2 Phương pháp cộng đại số: Chú ý: Hệ số của cùng một ẩn bằng thì trừ, đối thì cộng, khác thì nhân... Với hai cung nhỏ trong một đường tròn, hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau,...
Trang 1ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP MÔN TOÁN HỌC KÌ II NĂM HỌC 2010 - 2011
PHẦN I: LÝ THUYẾT
A HỆ PHƯƠNG TRÌNH
I/ Khái niệm hệ phương trình bậc nhất hai ẩn:
Dạng tổng quát: ax by c
a ' x b ' y c '
+ =
(với a, b, c, a’, b’, c’∈R và a, b; a, b’ không đồng thời bằng 0)
II/ Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn:
1) Phương pháp thế:
- Bước 1: Rút x theo y (hoặc y theo x) từ một phương trình của hệ rồi thay vào phương trình còn lại
- Bước 2: Giải phương trình một ẩn x (hoặc y)
- Bước 3: Thay giá trị x (hoặc y) vừa tìm vào phương trình còn lại để suy ra giá trị của ẩn còn lại
- Bước 4: Kết luận
2) Phương pháp cộng đại số:
Chú ý: Hệ số của cùng một ẩn bằng thì trừ, đối thì cộng, khác thì nhân.
B HÀM SỐ y=ax 2 (a≠0)
I/ Tính chất của hàm số y=ax 2 (a ≠0):
1/ TXĐ: ∀x∈R
2/ Tính chất biến thiên:
* a>0 thì hàm số y=ax2 đồng biến khi x>0 và nghịch biến khi x<0
* a<0 thì hàm số y=ax2 đồng biến khi x<0 và nghịch biến khi x>0
3/ Tính chất về giá trị:
* Nếu a>0 thì ymin = 0 ⇔x=0 * Nếu a<0 thì ymax = 0 ⇔x=0
II/ Đồ thị của hàm số y=ax 2 (a ≠0):
1/ Đồ thị của hàm số y=ax 2 (a ≠0):
- Đỉnh O(0;0); - Nhận Oy làm trục đối xứng
- Nếu a>0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành Ox; Nếu a<0 thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành Ox
2/ Các bước vẽ đồ thị của hàm số y=ax 2 (a ≠0):
- Lập bảng giá trị tương ứng:
- Biểu diễn các điểm có tọa độ (x;y) vừa xác định ở trên lên trên mặt phẳng tọa độ
- Vẽ (P) đi qua các điểm đó
III/ Quan hệ giữa (P): y=ax 2 (a ≠0) và đường thẳng (d): y=mx+n:
Phương trình hoành độ giao điểm của (P): y=ax2 và đường thẳng (d): y=mx+n là:
ax2= mx+n ⇔ ax2- mx-n=0 (*) 1/(P) cắt (d) tại hai điểm phân biệt⇔phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt⇔ ∆>0 (hoặc '∆ >0) 2/(P) tiếp xúc (d) ⇔phương trình (*) có nghiệm kép⇔ ∆=0 (hoặc '∆ =0)
3/(P) và (d) không có điểm chung ⇔phương trình (*) vô nghiệm ⇔ ∆<0 (hoặc '∆ <0)
C PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN SỐ
I/ Khái niệm ph trình bậc hai một ẩn số (x): là ph.trình có dạng: ax2 + bx + c = 0 (với a,b,c ∈R và a ≠0)
II/ Cách giải phương trình bậc hai một ẩn số:
1 Dạng khuyết c (c=0) – Dạng ax 2 + bx = 0:
ax2 + bx = 0 ⇔x.(ax+b)=0 ⇔
0 0
0
x x
b
a
=
=
+ = = −
2 Dạng khuyết b (b=0) – Dạng ax 2 + c = 0:
* Trường hợp c>0: phương trình vô nghiệm (vì khi đó ax2 + c > 0 ∀x )
* Trường hợp c<0, ta có: ax2 + c = 0 ⇔ ax2 2
c x
x
a
= −
= − ⇔ = − ⇔
= − −
3 Dạng đầy đủ – Dạng ax 2 + bx + c = 0 (với a, b, c≠0 :
Trang 2B A
D
C
- Bước 1: Xác định hệ số a,b,c
- Bước 2: Lập ∆ = b2 - 4ac (hoặc ∆' = b'2 – ac) rồi so sánh với 0
(Trong trường hợp ∆>0 (hoặc ∆'>0) ta tính ∆(hoặc tính ∆')
