Bài tập về véc tơ cho học sinh giỏi

Chứng minh các khẳng định sau tương đương 1 G là trọng tâm tam giác ABC.. Chứng minh hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm.. H là một điêm bất kỳ nằm bên trong tam giác.. Chứng minh

Newton Grammar School

BÀI TẬP ÔN THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10 – VECTƠ Bài 1 Cho tam giác ABC và điểm M Chứng minh M là trung điểm của BC khi và chỉ khi

1

2

AM  AB  AC

  

Bài 2 Cho tam giác ABC và điểm G Chứng minh các khẳng định sau tương đương

1) G là trọng tâm tam giác ABC

2) GA GB GC    0

   

3) MA     MB  MC  3MG 

M



Bài 3 Chứng minh hai tam giác ABC, A 'B 'C' có cùng trọng tâm khi và chỉ khi

AA ' BB ' CC'    0

   

Bài 4 Cho M, N, P, Q , R, S lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA của lục giác ABCDEF Chứng minh hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm

Bài 5 Cho tam giác đều ABC với tâm là H là một điêm bất kỳ nằm bên trong tam giác Gọi A ',

B ', C' lần lượt là các điểm đối xứng với H qua các cạnh BC, CA, AB Chứng minh rằng hai tam

ABC và A 'B 'C' có cùng trọng tâm

Bài 6 Nếu M, N theo thứ tự là trung điểm của các đoạn AD, BC thì

MN  AB  DC  AC  DB

    

Bài 7 Cho tứ giác ABCD Các điểm M, N theo thứ tự thay đổi trên các cạnh AD, CB sao cho

CN

AM

AD  CB Tìm quỹ tích trung điểm I của MN

Bài 8 Cho ngũ giác ABCDE Các điểm M, N, P, Q , R, S lần lượt là trung điểm các đoạn EA,

AB, BC, CD, MP, NQ Chứng minh RS / /ED và 1

4

RS  ED

Bài 9 Cho tam giác ABC M là một điểm bất kỳ thuộc cạnh BC Chứng minh rằng

AM  AB  AC

  

Bài 10 Cho tam giác ABC Chứng minh nếu I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác thì

aIA  bIB  cIC  0

   

Điều ngược lại có đúng không?

Bài 11 Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm I Đường tròn  I tiếp xúc với các cạnh BC,

CA, AB của tam giác lần lượt tại D, E, F Chứng minh aID bIE cIF       0 

Newton Grammar School

Bài 12 (Định lý con nhím) Cho đa giác lồi A A A và các vectơ đơn vị 1 2 n e  i

(i  1, 2, ,n) lần lượt

vuông góc với A A  i i 1 

(xem A n 1   A 1) Chứng minh rằng A A e 1 2 1   A A e 2 3 2    A A e n 1 n   0 

Bài 13 Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn  I Hai điểm E, F lần lượt là trung điểm của AC

và BD Chứng minh I, E, F thẳng hàng

Bài 14 Về phía ngoài tam giác ABC, dựng các tam giác đồng dạng XBC, YCA, ZAB Chứng minh rằng các tam giác ABC, XYZ có cùng trọng tâm

Bài 15 Cho tam giác ABC M là một điểm bất kỳ thuộc cạnh BC Chứng minh rằng

S MBC SA  S MCA SB  S MAB SC  0

Bài 16 Cho tam giác đều ABC tâm O M là điểm bất kỳ trong tam giác D, E, F lần lượt là hình chiếu của M lên BC, CA, AB Chứng minh 3

2

MD  ME  MF  MO

   

Bài 17 [HSG10V1-Hà Nội-1992] Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O và có trực tâm H Chứng minh

1) OA OB OC       OH 

2) sin 2A.OA sin 2B.OB sin 2C.OC       0 

(với giả thiết tam giác ABC nhọn)

Bài 18 [HSG10V1-Hà Nội-1993] Cho tam giác ABC và một điểm M bất kỳ

1) Chứng minh vectơ 3MA 5MB   2MC

  

không phụ thuộc vào vị trí của điểm M 2) Chứng minh nếu điểm H thỏa mãn hệ thức OA OB OC    OH

   

(O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC) thì H là trực tâm tam giác

3) Tìm tập hợp điểm M sao cho 3MA   2MB   2MC   MB    MC

Bài 19 [HSG10V1-Hà Nội-1993] Cho tam giác ABC với H là trực tâm, O là tâm đường tròn ngoại tiếp Gọi G, A , 0 B , 0 C lần lượt là trọng tâm các tam giác 0 ABC, HBC, HCA, HAB Chứng minh

OA     OB  OC  5OG 