Đường thẳng qua O và song song với đáy AB cắt các cạnh bên AD, BC theo thứ tự ở M và N... Câu 62đ Kẻ đường cao AH và MN vuông góc với AH.. Tức M là trung điểm của AH.
Trang 1PHÒNG GD – ĐT BỈM SƠN
TRƯỜNG THCS BẮC SƠN
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 8- CẤP THỊ XÃ
Năm học 2010 – 2011.Thời gian: 150p
GV ra đề: Đinh Thị Trịnh Hường
Câu 1(4,0 đ) Cho biểu thức
x + x x +1 1 2- x
x - 2x +1 x 1- x x - x ; x 0; x 1; x 1
a, Rút gọn P
b, Tìm GTNN của P khi x > 1
Câu 2(3,0đ): Viết liên tiếp tất cả các số có hai chữ số từ 19 đến 80 ta được số
A = 192021….7980 hỏi số A có chia hết cho 1980 không? Vì sao?
Câu 3( 3,0đ): Cho ba số dương a,b,c Chứng minh rằng:
1 1 1 a + b + c
a + bc b + ac c + ab 2abc
Câu 4(3,0 đ) Tìm x,y nguyên dương thỏa mãn: 6x +5xy - 25y - 221= 02 2
Câu 5(5,0 đ) Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt nhau tại O Đường
thẳng qua O và song song với đáy AB cắt các cạnh bên AD, BC theo thứ tự ở M và N
a, Chứng minh rằng OM = ON
b, Chứng minh rằng
MN CD AB
2 1 1
c, Biết SAOB= 20082 (đơn vị diện tích); SCOD= 20092 (đơn vị diện tích) Tính SABCD
Câu 6(2,0đ) Cho tam giác ABC vuông tại A Từ một điểm M trong tam giác kẻ
MI BC; MJ CA; MK AB Tìm vị trí của M sao cho tổng MI +MJ + MK nhỏ nhất?2 2 2
PHÒNG GD – ĐT BỈM SƠN
Trang 2TRƯỜNG THCS BẮC SƠN
ĐÁP ÁN THANG ĐIỂM CHẤM BÀI THI HỌC SINH GIỎI
MÔN TOÁN 8- CẤP THỊ XÃ
Năm học 2010 – 2011.Thời gian: 150p
GV ra đề: Đinh Thị Trịnh Hường Đinh Thị Trịnh Hường: inh Th Tr nh Hị Trịnh Hường ị Trịnh Hường ườngng
số
Câu 1
(4,0đ)
a, Xét biểu thức
x + x x +1 1 2- x
x - 2x +1 x 1- x x - x ; x 0; x 1; x 1
Biến đổi biểu thức đã cho như sau:
2
2 2
2
x(x +1) x +1 1 2- x
(x -1) x x -1 x - x x(x +1) (x -1)(x +1) + x + 2- x
(x -1) x.(x -1) x(x +1) x -1+ x + 2- x
(x -1) x.(x -1)
2
x(x -1) x +1 x(x -1) x +1
(x -1) x.(x -1) (x -1) x(x -1) x
P =
x -1
b, Ta có:
x -1x -1 x -1 x -1
P = x -1+ + 2
x -1
Khi x > 1 thì x – 1 và x -11 đều là số dương
Nên áp dụng BĐT Cosi ta được:
x -1+ 2 x -1 2
x -1 x -1
Do đó P 4 Dấu đẳng thức xảy ra khi x -1= x -11 x = 2 (thỏa mãn)
1,0
1,0
0,5 0,5
0,5
0,5
Ta có: 1980 2 3 5.11 2 2
Mà hai chữ số tận cùng của A là 80 vừa chia hết cho 4 vừa chia hết cho 5
0,5 1,0
Trang 39+(0 + 1+ 2+ + 9).6 = 0 = 279… + 9).6 = 0 = 279
