KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG Môn thi: TOÁN − Giáo dục trung học phổ thông Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề I.. ABCD là hình vuông cạnh bằng 8 có các đỉn
Trang 1KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG Môn thi: TOÁN − Giáo dục trung học phổ thông
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
I PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (3,0 điểm): Cho hàm số: 3 2
1
x y
x
-=
-1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số
2) Viết pt tiếp tuyến của ( )C biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng :x- y + 1=0
D
3) Tìm các giá trị của k để ( )C và d y: =kx - 3 cắt nhau tại 2 điểm phân biệt
Câu II (3,0 điểm):
1) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: f x( )=2x3- 3x2- 12x + 1 trên đoạn [ 1;3]
-2) Tính tích phân:
1e(ln 1)
I = ò x + dx
log (2x + 1) log (2x + + 2)=6
Câu III (1,0 điểm):
Cho một hình trụ có độ dài trục OO ¢=2 7 ABCD là hình vuông cạnh bằng 8 có các
đỉnh nằm trên hai đường tròn đáy sao cho tâm của hình vuông là trung điểm của đoạn
OO ¢ Tính thể tích của hình trụ đó
II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần dưới đây
1 Theo chương trình chuẩn
Câu IVa (2,0 điểm): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng D và mặt phẳng
( )a lần lượt có phương trình : 3 2 3
D ; ( ) : 2a x + y - z + 1=0
1) Chứng minh rằng đường thẳng ∆ song song với mặt phẳng (α) Tính khoảng cách từ
đường thẳng ∆ đến mặt phẳng (α).
2) Tìm toạ độ giao điểm A của đường thẳng ∆ với mặt phẳng (Oxy) Viết phương trình
mặt cầu tâm A, tiếp xúc với mặt phẳng (α).
Câu Va (1,0 điểm): Cho z =(1 2 )(2- i + i)2 Tính môđun của số phức z
2 Theo chương trình nâng cao
Câu IVb (2,0 điểm): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M(1;- 1;1), mặt phẳng
( ) :P y + 2z = 0 và hai đường thẳng 1 : 1
D
2
1
z
ìï = -ïï
ï = +
D íïï = ïïî
1) Tìm toạ độ điểm M ¢ đối xứng với điểm M qua đường thẳng ∆2
2) Viết phương trình đường thẳng ∆ cắt cả hai đường thẳng ∆1, ∆2 và nằm trong mp(P).
1
( 1)
y
x
=
- Tìm m để hàm số có hai điểm cực đại
và cực tiểu nằm khác phía so với trục tung
Hết
-TRƯỜNG THPT LONG MỸ
ĐỀ THI THỬ 18
GV Bùi Văn Nhạn
Trang 2Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
Chữ ký của giám thị 1: Chữ ký của giám thị
2:
Trang 3BÀI GIẢI CHI TIẾT Câu I:
y
- Tập xác định: D = ¡ \ {1}
Đạo hàm: 1 2 0,
( 1)
x
-¢ = < " Î
- Hàm số NB trên các khoảng xác định và không đạt cực trị.
Giới hạn và tiệm cận: xlim®- ¥ y = - 2 ; x®lim+ ¥ y = - 2 Þ y = - 2 là tiệm cận ngang
;
® = - ¥ ® = + ¥ Þ = là tiệm cận đứng
Bảng biến thiên
x – 1 +
y –2
–
+
–2
Giao điểm với trục hoành: 0 2 3 0 3
2
y = Û - x + = Û x = Giao điểm với trục tung: cho x =0Þ y = - 3
Bảng giá trị: x 0 1/2 1 3/2 2
Đồ thị hàm số như hình vẽ bên đây:
1
x
x
=
- Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng D:y =x + 1 nên có hệ số góc k = f x¢( )0 = - 1
0 2
0
1
( 1)
x
x
Với x0 =2Þ y0 = - 1 pttt là: y + 1 = - 1(x - 2) Û y = - x + 1
Với x0 =0Þ y0 = - 3 pttt là: y + 3 = - 1(x - 0) Û y = - x- 3
1
x
x
Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của (C) và d: y = kx
(C) và d có 2 điểm chung Û (*) có 2 nghiệm phân biệt
2
0
k
k k
ì
ïD> ï + > ï ¹
Vậy, với k ¹ 0 và k ¹ - 1 thì (C) cắt d tại 2 điểm phân biệt.
Câu II:
Hàm số f x( )=2x3- 3x2- 12x + 1 liên tục trên đoạn [ 1;3]
- y¢ =6x2- 6x- 12
Cho y¢ =0Û 6x2- 6x - 12=0Û x = - 1;x =2 (nhận cả hai)
f -( 1)= 8 ; f(2)= - 19 và f(3)= - 8
Trong các kết quả trên, số –19 nhỏ nhất, số 8 lớn nhất.
