chuyên đề phương trình lượng giác

Một lần nữa, chúng em xin cảm ơn thầy Đỗ Kim Sơn đã đọc và cho góp ý, cũng như bỏ qua những thiếu sót trong lần viết chuyên đề này của chúng em.Tập thể học sinh lớp 10 Toán 2009 - 2012 P

Sở Giáo Dục & Đào Tạo tỉnh Tiền GiangWWW.ToanCapBa.Net

Trường THPT Chuyên Tiền Giang

Giáo viên hướng dẫn: Thầy Đỗ Kim Sơn.

Thầy Nguyễn Tuấn Ngọc

Kính thưa quý thầy cô và các bạn! Như chúng ta đã biết, lượng giác là một phần quan trọng trong toán phổ thông nói chung và toán chuyên nói riêng.Và hôm nay chúng em mang đến quyển chuyên đề này không ngoài mục đích học tập, rèn luyện thêm kiến thức và khả năng làm toán Không chỉ dừng lại ở các bài toán lượng giác, quyển chuyên đề còn bàn đến những ứng dụng to lớn của lượng giác vào việc giải một số bài toán đại số

Ở đa số các bài toán, chúng em đều có phần nhận xét cá nhân, những suy nghĩ và hướng

đi mới Do vậy mỗi phần, mỗi chương sẽ thực sự thể hiện cả một quá trình tìm tòi và suy nghĩ của chúng em Sự tìm tòi có thể khác nhau nhưng đều có chung một mục đích: đó là đi đến sự tiến bộ

Mặc dù đã hết sức cố gắng nhưng quyển chuyên đề khó có thể tránh được những thiếu

KHÓA: 2009-2012

Một lần nữa, chúng em xin cảm ơn thầy Đỗ Kim Sơn đã đọc và cho góp ý, cũng như bỏ qua những thiếu sót trong lần viết chuyên đề này của chúng em.

Tập thể học sinh lớp 10 Toán 2009 - 2012

Phần đầu của chuyên đề ta sẽ xét các vấn đề chung của phương trình lượng giác (những kiến thức cơ bản về lượng giác, điều kiện tồn tại nghiệm của phương trình lượng giác và các bài toán liên quan đến việc tìm số k nguyên trong công thức biểu diễn nghiệm của phương trình)

Trong chương này chúng tôi phân loại phương trình lượng giác theo cách giải nó Phần cuối của chương dành để trình bày các phương pháp giải các hệ phương trình lượng giác cơ bản nhất

I Các kiến thức lượng giác cơ bản :

Các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản :

• tan cotα α =1 ( với

2

kπ α

• sin(x y± ) =sin cosx y±sin cosy x(∀x y, ∈¡ )

• cos(x y± ) =cos cosx ymsin sinx y(∀x y, ∈¡ )

• tan( ) tan tan , ,

Công thức nhân đôi :

• sin 2x=2sin cosx x

• cos 2x=cos2x−sin2x=2cos2x− = −1 1 2sin2x

1 cossin

•

1 coscos

• sin 3x=3sinx−4sin3x

• cos3x=4cos3x−3cosx

•

3 2

• 2

2sin

1

t x

1cos

1

t x

Công thức biến đổi tích thành tổng :

Công thức biến đổi tổng thành tích :

• sin sin 2sin 2 cos 2

• sinx cosx 2 sin x 4 2 cos x 4

Các hằng đẳng thức trong tam giác :

• tanA+tanB+tanC =tan tan tanA B C

• cot cotA B+cot cotB C+cot cotC A=1

• cos2 A+cos2B+cos2C= −1 2cos cos cosA B C

• sin2 A+sin2B+sin2C= +2 2cos cos cosA B C

• cos 2A+cos 2B+cos 2C = − −1 4cos cos cosA B C

• tan 2tan 2 tan 2tan 2 tan 2tan 2 1

II Điều kiện đối với một phương trình lượng giác :

Cũng giống như khi giải các phương trình khác, việc đặt điều kiện khi giải phương trình lượng giác rất quan trọng Ngoài các điều kiện thông thường đối với mẫu số, các biểu thức trong căn của các căn bậc chẵn có mặt trong phương trình, riêng đối với phương trình lượng giác cần lưu tâm đặc biệt đến các diều kiện sau :

• Để tan x có nghĩa, điều kiện là x≠ +π2 kπ(k∈¢)

• Để cot x có nghĩa, điều kiện là x k≠ π(k∈¢)