- Bước 3: Xác định và kết luận nghiệm theo bảng sau:
∆ = b2 - 4ac -NÕu ∆ > 0 : Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt:
a
b x
2 1
∆ +
−
a
b x
2 2
∆
−
−
=
- NÕu ∆ = 0 : Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp :
a
b x x
2 2 1
−
=
=
- NÕu ∆ < 0 : Ph¬ng tr×nh v« nghiÖm
∆' = b'2 - ac (víi b’ =
2
b
2b')
- NÕu ∆' > 0 : Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt:
a
b
x1 =− '+ ∆' ;
a
b
x2 =− '− ∆'
- NÕu ∆' = 0 : Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp:
a
b x
x
' 2
1
−
=
=
- NÕu ∆' < 0 : Ph¬ng tr×nh v« nghiÖm
* Chú ý: Nếu a.c < 0 thì phương trình bậc hai luôn có hai nghiệm phân biệt (trái dấu)
III/ Định lí Vi-ét:
1/ Vi-ét thuận: NÕu x1, x2 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 (a≠0) th×:
1 2
1 2
b
a c
P x x
a
−
= + =
2/ Vi-ét đảo: Hai sè u vµ v thỏa mãn u + v = S; u.v = P thì u,v là nghiệm của ph¬ng tr×nh:
x2 - Sx + P = 0 (§iÒu kiÖn: S2 - 4P ≥ 0)
3/ NhÈm nghiÖm cña ph ¬ng tr×nh bËc hai ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0):
*/ NÕu a + b + c = 0 th× ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm: x1 = 1 ; x2 = c
a
*/ NÕu a - b + c = 0 th× ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm: x1 = -1 ; x2 = c
a
−
* Chú ý: NÕu x 1 , x 2 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh bËc hai ax 2 + bx + c = 0 (a≠0) th×:
ax 2 + bx + c = a(x-x 1 )(x-x 2 )
IV/ Giải các phương trình quy được về phương trình bậc hai:
1/ Phương trình tích: ( ) ( ) 0 ( ) 0
( ) 0
A x
A x B x
B x
=
= ⇔ =
2/ Phương trình chứa ẩn ở mẫu:
- Bước 1: Tìm ĐKXĐ của phương trình (là ĐK của ẩn để tất cả các mẫu đều khác 0)
- Bước 2: Qui đồng và khử mẫu hai vế
- Bước 3: Giải phương trình nhận được trong bước 2
- Bước 4: Đối chiếu giá trị ẩn vừa tìm được với ĐKXĐ và kết luận nghiệm
3/ Phương trình trùng phương: ax4 + bx2 + c = 0 ( a ≠0 )
+ Đặt : x2 = y ≥ 0 , ta có PT đã cho trở thành : ay2 + by + c = 0 (*) + Giải phương trình (*)
+ Chọn các giá trị y thỏa mãn y≥0 thay vào: x2 = y ⇔x=± y
+ Kết luận nghiệm của phương trình ban đầu
4/ Phương trình sau khi đặt ẩn phụ quy về phương trình bậc hai:
+ Đặt ẩn phụ, đặt điều kiện của ẩn phụ nếu có
+ Giải phương trình ẩn phụ
+ Chọn các giá trị ẩn phụ thỏa mãn điều kiện thay vào chỗ đặt để suy ra giá trị ẩn ban đầu
+ Kết luận nghiệm của phương trình ban đầu
D HÌNH HỌC
I Quan hệ cung và dây Góc với đường tròn:
1 Với hai cung nhỏ trong một đường tròn, hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau,
Trang 3o C
A
B
I M
o
B A
D
o
B A
C
A B
A
B
C
E
o
A B D
C F
M
o
A B
C
B
o
A C
E
o
C
D
A
B
B
A
C
D
hai cung bằng nhau căng hai dõy bằng nhau: AB CD= ⇔ ằAB CD=ằ
2 Đường kớnh đi qua điểm chớnh giữa của một cung thỡ đi qua trung điểm của dõy căng cung ấy
ằMA MB=ằ ⇒IA IB=
3 Đường kớnh đi qua điểm chớnh giữa của một cung thỡ vuụng gúc với dõy căng cung ấy
và ngược lại ằMA MB=ằ ⇔OM ⊥ AB