Vậy, [ 1;3]min- y = - 19 khi x =2 , max [ 1;3]- y =8 khi x = - 1
I = òe(lnx + 1)dx
Trang 4 Đặt
1
ln 1
x
ìï
Thay vào công thức tích phân từng phần ta được
1 1
I =ò x + dx =x x + - ò dx = e- - x = e- - e+ =e
Vậy, I = e.
log (22 x + 1) log (22 x +1+ 2) =6
log (2x + 1) log (2x+ + 2) =6 Û log (2x + 1) log 2.(2éê x + 1)ùú=6
log (2x + 1) log 2é + log (2x + 1)ù=6 log (2x + 1) 1é+ log (2x + 1)ù=6
Đặt t =log (22 x + 1) phương trình (*) trở thành: t(1+ t)=6
VN
2
3 2
8
x
x t
-é
Vậy, phương trình đã cho có nghiệm: x =log 32
Câu III
Giả sử A B, Î ( )O và C D, Î ( )O ¢
Gọi H,K,I lần lượt là trung điểm các đoạn AB,CD và OO ¢
Vì IO = 7 ¹ 4=IH nên O ¹ H
Theo tính chất của hình trụ ta có ngay OIH và OHA
là các tam giác vuông lần lượt tại O và tại H
Tam giác vuông OIH có OH = IH2 - OI2 =3
Tam giác vuông OHA có r =OA = OH2 + HA2 =5
Vậy, thể tích hình trụ là: V =B h =p .r h2 =p.5 2 72 =50p 7 (đvtt)
THEO CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN
D và ( ) : 2a x + y - z + 1= 0
Đường thẳng Dđi qua điểm M(3;2; 3)- , có vtcp u =r (1;1; 3) nên có ptts:
3 2
3 3
ìï = + ïï
ï = + íï
ï = - + ïïî
(1)
Thay (1) vào pttq của mp(α) ta được:
2(3+ t)+ 2+ - -t ( 3+ 3 )t + 1=0Û 0t = - 12: vô lý
Vậy, đường thẳng D song song với mp(a)
Khoảng cách từ D đến mp(a ) bằng khoảng cách từ điểm M đến ( )a , bằng:
2.3 2 ( 3) 1 12
6
2 1 ( 1)
+ +
- Mặt phẳng (Oxy) có phương trình z = 0
Thay ptts (1) của D vào phương trình z = 0 ta được: - 3 + 3t = 0 Û t = 1
Suy ra giao điểm của đường thẳng D và mp(Oxy) là: A(4; 3; 0)
Mặt cầu tâm A, tiếp xúc với ( )a có bán kính R =d A( ,( ))a =L =2 6 nên có phương
trình: (x - 4)2 + (y - 3)2 + z2 =24
Trang 5Câu Va:
(1 2 )(2 ) (1 2 )(4 4 ) (1 2 )(3 4 ) 3 4 6 8 11 2
z = - i + i = - i + i+ i = - i + i = + i- i- i = - i
Vậy, z =11 2- i Þ z =11+ 2i Þ z = 112 + 22 =5 5
THEO CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO
Câu IVb: M(1;- 1;1)
D2 có vtcp u = -r2 ( 1;1; 0)
Lấy H(2- t; 4+ t;1) thuộc D2 thì MH =(1- t;5+ t; 0)
uuuur
H là hình chiếu của M lên D Û2 MH u =uuuur r 2 0
(1- t).( 1)- + (5+ t).1+ 0.0=0 2t + 4 =0 t = - 2
Như vậy, toạ độ hình chiếu của M lên ( )a là H(4;2;1)
Điểm M ¢ đối xứng với M qua ∆2 Û H là trung điểm đoạn thẳng MM ¢
¢
¢
¢
ïï
Û í
ïïî
Vậy, toạ độ điểm M ¢(7;5;1)
Gọi A,B lần lượt là giao điểm của ∆1, ∆2 với mặt phẳng (P)
Hướng dẫn giải và đáp số
Thay ptts của ∆1 vào pttq của mp(P), ta tìm được toạ độ điểm A(1; 0; 0)
Thay ptts của ∆1 vào pttq của mp(P), ta tìm được toạ độ điểm B(8; 2;1)
- Đường thẳng ∆ qua hai điểm A,B và có vtcp u =A B =(7; 2;1)
-uuur
1 :
D
1
( 1)
y
x
=
- TXĐ: D = ¡ \ {1}
Đạo hàm:
2
2
( 1)
y
x
-¢ =
- Hàm số đã cho có 2 điểm cực trị nằm khác phía so với trục tung khi và chỉ khi phương
trình y ¢=0 có hai nghiệm trái dấu
a c < m m - < < m <