Lược đồ chung để giải các phương trình lượng giác, cũng giống như khi giải các phương trình khác thường được tiến hành như sau :

• Đặt điều kiện để phương trình có nghĩa

• Giải phương trình bằng các lược đồ quen thuộc tương ứng

• So sánh nghiệm tìm được với điều kiện đã đặt ra để loại bỏ đi các nghiệm ngoại lai

Một số chú ý :

• Đối với các họ nghiệm theo tan và cot, nếu một vế của phương trình không chứa ẩn thì ta không cần đặt điều kiện

• Để làm mất dấu trừ trước các hàm số lượng giác, ta dùng các cung đối cho hàm sin, tan

và cot, dùng cung bù cho hàm cos

III Xác định số k trong công thức nghiệm của phương trình lượng giác :

Các bài toán liên quan đến số k trong công thức nghiệm của phương trình lượng giác nảy sinh trong các trường hợp sau đây :

• Tìm nghiệm của phương trình lượng giác trong một miền cụ thể cho trước nào đó của biến

• Giải một số phương trình lượng giác dạng đặc biệt

Thông thường đối với các bài toán dạng xác định số k ta thường tiến hành như sau :

• Giải phương trình lượng giác như bình thường.

• Với nghiệm tìm được, để xác định số k tương ứng ta phải giải một bất phương trình đơn giản: Tìm nghiệm nguyên k thỏa mãn một bất phương trình

• Thay giá trị k tìm được vào công thức nghiệm sẽ suy ra các nghiệm cần tìm

Nhìn chung, việc xác định cụ thể các giá trị của tham số k nguyên trong công thức nghiệm của phương trình lượng giác xuất hiện trong nhiều bài toán giải phương trình lượng giác Nếu để

ý thì dưới hình thức này hay hình thức khác thực chất đó là giải phương trình lượng giác có kèm theo một diều kiện phụ nào đó

Việc xác định các giá trị của tham số k qui về việc tìm nghiệm nguyên của một bất phương trình cụ thể nào đó

IV Các phương trình lượng giác thường gặp :

b u a

−

=

=+ =

⇒ đưa về các họ nghiệm cơ bản để giải

2 Phương trình bậc hai theo một hàm số lượng giác của u :

Có dạng:

2 2 2 2

tancot

Dạng 1 : Phương trình bậc nhất hoặc bậc hai đối

với f(x),trong đó f(x) là một biểu thức lượng giác

1

t x

t

=+ ;

2 2

1cos

1

t x

t

−

=+ .Đưa phương trình đã cho thành phương trình bậc hai theo ẩn t

Dạng 3 : Phương trình đối xứng với sin x và

cos x :

• a(sinx+cosx)+bsin cosx x c+ =0

• a(sinx−cosx)+bsin cosx x c+ =0

• Tìm nghiệm thỏa cosx=0

• Với cosx≠ 0 thì chia hai vế của

Dạng 4 : Phương trình thuần bậc hai đối với

Cách 2 :

• Tìm nghiệm thỏa sinx=0

• Với sinx≠0 thì chia hai vế của phương trình cho sin x2 dể đưa phương trình đã cho về dạng phương trình bậc hai theo ẩn cot x.

Dạng 5 : Phương trình thuần bậc ba đối với

4 Kết hợp công thức nghiệm :

Kết hợp công thức nghiệm trong các PTLG chẳng những giúp cho ta có thể loại được nghiệm ngoại lai mà còn có thể có được một công thức nghiệm đơn giản hơn, từ đó việc giải quyết bài toán trở nên đơn giản hơn (giống như bài toán mà ta vừa xét ở trên) Đôi lúc việc kết hợp công thức nghiệm cũng tương tự như việc giải một hệ phương trình lượng giác cơ bản bằng phương pháp thế Ở đây ta không đề cặp đến phương pháp này mà ta chỉ nói đến hai phương pháp chủ yếu sau :

a) Đường tròn lượng giác :

* Các khái niệm cơ bản :

• Đường tròn lượng giác: là đường tròn có bán kính đơn vị R = 1 và trên đó ta đã chọn mộtchiều dương ( )+ (thông thường chiều dương là chiều ngược chiều kim đồng hồ)

• Cung lượng giác: »AB (với A, B là 2 điểm trên đường tròn lượng giác) là cung vạch bởi điểm M di chuyển trên đường tròn lượng giác theo một chiều nhất định từ A đến B

• Góc lượng giác: khác với góc bình thường góc lượng giác có một chiều nhất định

*Phương pháp biểu diễn góc và cung lượng giác :