4 Đường kớnh đi qua trung điểm của một dõy khụng đi qua tõm thỡ vuụng gúc với dõy ấy
và chia cung bị căng ra hai phần bằng nhau IA IB= ⇒OI⊥ AB MA MB;ằ =ằ
5 Đường kớnh vuụng gúc với một dõy thỡ đi qua trung điểm của dõy ấy và chia cung bị căng
ra hai phần bằng nhau OI ⊥AB⇒IA IB MA MB= ;ằ =ằ
6 Hai cung chắn giữa hai dõy song song thỡ bằng nhau AB CD/ / ⇒ằAC BD=ằ
7 Số đo của gúc ở tõm bằng số đo của cung bị chắn ãBOC sd BC = ằ
8 Số đo của gúc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn ã 1 ằ
2
=
BAC sd BC
9 Số đo của gúc tạo bởi tia tiếp tuyến và dõy cung bằng nửa số đo của cung bị chắn
ã 1 ằ
2
=
BAx sd AB
10 Trong một đường trũn :
a) Cỏc gúc nội tiếp bằng nhau chắn cỏc cung bằng nhau ãACB DFE= ã ⇒ ằAB DE= ằ
b) Cỏc gúc nội tiếp cựng chắn một cung thỡ bằng nhau ãAMB ACB= ã (cựng chắn ằAB )
c) Cỏc gúc nội tiếp chắn cỏc cung bằng nhau thỡ bằng nhau ằAB DE= ằ ⇒ãACB DFE= ã
d) Gúc nội tiếp nhỏ hơn hoặc bằng 90o cú số đo bằng nửa số đo của gúc ở tõm cựng
chắn một cung ã 1ã
2
ACB= AOB (cựng chắn cung ằAB )
e) Gúc nội tiếp chắn nửa đường trũn là gúc vuụng và ngược lại, gúc vuụng nội tiếp
thỡ chắn nửa đường trũn ã 90o
ACB= ( gúc nội tiếp chắn nửa đường trũn)
f) Gúc tạo bởi tia tiếp tuyến và dõy cung và gúc nội tiếp cựng chắn một cung thỡ bằng nhau
ãBAx BCA=ã ( cựng chắn cung AB)
11.Số đo của gúc cú đỉnh bờn trong đường trũn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn
ã 1 (ằ ằ )
2
BED sd BD AC (gúc cú đỉnh bờn trong đường trũn)
12 Số đo của gúc cú đỉnh bờn ngoài đường trũn bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn
ã 1 (ằ ằ )
2
CED sd CD AB (gúc cú đỉnh bờn ngoài đường trũn)
II Tứ giác nội tiếp:
a) Tính chất: Tổng hai góc đối của tứ giác bằng 1800
b) Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp:
- Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800
- Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện
- Tứ giác có 4 đỉnh cách đều một điểm
- Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dới một góc α
III Độ dài đ ờng tròn - Độ dài cung tròn:
- Độ dài đờng tròn bán kính R: C = 2πR = πd - Độ dài cung tròn n0 bán kính R :
180
Rn
l=π
IV Diện tích hình tròn - Diện tích hình quạt tròn:
Trang 4- DiÖn tÝch h×nh trßn: S = πR2
- DiÖn tÝch h×nh qu¹t trßn b¸n kÝnh R, cong n0: 2
R n lR
S =π =
V C ác công thức hình học không gian :
1 Hình trụ: S xq = C đáy h (Cđáy: chu vi đáy; h: chiều cao), S xq =2πr.h (r: bán kính đáy)
V= S đáy h (Sđáy: diện tích đáy; h: chiều cao), V=πr 2 h (r: bán kính đáy)
2 Hình nón: S xq =πrl (l: đường sinh), V= 1
3S đáy h , V=1
3 πr 2 h
3 Hình cầu: S xq =4πr 2 , V=4
3 πr 3
PHẦN II: BÀI TẬP
Dạng 1: Giải hệ phương trình.
a) 3x y 3
2x y 7
+ =
− =
2x 5y 8 2x 3y 0
+ =
− =
4x 3y 6 2x y 4
+ =
+ =
+ = −
− = −
2 x 3 y 1
2
x 2 y 1
1
x 2 y 1
Dạng 2: Một số bài toán quy về giải hệ phương trình.
Bài 1: Tìm a, b: 1/ để hệ phương trình 2x by a
bx ay 5
− =
+ =
có nghiệm (1;3).
