Đề học sinh giỏi tham khảo môn toán 9 (1)

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

Năm học: 2008 – 2009

MÔN THI: TOÁN

(Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề)

Bài 1 (4 điểm)

Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện:

2 2 2

  





 Chứng minh rằng:

Bài 2 (4 điểm)

Giải các phương trình:

a) x2  8x 15 3 x 3 2 x 5 6       b) x2  2x 2 2 2x 3   

Bài 3 (4 điểm)

Cho điểm M thuộc miền trong tam giác ABC Các tia AM, BM, CM cắt các cạnh của tam giác ABC theo thứ tự ở P, Q, R Chứng minh rằng:

1

2

Bài 4 (4 điểm)

Cho hình vuông ABCD cạnh a Trên các cạnh AB, BC, CD, DA của hình vuông lấy các điểm E, F, G, H sao cho AE = BF = CG = DH để được hình vuông EFGH Với giá trị nào của AE thì diện tích EFGH đạt giá trị nhỏ nhất?

Bài 5 (4 điểm)

Tìm tất cả các số tự nhiên a, b khác 0 sao cho:

(a, b) = 1 và a b2 2 9







HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI

MÔN TOÁN

Năm học: 2008 – 2009 Bài 1 (4 điểm)

Từ (1) suy ra:

a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = 4 (3) (0,5 điểm)

Từ (2) và (3) suy ra:

2(ab + bc + ca) = 2  ab + bc + ca = 1 (0,5 điểm)

Xét:

1 + b2 = ab + bc + ca + b2 = (b + c)(a + b) (0,5 điểm)

1 + c2 = ab + bc + ca + c2 = (a + c)(b + c) (0,5 điểm)

1 + a2 = ab + bc + ca + a2 = (a + b)(a + c) (0,5 điểm)

Do đó:

= a(b + c) + b(a + c) + c(a + b) = (0,5 điểm)

Bài 2 (4 điểm)

(1)  (x 3)(x 5) 3 x 3 2 x 5 6 0        

x 5 3



(0,5 điểm)

Vậy: phương trình đã cho có hai nghiệm: x1 = 1; x2 = 4 (0,5 điểm)

b) Điều kiện: 3

x 2

x2  2x 2 2 2x 3   

x 2 0

x 2 2x 3 1





(0,5 điểm)

Vậy: Phương trình đã cho có một nghiệm x = 2 (0,5 điểm)

Bài 3 (4 điểm)

a) Kẻ AH và MK vuông góc với BC

 MBC

ABC

S  AH (1) (0,5 điểm) Mặt khác: MK // AH (cùng vuông góc với BC)

R

P

Q

A

M

Theo Ta lét: MK MP

AH  AP (2)

(0,5 điểm)

Từ (1) và (2) suy ra: MBC

ABC

MP S

ABC

MQ S

AMC

ABC

1

b)

Bài 4 (4 điểm)

Gọi diện tích của EFGH là S Theo giả thiết:

AE = BF = CG = DH  BE = CF = CG = AH Suy ra: AE + AH = a và ∆AEH = ∆BEF = ∆CGF = ∆DGH

(0,5 điểm)

Ta có: S = SABCD – 4.SAEH  S = a2 – 2.AE.AH

Do đó S nhỏ nhất  AE.AH lớn nhất (1 điểm)

Ta có với mọi x, y  R: (x – y)2 ≥ 0  x2 + y2 ≥ 2xy

 x2 + y2 + 2xy ≥ 4xy  (x + y)2 ≥ 4xy 

2

(x y) xy

4





Suy ra: S = 2.AE.AH ≤

2 2



Dấu “=” xảy ra  AE = AH  AE = a

Vậy:

2 2

Bài 5 (4 điểm)

Vì (a, b) = 1 suy ra: (a + b, a2 + b2) = 1 (0,5 điểm)

Thật vậy, giả sử (a + b, a2 + b2) = d (d ≠ 1) Suy ra:



– Vì (a, b) = 1 nên từ (2) suy ra: a  d hoặc b  d (0,5 điểm)

+ Nếu a  d thì từ (1) suy ra b  d (vô lí vì a, b nguyên tố cùng nhau)

+ Nếu b  d thì từ (1) suy ra a  d (vô lí vì a, b nguyên tố cùng nhau)

H

G

F

B A

E

– Vậy: (a + b, a2 + b2) = 1 (1 điểm)

Vì (a + b, a2 + b2) = 1 Kết hợp giả thiết suy ra:

hoặc a 5

b 4











(1 điểm)

Vậy: Có hai cặp số thỏa mãn điều kiện đầu bài là a = 4; b = 5 hoặc a = 5; b = 4

(0,5 điểm)

Chú ý: Nếu học sinh có cách giải khác với đáp án mà vẫn cho kết quả hợp lý, chính xác thì vẫn cho điểm theo thang điểm trên