x+2y) 2xy ta được 2 2 2 3(4)
2 2
+
xy
xy
Đặt 2 2
2
+
= x y≥
t
xy ta được
2
+ = ⇔ =
t
0,25
2
2x
+
= ⇒ x y = ⇔ =
y
Thay x=2y vào (2) ta được y2= ⇔ =1 y 1
Vậy hệ có nghiệm (x y; ) ( )= 2;1
0,5
Đặt x a b= + > ⇒0 ab= −3 x
Ta có ( )2 ( )2 ( )2
2 4(3 ) 2
⇔x ≥ − ⇔ ≥x x (do x > 0)
Khi đó,
( )
+ +
ab
P
0,5
Trang 6
3
2 7 3 5
= x + −x x+ −
x
Xét 3 2 7 3 5
= x + − + − ≥
x
Ta có 2
2
= + − − > ∀ ≥
x
3 ( ) (2)
2
⇒ f x ≥ f =
Do đó,
2
3
≥
2
= ⇔ = =
Vậy GTNN của P bằng 3
2.
0,5
HẾT