de thi -Dap an HSG Tinh BP

5 điểm Cho hình lập phương ABCD.A,B,C,D, có cạnh bằng a.. Tính diện tích tam giác MNP theo a và x.. Tìm x để diện tích ấy nhỏ nhất.. Khi x = 2 a hãy tính thể tích khối tứ diện B,MNP và

SỞ GD-ĐT BÌNH PHƯỚC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12

NĂM HỌC 2010-2011 MÔN : TOÁN (BTTH)

Thời gian :180 phút ( không kể phát đề).

Ngày thi : 08/10/2010.

Câu 1 (5 điểm)

Cho hàm số: 3 3 2 1 3

y x= − mx + m , m là tham số thực

1 Khảo sát vẽ đồ thị khi m = 1

2 Xác định m để đồ thị hàm số có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng y = x

Câu 2 (6 điểm)

1.Cho phương trình : 2cos 2x+sin2xcosx+sin cosx 2x m= (sinx cox+ ), m là tham số

a : Giải phương trình khi m = 2

b : Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc 0;

2

Π

2 Giải bất phương trình : x2−4x+ −3 2x2− + ≥ −3x 1 x 1

Câu 3 (4 điểm)

Giải hệ phương trình :

3 3 3

6







Câu 4 (5 điểm)

Cho hình lập phương ABCD.A,B,C,D, có cạnh bằng a Trên AB lấy điểm M, trên CC ,

lấy điểm N, trên D,A, lấy điểm P sao cho AM=CN=D,P= x (0 ≤ ≤x a)

1.Chứng minh rằng tam giác MNP là tam giác đều Tính diện tích tam giác MNP theo

a và x Tìm x để diện tích ấy nhỏ nhất

2 Khi x =

2

a

hãy tính thể tích khối tứ diện B,MNP và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp

tứ diện

HẾT

Họ, tên thí sinh:……… Số báo danh:………

Họ, tên chữ kí giám thị :………

Họ, tên chữ kí giám thị :………

Đề chính thức

SỞ GD-ĐT BÌNH PHƯỚC ĐÁP ÁN CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12

MÔN TOÁN (THPT) NĂM HỌC 2010-2011 Câu 1.(5điểm)

a.Giám khảo tự vẽ (2đ)

b.(2 điểm)Hàm số 3 3 2 1 3

y x= − mx + m có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thảng y = x

, 3 2 3 3 ( )

y = x − m= x x m− => y,= 0  x 0

x m

=



 =

 , y

, đổi dấu qua các nghiệm khi m≠0 Suy ra để hàm số có CĐ,CT điều kiện cần và đủ là m≠0

Nếu m > 0 hàm số có cực đại tại x = 0 và ymax = 1 3

2m , CT tại x = m và ymin=0 Nếu m < 0 hàm số có cực đại tại x = m và ymax = 0, CT tại x = 0 và ymin=1 3

2m

Gọi A,B là các điểm cực trị của hàm số Để A,B đối xứng nhau qua y = x điều kiên cần và đủ là OA OB=

=> m = 1 3

2m (m ≠0)  m = ± 2

2 (1 điểm)Tìm tất cả các gía trị của a, b để phương trình 22 2

x ax b

m

bx ax

− + có hai nghiệm phân

biệt với mọi m

PT tương đương với hệ :

2

2 1 0(2)

x ax b m bx ax

bx ax





(1)  (bm-1)x2 -2a(m-1)x +m –b = 0 PT có hai nghiệm PB  , 1 0(3)

0, (4)

bm

m

− ≠



Từ (3) mọi m khi b = 0

Từ (4) => ∆ =, a m2 2+ −(1 2 )a m a2 + 2 f 0∀m điều này xẩy ra khi và chỉ khi:

2

2

m

a

a a

≠



⇔

∆ = −

Với b = 0 và 1

2

a f Từ điều kiện (2) ta có -2ax + 1 ≠0  x ≠ 1

2a

Bằng phép thử trực tiếp ta thấy x = 1

2a không phải là nghiệm của phương trình (1)

Vậy giá trị phải tìm b = 0 , 1

2

a f

Câu 2: (4điểm)

1 Cho phương trình : 2cos 2x+sin2 xcosx+sin cosx 2 x m= (sinx cox+ ), m là tham số

a 1 : Giải phương trình khi m = 2

a 2 : Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc 0;

2

Π

2cos 2x+sin xcosx+sin cosx x m= (sinx cox+ )< = > (sinx cox+ ) 2(cos[ x−sin ) sin cosx + x x m− ]=0

a : (2 điểm) Khi m = 2 ta có:

sin cos 0

2(cos sin ) sin cos 2 0



3

b: (1 điểm) Để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc 0;

2

Π

vì sinx + cosx = 0 không có nghiệm thuộc 0;