Tổng các chữ số hàng lẻ của A là
1+ (2+3 +5 +7) 10 + 8 = 279
Mà 279- 279 = 0 11 A 11
Tổng các chữ số của A là 279 + 279 = 558 chia hết cho 9
A 9
Vì 4,5,9,11 có ƯCLN bằng 1 Nên A chia hết cho 1980
0,5 0,5 0,5
Câu 3
(3đ)
Với a,b,c là các số dương Áp dụng BĐT Cô-si ta có:
2
a + bc 2 a bc 2a bc
a + bc 2a bc
Chứng minh tương tự ta được:
2
2
b + ca 2b ca
+ ab 2c ab
c
a + bc b + ca c + ab 2abc (1)
Cũng theo BĐT Cô-si: ab + bc + ca a + b b + c c + a+ + a + b + c
Từ (1) và (2) suy ra: a + bc b + ac c + ac2 1 + 21 + 2 1 a + b + c2abc
Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c
0,5
1,0
1,0
0,5
Câu 4
(3,0đ)
Phương trình đã cho tương đương với: 6x -10xy +15xy - 25y = 2212 2
(2x + 5y).(3x -5y) = 221
Do x,y nguyên dương nên 2x + 5 > 5 suy ra 3x – 5y > 0 ( vì 221 > 0)
Khi ó 2x + 5 v 3x – 5y l các đ à 3x – 5y là các ước tự nhiên của 221 à 3x – 5y là các ước tự nhiên của 221 ước tự nhiên của 221 ự nhiên của 221.c t nhiên c a 221.ủa 221
Vậy PT đã cho có một nghiệm dương (x,y) là (6; 1)
1,0 1,0
1,0
Trang 4Câu 5
(5đ)
O
N M
B A
a, (1,5 điểm)
Xét tam giác ABD có: OM OD=
AB BD (vì OM//AB) Tam giác ABC có: ON OC=
AB AC (vì ON//AB).
Tam giác OCD có: OD OC=
OB OA ( vì CD//AB)
OD + OB OC + OA
=
DB AC OM ON
=
AB AB OM = ON
b, (1,5đ)
Xét ABDđể có OM DM=
AB AD (1), xét ADCđể có
AD
AM DC
OM
(2)
Từ (1) và (2) OM.( AB1 CD1 ) 1
AD
AD AD
DM AM
Chứng minh tương tự ON.( 1 1 ) 1
CD AB
Từ đó có (OM + ON).( 1 1 ) 2
CD
2 1 1
c, (2 điểm) Ta có:
AOB
AOD
=
S OD ,
BOC DOC
=
AOB
AOD
S
= S
BOC
DOC
S
S SAOB.SDOC=SBOC.SAOD Chứng minh được SAOD=SBOC ( vì SABD=SABC)
SAOB.SDOC=(SAOD)2
Thay số: 20082.20092 = (SAOD)2 SAOD = 2008.2009
Do đó SABCD= 20082 + 2.2008.2009 + 20092 = (2008 + 2009)2 = 40172 (đơn
vị DT)
0,5đ
0,5
0,5
0,5 0,5 0,5
0,5 0,5 0,5 0,5
Trang 5Câu 6
(2đ)
Kẻ đường cao AH và MN vuông góc với AH Áp dụng định lí Pitago ta
được: MJ + MK = MJ + AJ = MA 2 2 2 2 2
MJ + MK2 2NA 2
Mặt khác vì MI = NH nên:
2
MI + MJ + MK NA + NH
2
2
MI + MJ + MK
2
Dấu đẳng thức xảy ra khi: MA = NA = ½ AH Tức M là trung điểm của
AH Vậy khi M là trung điểm của AH thì tổng MI +MJ + MK đạt 2 2 2
GTNN bằng AH2
2
0,5 0,5
0,5
0,5
Ghi chú: HS có cách giải khác và lập luận chặt chẽ thì bài làm đạt điểm tối đa
Bài 5 và 6 nếu HS không vẽ hình thì không cho điểm
K
H
C
M J
I
N