2/ để hệ phương trình ax 2y 2
bx ay 4
+ =
− =
có nghiệm ( 2 ;- 2 ).
Bài 2: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(1;3) và B(3;2).
Dạng 4: Xác định hệ số a và vẽ đồ thị hàm số y=ax (a 2 ≠0)
Bài 1: a) Vẽ đồ thị hàm số y=x2 và y= 1
2
− x2 trên cùng một mặt phẳng tọa độ
b) Cho hàm số y=ax2 Xác định hệ số a, biết đồ thị của hàm số đó đi qua điểm A(1;-1) Vẽ đồ thị của hàm số trong trường hợp đó
Dạng 5: Quan hệ giữa (P): y=ax 2 (a ≠0) và đường thẳng (d): y=mx+n:
Bài 1: Cho hàm số y=x2 (P) và y=3x-2 (d)
a) Vẽ (P) và (d) trên cùng một mặt phẳng tọa độ
b) Xác định tọa độ của (P) và (d) bằng phương pháp đại số
c) Lập phương trình của đường thẳng (d’), biết (d’)// (d) và (d’) cắt (P) tại điểm có hoành độ bằng 3
Bài 2: Cho hàm số y=
2
6
x
(P) và y=x+m (d) a) Vẽ (P)
b) Tìm m để (P) và (d): - Cắt nhau tại hai điểm phân biệt; - Tiếp xúc nhau; - Không có điểm chung
Dạng 6: Giải phương trình:
Bài 1: Giải phương trình: a) 2x2 + 5x = 0 b) x - 6x2 = 0 c) 2x2 + 3 = 0 d) 4x2 -1 = 0
e) 2x2 + 5x + 2 = 0 f) 6x2 + x + 5 = 0 g) 2x2 + 5x + 3 = 0 h) 25x2 −20x 4 0+ =
Bài 2: Giải phương trình: a) 3x4 + 2x2 – 5 = 0 b) 2x4 - 5x2 – 7 = 0 c) 3x4−5x2 − =2 0
d) 16 x3 – 5x2 – x = 0 e) ( 2 ) (2 2 )2
g) ( ) ( )
2
x 3
x 3 x 2
−
7
16 2
1 2
1
=
−
−
x
Bài 4: Giải phương trình: a) x – 7 x 8 0 − = b) x 5 5 x 1 0+ − − = c) ( 2 )2 ( 2 )
Dạng 7: Không giải phương trình tính tổng, tích hai nghiệm; tính nghiệm còn lại khi biết trước một nghiệm của PTBH:
Bài 1: Cho phương trình: x2−8x 15 0+ = , không giải phương trình hãy tính:
a) x1+x2 b) x x1 2 c) 2 2
1 2
x +x d) ( )2
1 2
1 2
2 1
x + x
Trang 5Bài 2: Cho phương trỡnh: x2+3x 15 0+ = , khụng giải phương trỡnh hóy tớnh: a) x1+x2 b) x x1 2
Bài 3: a) Cho phương trỡnh: x2−2mx 5 0+ = cú một nghiệm bằng 2, hóy tỡm m và tớnh nghiệm cũn lại
b)Cho phương trỡnh: x2+5x q 0+ = cú một nghiệm bằng 5, hóy tỡm q và tớnh nghiệm cũn lại
Dạng 8: Tỡm hai số khi biết tổng và tớch của chỳng Lập phương trỡnh bậc hai khi biết hai nghiệm:
Bài 1: Tỡm hai số u và v biết:
a) u+v=3 và u.v=2 b) u+v= -3 và u.v=6 c) u-v=5 và u.v=36 d) u2+v2=61 và u.v=30
Bài 2: Lập phương trỡnh bậc hai cú hai nghiệm là: a) x1 =8 và x2 =3 b) x1 =5 và x2 = −7
Dạng 9: Tỡm điều kiện của tham số để thỏa món về sự cú nghiệm của phương trỡnh bậc hai:
Bài 1: Cho phương trỡnh: x2−2x m 1 0+ − = , tỡm m để phương trỡnh:
a) Cú hai nghiệm phõn biệt b) Cú nghiệm kộp c) Vụ nghiệm
d) Cú hai nghiệm trỏi dấu e) Cú hai nghiệm x1 và x2 thỏa món x12+x22 =5
Bài 2: Cho phương trỡnh: 3x2−2x m 1 0− + = , tỡm m để phương trỡnh:
a) Cú nghiệm b) Cú hai nghiệm trỏi dấu c) Cú hai nghiệm dương
Dạng 10: Chứng minh phương trỡnh bậc hai luụn cú hai nghiệm phõn biệt (cú nghiệm kộp; vụ nghiệm) với
mọi tham số:
Bài 1: a) Chứng minh rằng phương trỡnh: x2−2x m− 2− =4 0luụn cú hai nghiệm phõn biệt ∀m
b) Chứng minh rằng phương trỡnh: x2−2 m 1 x m 4 0( + ) + − = luụn cú hai nghiệm phõn biệt ∀m
c) Chứng minh rằng phương trỡnh: x2+2 m 2 x 4m 12 0( + ) − − = luụn cú nghiệm∀m
d) Chứng minh rằng phương trỡnh: c x2 2+(a2− −b2 c x b2) + 2 =0vụ nghiệm với a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giỏc
Dạng 11: Toỏn tổng hợp:
Bài 1: Cho phương trỡnh: x2−2 m 1 x 4m 0( + ) + = .