• Biểu diễn các điểm ngọn của cung lượng giác biết số đo có dạng α + kπ :

Ta đưa số đo về dạng α k2

m

π+

Bài toán có m ngọn cung phân biệt tương ứng với k từ 0 đến (m 1 )

Ví dụ 1 : Trên đường tròn lượng giác, ta lấy điểm A làm gốc Định những điểm M biết

b) Biểu diễn góc (cung) dưới dạng công thức tổng quát :

Ta biểu diễn từng góc (cung) trên đường tròn lượng giác Từ đó suy ra công thức tổng quát

Ví dụ 2 : Biểu diễn góc lượng giác có số đo sau dưới dạng một công thức tổng quát:

Nhận xét : Qua bài toán này ta thấy rõ vai trò của việc kết hợp các góc lượng giác dưới

dạng một công thức tổng quát đơn giản hơn Hơn nữa, đây còn là bài toán về việc giải hệ phươngtrình lượng giác cơ bản bằng phương pháp biểu diễn trên đường tròn lượng giác

Bài toán giải PTLG dùng phương pháp kết hợp nghiệm bằng đường tròn lượng giác để loại các nghiệm ngoại lai

Ta xét một số bài toán sau :

Bài toán 1 : Giải phương trình :

≠





sinx(cosx+sinx)− =1 0

Nhận xét : Đây là một bài có công thức nghiệm đơn giản cho phép ta có thể biểu diễn

một cách chính xác trên đường tròn lượng giác Tuy nhiên ta hãy xét thêm bài toán sau để thấy rõmàu sắc của bài toán biểu diễn nghiệm trên đường tròn lượng giác

Bài toán 2 : Giải phương trình sau :

sin 4

1cos 6

Nhận xét : ta nhận thấy đối với bài toán này việc biểu diễn bằng đường tròn lượng giác

đã ttrở nên khó khăn và khó chính xác Do đó ta hãy xem phương pháp hai

5 Phương trình lượng giác có một vế là tổng hữu hạn :

a) Cơ sở của phương trình :

Dạng phương trình này có cơ sở là một số tổng hữu hạn ở dạng phức tạp được đưa về dạnggiản đơn

Cần chú ý là ở đây chỉ nêu các trường hợp con, sử dụng các công thức đơn giản hơn đểthu gọn các tổng tích phức tạp rồi áp dụng chúng vào việc giải phương trình lương giác chứkhông đưa ra các phương pháp tổng quát Bởi vì phần này sẽ được đề cập đến một cách rõ ràng

và đầy đủ ở chương sau: “ Lượng giác ứng dụng vào giải toán Giải tích”

Một số công thức chính được dùng nhiều ở phương pháp này :

sin sin 2 sin

sin2

n n

a a

=

4sin x+4 cos x =sin 2x

c) Một số tích & cách chứng minh nó :

1

2cos 2 12cos 1 2 cos 2 1 2cos 2 1

2cos 1

n n

Cách 1 : nhân 2 vế với

2

a tg

2n 1

π+

Chú ý : Ở các công thức này ta có một mẹo nhỏ Đó là chỉ cần nhìn kết quả của vế phải là

ta đã có thể biết được cách chứng minh Tuy nhiên có nhiều trường hợp ta chỉ có vế trái thì taphải làm sao? Ta cần sử dụng đến các công thức ở mục a) do đó ta cần ghi nhớ các công thức ởmục a

∑

Lời giải

Điều kiện để phương trình có nghiệm : sin 2i x≠0;i=1,n

Áp dụng S ta được nghiệm của phương trình là : 3

Nhận xét : Ta nhận thấy nhờ có đẳng thức S mà việc giải bài toán này trở nên dễ dàng3

hơn Mặt khác cần chú ý rằng đối với các bài toán có điều kiện phức tạp như vậy ta chỉ cần đặtđiều kiện tổng quát Sau đó khi đã có được nghiệm rồi ta thế vào điều kiện tổng quát ban đầu đểloại đi các nghiệm ngoại lai

6 Phương trình vô tỉ :

2

0f

f

g g

Bài toán 1 : (64II - Bộ đề thi Tuyển sinh) Giải phương trình :

cos 2x+ 1 sin 2+ x =2 sinx+cosx(1)

Với điều kiện (2) thì ( )1 ⇔ cosx−sinx+ cosx+sinx =2

⇔2cosx+2 cos2x−sin2 x=4

⇔ cos2x−sin2 x= −2 cosx

⇔cos2x+4cosx− =5 0

⇔cosx= ∈ −1 [ 1,1]⇔ =x k2 ,π (k∈Z)

