ĐÈ HSG8 +ĐA (HAY)

Ngoài ra tam giác AEF cân có AI là trung tuyến nên là đờng cao suy ra GK vuông góc với EF.. Vậy EGFK là hình thoi b.

ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 8

Năm học: 2010-2011.

MễN THI: TOÁN

Thời gian làm bài: 120 phỳt.

Cõu1(3điểm) Phõn tớch cỏc đa thức sau thành nhõn tử:

a) 2x2 -3x + 1

b) x2 - 2x – 4y2 - 4y

c) x4 + 4

Cõu2(3điểm) Giải phương trỡnh và bất phương trỡnh sau :

a) 5x + 7 > 7x + 5 b) 4 5 7

x− < −x

c) 5x− = 4 2x+ 5

− +

−









+

+

−

+

10 2 : 2

1 3

6

6 4

2 3

2

x

x x

x x x

x

x

a) Rỳt gọn biểu thức A

b) Tớnh giỏ trị của A , Biết |x| =1

2. c) Tỡm giỏ trị của x để A < 0

d) Tỡm cỏc giỏ trị nguyờn của x để A cú giỏ trị nguyờn

Cõu4(6điểm) Cho hình vuông ABCD E là một điểm thuộc BC Qua A kẻ

tia Ax vuông góc với AE cắt đờng thẳng CD tại F Trung tuyến AI của tam

giác AEF cắt CD ở K Đờng thẳng qua E song song với AB cắt AI ở G

Chứng minh:

a) AE =AF và EGFK là hình thoi

b) AF2 = FK FC

c) Khi E thay đổi trên BC thì chu vi tam giác EKC không đổi

Cõu 5(2 điểm)

a Cho x2 - 4x + 1 = 0 Tính giá trị biểu thức 4 22 1

x

x x

a Cho 3 số dương a, b, c cú tổng bằng 1 Chứng minh rằng: 1 1 1 9

a + + ≥b c

ĐÁP ÁN

Bài 1: (3đ)

a = 2x2 – 2x – x + 1

= 2x( x – 1) – ( x – 1)

= (x - 1)(2x - 1)

b = (x2 – 2x + 1) – ( 4y2 + 4y + 1)

= (x-1)2 –(2y +1)2

= (x- 2y - 2)(x + 2y)

c x4 + 4 = x4 + 4x2 + 4 - 4x2

= (x4 + 4x2 + 4) - (2x)2

= (x2 + 2 + 2x)(x2 + 2 - 2x)

Bài 2: (3đ)

a 5x + 7 > 7x + 5 x < 1

b 4 5 7

x− < −x <=> 20x - 25 < 21 - 3x <=> 23x < 56 => 46

23

x< => x<2

c 5x− = 4 2x+ 5 <=>

4

5 4

5

 − = +  ≥ 



 − = − −  < ữ



4

3 9

5 4

5

 =  ≥ 

<=> 

 = −  < ữ



4 3

5

 =  ≥ 

<=>  − 



 =  < ữ



Phơng trình đã cho có nghiệm x = 3 và x = 1

7

−

Bài 3:(6đ)

ĐKXĐ: x≠ 0, x ≠ ± 2

a Rỳt gọn được kq: A 1

x 2

−

=

−

b x 1

2

2

2

−

=

4

A

3

5

=

c A 0< ⇔ >x 2

x 2

−

−

Bài 4(6 đ)

I A

D

B

C F

E

K G

a ∆ABE = ∆ADF(g.c.g) ⇒ AE= AF

⇒

=

⇒

∆

=

∆IGE IKF IG IK I là trung điểm chung của GK và EF nên EGFK là hình bình hành

Ngoài ra tam giác AEF cân có AI là trung tuyến nên là đờng cao suy ra GK vuông góc với EF Vậy EGFK là hình thoi

b ∆AKF ~ ∆CAF( Vì chung góc AFK và các góc FAK và FCA đều bằng

450)

suy ra AF2 = KF FC

c Vì KE = FK = KD+ FD = KD + BE

suy ra CCKE = 2a (a là độ dài cạnh hình vuông) không đổi

Bài 5: (2đ)

a x2 - 4x + 1 = 0 ⇒ x2 +1 = 4x

VËy A = 4 22 1

x

x

2

2 2

2 1

x

x

2

2 2

=

−

x

x x

b Từ: a + b + c = 1 ⇒

1

1

1

 = + +





 = + +





 = + +



3

3 2 2 2 9

⇒ + + = + + ÷ + + ÷ + + ÷

≥ + + + =

Dấu bằng xảy ra ⇔ a = b = c = 1

3