a) Xỏc định m để phương trỡnh cú nghiệm kộp Tớnh nghiệm kộp đú
b) Xỏc định m để phương trỡnh cú một nghiệm bằng 4 Tớnh nghiệm cũn lại
c) Xỏc định m để phương trỡnh cú hai nghiệm trỏi dấu
d) Xỏc định m để phương trỡnh cú hai nghiệm x1 và x2 thỏa món: x1= 2x2
e) Xỏc định m để phương trỡnh cú hai nghiệm x1 và x2 thỏa món: x12+x22 =5.
f) Xỏc định m để phương trỡnh cú hai nghiệm x1 và x2 sao cho A=2x12+2x22−x x1 2đạt giỏ trị nhỏ nhất.
GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRèNH, HỆ PHƯƠNG TRèNH
- Bước 1: Chọn ẩn (kốm theo đơn vị) và đặt điều kiện thớch hợp cho ẩn
- Bước 2: Biểu thị cỏc đại lượng chưa biết thụng qua ẩn và cỏc đại lượng đó biết
- Bước 3: Lập phương trỡnh (hệ phương trỡnh) biểu diễn sự tương quan giữa cỏc đại lượng
- Bước 4: Giải phương trỡnh (hệ phương trỡnh)
- Bước 5: Đối chiếu giỏ trị ẩn vừa tỡm được với ĐK và trả lời
A
DẠNG TOÁN CHUYỂN ĐỘNG.
L u ý: + Qđờng = Vtốc Tgian; Tgian = Qđờng : Vtốc; Vtốc = Qđờng : Tgian
+ v(xuôi)= v(riêng)+v(nớc); v(ngợc)= v(riêng)-v(nớc)
+ v(riêng)= [v(xuôi) + v(ngợc)]:2; v(nớc)= [v(xuôi) - v(ngợc)]:2
* Chú ý: - Vận tốc dòng nớc là vận tốc của đám bèo trôi, của chiếc bè trôi
- Vận tốc thực của canô còn gọi là vận tốc riêng (hay vận tốc của canô khi nớc yên lặng)
Bài 1: Một người đi xe đạp từ A đến B cỏch nhau 36 km Khi đi từ B trở về A, người đú tăng vận tốc thờm 3
km/h, vỡ vậy thời gian về ớt hơn thời gian đi là 36 phỳt Tớnh vận tốc của người đi xe đạp khi đi từ A đến B
Giaỷi: Gọi x (km/h ) là vận tốc của người đi xe đạp khi đi từ A đến B (ĐK: x > 0)
Khi đú: vận tốc của người đú khi đi từ B về A là : x + 3 (km/h)
Thời gian người đú đi từ A đến B là:
x
36
(h); Thời gian người đú đi từ B về A là:
3
36 +
x (h)
Trang 6Theo ủeà baứi toaựn ta coự phửụng trỡnh: 36 36 3
3 5
x −x =
+
Biến đổi phương trỡnh trờn ta được: x 2 + 3x - 180 = 0
Giải phương trỡnh trờn ta được: x 1 = 12 (thoả món điều kiện của ẩn)
x 2 = -15 (khụng thoả món điều kiện của ẩn)
Vậy vận tốc của người đú đi từ A đến B là 12 km/h.