Thử lại với điều kiện (2) : Do cosx= ⇒1 sinx=0 thoả (2)



 ≥

 được thoảmãn Do đó ta cần phải thật cẩn thận trong phương trình dạng này

Bài toán 2 : (66II.2-Bộ đề thi tuyển sinh) Tìm m để phương trình sau có nghiệm :

21sin

Phương trình có nghiệm ⇔M iny m≤ ≤Maxy⇔ 1+ 3 ≤ ≤m 2 1+ 2

Nhận xét : Phương pháp này có thể gọi là phương pháp miền giá trị Bởi vì thật ra tập giá

trị của m chính là miền giá tri của hàm f

Đây là hàm đồng biến trong trong tập xác định của nó nên Max và Min của hàm số cũngchính là giá trị 2 đầu của miền giá trị

7 Một số phương pháp khác giải phương trình lượng giác :

Chú ý : Nếu thuận lợi ta cũng nên tìm điều kiện của t, khi đó ta chỉ cần nhận các nghiệm t thích

hợp để giải tìm x (đây là điều kiện bắt buộc khi gặp các phương trình chứa tham số) Nếu

điều kiện của t tìm quá khó khăn thì ta không cần phải xác định điều kiện này, nhưng khi đó gầnnhư ta phải xét hết các nghiệm t tìm được để giải tìm x

3 Phương pháp chặn (phản chứng) – Phương pháp tổng các số hạng không âm :

Phương trình : sin cos 1 sin 1 sin 1

1 0

2

00

8 Các dạng phương trình lượng giác hay gặp :

a Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x :

Dạng 1 : Phương trình không có tham số

Ví dụ 1 : Giải phương trình sau

( ) ( )

Dạng 2 : Phương trình có tham số

Đối với dạng toán này, nếu ta dùng phương pháp đặt ẩn phụ thì việc tìm điều kiện cho ẩn phụ là rất quan trọng Nó có thể ảnh hưởng đến kết quả của cả bài toán Chính vì thế, khi gặp

những phương trình có tham số nói chung và phương trình lượng giác có tham số nói riêng thì khi đặt ẩn phụ ta phải chú ý đến điều kiện của ẩn phụ.

Ta sẽ xét một vài ví dụ minh họa sau :

Ví dụ 1 : Tìm m để phương trình 2sinx m+ cosx= −1 m( )1 có nghiệm thuộc ;

2

6 f(t)

+ -

f(t) f'(t) t

1

7 5+ 3 2

0 0

3 1

0 -1/2

Ví dụ 3 : Giải và biện luận theo m phương trình 2sin x m+ cosx= −1 m (1)

Loại 3 : Áp dụng vào việc tìm cực trị của hàm số dạng

Ví dụ 1 : Tìm cực trị của hàm số sin 2cos 1

có nghiệm Vì sinx+cosx≥ − 2 ∀x ⇒ sinx+cosx+ >2 0 ∀x Do đó:

( )1 ⇔sinx+2cosx+ =1 y0sinx y+ 0cosx+2y0

⇔ −(1 y0)sinx+ −(2 y0)cosx=2y0 −1 2( )

Vì (2) có nghiệm nên ta có ( ) (2 ) (2 )2

1−y + −2 y ≥ 2y −1 ⇔ y02 + y0 − ≤2 0

⇔ − ≤2 y0 ≤1 3( )

Từ (3) suy ra max y = 1 và min y = -2

Ví dụ 2 : Cho hàm số f x( ) 2sinasinx coscosx 13

=

+ − Tìm a để ( )

( )2 ( ( ) )2 ( )max f x + min f x =2 x∈¡

có nghiệm Chú ý rằng 2sinx+cosx− <3 0 ∀x nên :

( )1 ⇔asinx−cosx+ =1 2 siny0 x y+ 0cosx−3y0

Nếu vậy thì ( )

( )

2 1

maxmin

Bài tập tự rèn luyện Bài 1 : Giải các phương trình lượng giác sau

10 cos 43 x=cos3 cosx 3x+sin3 sinx 3x

Bài 2 : Chứng minh rằng các phương trình sau vô nghiệm

3 cos cos( ) 1

2

4 sinx+cosx=tanx+cotx

5 sinx−2sin 2x−sin 3x=2 2

Bài 3 : Giải và biện luận các phương trình sau

Bài 5 : Định m để các phương trình sau có nghiệm thỏa điều kiện tương ứng

1 cos3x−4 cos 2x+3cosx− =4 0 với x∈[0;14]

2 mcosx m− 2 =cosx−1 với ;

Bài 7 : Cho phương trình sinx m+ cosx=1 1( )

a Giải phương trình với m= − 3

b Phương trình đẳng cấp bậc 2, bậc 3 đối với sin x và cos x :

Dạng 1 : Phương trình không có tham số

Ví dụ 1 : giải phương trình lượng giác sau

Các nghiệm này thỏa (*) nên là nghiệm của (1).