2

Π

  nên [2(cosx−sin ) sin cosx + x x m− ]=0(*) phải có

ít nhất một nghiệm thuộc 0;

2

Π

Đặt t = sinx – cosx do x ∈ 0;

2

Π

  nên t = 2 cos(x 4)

∏ + có tmin = t(

2

∏

) = - 1, tmax = t(0) = 1 (*)< = > 1 2 1

2

2t t 2 m

2

f t = − t + +t t∈ − ; f t,( )= − +t 2 0,f t∈ −[ 1;1]

=> fmin = f(-1) = -2 , fmax = f(1) = 2 => − ≤ ≤2 m 2

2(1đ) Giải Bất phương trình : x2−4x+ −3 2x2− + ≥ −3x 1 x 1

< = > (x−1)(x− −3) (x−1)(2x− ≥ −1) x 1

Thử trực tiếp có x = 1 là nghiệm

Với x x≥ 3 ì x-1 0th f bpt < => (x− −3) (2x− ≥1) x−1 < = > − − ≥2x 1 2 (x−1)(2x−1 => VN Với x 1

2

≤ bpt < = > 3− −x 1 2− x ≥ − −1 x < = > 2 (3−x)(1−x)≥ −3 luôn đúng

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là x = 1 , 1

2

x≤

Câu 3 (3điểm) Giải hệ phương trình :

3 3 3

6





 < = >

2 2 3 3

6 1

19

y y

y x





 + =



< = > 3

1

y

y

x x

y





1

;y

x+ = x =

< => 3

3 19

u v

u uv

= −



 − =

 < = > u = 1; v = - 6 =>

1

1

6

y x y x

 + =





 = −

 < = >

1

3 1

2







Câu 4 (5 điểm)

Cho hình lập phương ABCD.A,B,C,D, có cạnh bằng a Trên AB lấy điểm M, trên CC,

lấy điểm N, trên D,A, lấy điểm P sao cho AM=CN=D,P= x (0 ≤ ≤x a)

1.Chứng minh rằng tam giác MNP là tam giác đều Tính diện tích tam giác MNP theo

a và x Tìm x để diện tích ấy nhỏ nhất

2 khi x =

2

a

hãy tính diện tích khối tứ diện B,MNP và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp

tứ diện

1.(3đ) Ta có MN2 =MC2 + NC2 = MB2 + BC2 + NC2= 2a2 + 2x2 – 2ax => MN = 2 a2 + −x2 ax

Tương tự ta có MP= PN = MN => tam giác MNP đều

Diện tích tam giác MNP là SMNP = 1 3

2MN MN 2 = 3 2 2

2 a + −x ax

min SMNP = 3 2 2

a + −a đạt được khi

2

a

x= ( hoành độ đỉnh parabol)

2.(2đ).Gọi H là hình chiếu của B, trên mp(MNP), suy ra H là tâm tam giác MNP

do MNP đều,B,M = B,N = B,P = 2 2 5

Từ đó B,H = , 2 2 3

2

a

B N −NH =

Vậy VB,MNP = 1 , 1 3 3 3 2 3 3

Gọi O là tâm mặt cầu ngoại tiếp B,MNP, suy ra O thuộc B,H do đó OB, là bán kính mặt cầu

Ta có O còn nằm trên đường thẳng trung trực của B,N( xét trong mặt phẳng B,HN)

Hai tam giác vuông B,HN và B,KO đồng dạng nên:

,

12 3

2

OB

Câu 5 .(3 điểm)

1

n n

− +

1

≠ và n là số nguyên dương

1

1

n n

n

x

−

+

( )

n n

n x

−

− bằng qui nạp (3 điểm)

Với n = 1=> VT = VP = 1 n = 2 = > VT =VP = 1

2

x

+

Giả sử BĐT đúng với n =1, 2,…, n tức là (1 ) 1 1

n n

n x

−

− ta CM bđt đúng với n +1 tức là

1

( )

2 ( 1)( 1)

n n

+

+ − thật vậy

1

( )

n

n x

−

Ta CM

1

−

⇔ (n + 1)(1+ x)(xn-1+ …+x+1) ≤ 2n(xn + …+x+1)

⇔ (n + 1)((xn + …+x+1) + (xn-1 + …+x)) ≤ 2n(xn + …+x+1)

⇔ (n + 1)(xn-1 + …+x) ≤ (n - 1)(xn + …+x + 1)

⇔ 2(xn-1 + …+x) ≤ ( n – 1) (xn + 1 )

Ta có ( n – 1) (xn + 1 ) - 2(xn-1 + …+x) =

1

1 ( 1)( 1) 0

n

i

−

−

=

=> đpcm với n≥3 dấu đẳng thức xẫy ra khi x =1

Trên đây là hướng dẫn chấm, tổ giám khảo thống nhất điểm từng phần, nếu học sinh giải theocách khác các giám khảo thống nhất để chấm.