Bài 2: Hai thành phố A và B cỏch nhau 50km Một người đi xe đạp từ A đến B Sau đú 1giờ 30 phỳt, một
người đi xe mỏy cũng đi từ A và đến B sớm hơn người đi xe đạp 1giờ Tớnh vận tốc của mỗi người biết rằng
vận tốc của người đi xe mỏy lớn hơn vận tốc của người đi xe đạp là 18km/h
Gọi x(km/h) là vận tốc của người đi xe đạp, ta cú phương trỡnh: 50 50 5
18 2
x - x+ =
Bài 3: Một ca nô chạy xuôi dòng từ bến A đến bến B, sau đó chạy ngợc dòng từ B về A hết tổng thời gian là 5
giờ Biết quãng đờng sông từ A đến B dài 60 km và vận tốc dòng nớc là 5 km/h Tính vận tốc thực của ca nô
Gọi x(km/h) là vận tốc của ca nụ, ta có PT: 60
5
x+ +
60 5
x− = 5
Bài 4: Một xe mỏy đi từ A đến B trong một thời gian dự định Nếu vận tốc tăng thờm 14km/giờ thỡ đến sớm 2
giờ, nếu giảm vận tốc đi 4km/giờ thỡ đến muộn 1 giờ.Tớnh vận tốc dự định và thời gian dự định
Giải: Gọi thời gian dự định là x(h) và vận tốc dự định là y(km/h) (ĐK: x > 0, y > 0)
* Quóng đường AB dài là: x.y (km)
* Nếu vận tốc giảm đi 4km/h thỡ thời gian đi sẽ tăng thờm 1 giờ nờn ta cú:
(x + 1)(y - 4) = x.y ⇔-4x + y = 4
* Nếu vận tốc tăng thờm 14km/h thỡ thời gian đi sẽ bớt đi 2 giờ nờn ta cú:
(x - 2)(y + 14) = x.y ⇔14x - 2y = 28
Theo đề bài ta cú hệ phương trỡnh:
Vậy : Thời gian dự định là 6 giờ và vận tốc dự định là 28km/h.
Bài 5: Một ngời đi từ tỉnh A đến tỉnh B cách nhau 78 km Sau đó 1 giờ ngời thứ hai đi từ tỉnh B đến tỉnh A hai
ngời gặp nhau tại địa điểm C cách B 36 km Tính thời gian mỗi ngời đã đi từ lúc khởi hành đến lúc gặp nhau, biết vận tốc ngời thứ hai lớn hơn vận tốc ngời thứ nhất là 4 km/h
Gọi x (h) là thời gian của ngời đi từ A đến C (ĐK: x> 0), ta cú phương trỡnh: 36
1
x− - x
42
=4
C
DẠNG TOÁN LÀM CHUNG – LÀM RIấNG.
Bài 1: Hai ngời thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong Nếu ngời thứ nhất làm trong 3 giờ, ngời thợ
thứ hai làm trong 6 giờ thì họ làm đợc 25% khối lợng công việc Hỏi mỗi ngời thợ làm một mình công việc đó trong bao lâu
Giải: Gọi x(giờ) là thời gian để ngời thứ nhất làm một mình xong công việc.
Gọi y(giờ) là thời gian để ngời thứ hai làm một mình xong công việc (ĐK: x > 16; y > 16).
Trong 1 giờ, ngời thứ nhất làm đợc:
x
1
(công việc) ; Trong 1 giờ, ngời thứ hai làm đợc: 1y (công việc) Trong 1 giờ, cả hai ngời làm đợc: 1
16 (công việc).
Theo đề bài ta có hệ phơng trình:
= +
= +
4
1 6 3
16
1 1 1
y x
y x
Giải hệ phơng trình ta đợc:
=
= 48
24
y
x ( thỏa mãn điều kiện ) Vậy: thời gian để ngời thứ nhất làm một mình xong công việc là: 24 ( giờ ).
thời gian để ngời thứ hai làm một mình xong công việc là: 48 ( giờ).
Trang 7Bài 2: Hai tổ thanh niên tình nguyện cùng sửa một con đờng trong 4 giờ thì xong Nếu làm riêng thì tổ 1 làm
nhanh hơn tổ 2 là 6 giờ Hỏi mỗi đội làm một mình thì bao lâu sẽ xong việc ?