Dạng 2 : Phương trình có tham số

Ví dụ 1 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm

x

x x

− ≤ ≤



⇔ ∆ ≥ ⇔  ≠

Kết hợp cả hai trường hợp suy ra (1) có nghiệm ⇔ − ≤ ≤2 m 1

Ví dụ 2 : Giải và biện luận theo m phương trình

Từ đó ta xét hai trường hợp có thể xảy ra như sau :

• Nếu m = 0 thì (1) trở thành 4sin cosx x+2cos2 x=0

1

2tan

(1) Nếu m > 2 : (2) vô nghiệm nên (1) vô nghiệm

(2) Nếu m = 2 : ( )2 ⇔tan2 x+2 tanx+ =1 0

1 4sin3 x+3cos3x−3sinx−sin2 xcosx=0

2 sinx+cosx−4sin3x=0

3 sin2 x(tanx+ =1) 3sinx(cosx−sinx)+3

m m x

m

αβ

1 cos2 x+6sinx=4a2 −2 có nghiệm.

2 cos4 x−2sin2 x m+ 2 =0 có nghiệm

c Phương trình đối xứng với sin x và cos x

Dạng 1 : Phương trình không có tham số

1 ⇔ +1 sinx+cosx sin x−sin cosx x+cos x =3sin cosx x

⇔ +1 (sinx+cosx) (1 sin cos− x x) =3sin cosx x( )2

222

x x

Lời giải

( )1 ⇔sinx−cosx+14sin cosx x=1 2( )

t t

3 2

24

5

24

Ta thấy với mọi m thì (3) luôn có hai nghiệm phân biệt t1 và t2

Mặt khác theo định lí Viéte thì t1t2 = -1 vì thế luôn tồn tại nghiệm thỏa (4)Vậy với mọi m thì phương trình (1) luôn có nghiệm

Ví dụ 2 : Tìm m để phương trình

( ) ( )sin2x+4 cosx−sinx =m 1

1-4 2

1+4 2

+ 0

2

- 2 -2

Vậy hệ (3) và (4) có nghiệm 1 4 2 1 4 2

m m

6 2 sin( x+cosx) +sin 2x+ =1 0

7 5 sin( x+cosx)+sin3x−cos3x=2 2 sin 2( x+2)

8 sin3 x+cos3 x=1

9 cos3x−s in3x=cos 2x

10 sin3 x+cos3 x= +2 ( 2 2 sin cos− ) x x

Bài 2 : giải và biện luận theo m phương trình 1 1

cosx−sinx =m

Bài 3 : Định m để phương trình sin2x−2 sinm x−cosx − +1 3m2 =0 1( )

V Lượng giác hóa một số phương trình đại số :

Khi gặp các phương trình đại số đại số rất khó giải, khi đó chúng ta xem có thể thay đổi hình thức của bài toán (thường thông qua phương pháp ẩn phụ) để thu được những phương trình đơn giản hơn hay không! Trong một số trường hợp ta có thể chuyển phương trình đại số thành

phương trình lượng giác thông qua các dấu hiệu đặc biệt của các biểu thức chứa ẩn có mặt trong

PT và thông qua miền giá trị của chúng

Các biểu thức thường được lượng giác hóa

a x

bx c

2x −1(giống 2cos2t−1→cos2t)

Điều kiện : 1− ≤ ≤ ⇒x 1 Đặt x=cosϕ với 0≤ϕ ≤π

Khi đó 1−x2 = sinϕ ; sinϕ≥ ⇒0 sinϕ =sinϕ

Ta có phương trình : cos3ϕ+sin3ϕ= 2 sin osϕc ϕ

⇔(sinϕ+cosϕ) (1 sin os− ϕc ϕ) = 2 sin osϕc ϕ

Phương trình (*) có các nghiệm là : u = 2;u= − 2 1;+ u= − 2 1− < − 2 (loại)