Giải : Gọi x( giờ ) là thời gian một mình tổ 1 sửa xong con đờng ( ĐK: x >4 )
Thời gian một mình tổ 2 sửa xong con đờng là x + 6 ( giờ )
Trong 1 giờ, tổ 1 sửa đợc:
x
1
( con đờng ); Trong 1 giờ, tổ 2 sửa đợc:
6
1 +
x (con đờng ) Trong 1 giờ, cả hai tổ sửa đợc:
4
1
(con đờng ) Theo bài ra ta có hệ phơng trình:
x
1
+
6
1 +
x =
4 1
Biến đổi phương trỡnh trờn ta được: x2−2x−24 0=
Giải phương trỡnh trờn ta được: x 1 = 6 (thoả món điều kiện của ẩn)
x 2 = -4 (khụng thoả món điều kiện của ẩn)
Vậy: một mình tổ 1 sửa xong con đờng hết 6 ngày
một mình tổ 2 sửa xong con đờng hết 12 ngày
Bài 3: Hai vũi nước cựng chảy vào một bể (ban đầu khụng chứa nước) thỡ sau 6 giờ đầy bể Nếu chảy một mỡnh
cho đầy bể thỡ vũi I cần nhiều thời gian hơn vũi II là 5 giờ Hỏi nếu chảy một mỡnh để đầy bể thỡ mỗi vũi cần bao nhiờu thời gian ?
Gọi x( giờ ) là thời gian vũi II chảy một mỡnh đầy bể( ĐK: x >6 ) , phương trỡnh : 1
x 5+ +
1
x =
1 6
D
DẠNG TOÁN PHÂN CHIA ĐỀU.
Bài 1: Một đoàn học sinh gồm cú 180 học sinh đợc điều về thăm quan diễu hành Nếu dùng loại xe lớn chuyên
chở một lợt hết số học sinh thì phải điều động ít hơn dùng loại xe nhỏ là 2 chiếc Biết rằng mỗi xe lớn nhiều hơn mỗi xe nhỏ là 15 chỗ ngồi Tính số xe lớn ?
Giải: Gọi số xe lớn là x (chiếc) (ĐK: x nguyên dơng).
Số xe nhỏ là: x + 2 ( chiếc )
Số học sinh mỗi xe lớn chở đợc là:
x
180
( Hs); Số học sinh mỗi xe nhỏ chở đợc là:
2
180 +
x ( Hs).
Vì mỗi xe lớn nhiều hơn mỗi số xe nhỏ là 15 chỗ ngồi, do đó ta có phơng trình:
x
180
-
2
180 +
x = 15 Biến đổi phương trỡnh trờn ta được: x2+2x−24 0=
Giải phương trỡnh trờn ta được: x 1 = 4 (thoả món điều kiện của ẩn)
x 2 = -6 (khụng thoả món điều kiện của ẩn)
Vậy số xe lớn là 4 chiếc
Bài 2: Trong một buổi lao động trồng cây ,một tổ học sinh đợc trao nhiệm vụ trồng 56 cây Vì có 1 bạn trong tổ
đợc phân công làm việc khác nên để trồng đủ số cây đợc giao ,mỗi bạn còn lại trong tổ đều trồng tăng thêm 1 cây với dự định lúc đầu Hỏi tổ học có bao nhiêu bạn biết số cây đợc phân cho mỗi bạn đều bằng nhau
Gọi x là số học sinh của tổ (x nguyờn và x>1), ta cú phơng trình : 56 56 1
1
x − x =
−
Bài 3: Một phòng họp có 360 ghế ngồi đợc xếp thành từng dãy và số ghế của từng dãy đều nh nhau Nếu số dãy
tăng thêm 1 và số ghế của mỗi dãy tăng thêm 1, thì trong phòng có 400 ghế Hỏi trong phòng họp có bao nhiêu dãy ghế, mỗi dãy có bao nhiêu ghế
Gọi x(dãy) là số dãy ghế ban đầu, phơng trình: 400 360 1
1
+
Bài 4: Một đội công nhân hoàn thành một công việc với mức 420 ngày công Hãy tính số công nhân của đội,
biết rằng nếu đội tăng thêm 5 ngời thì số ngày để hoàn thành công việc sẽ giảm đi 7 ngày
Gọi x là số cụng nhõn của đội (x nguyờn và dương), phơng trình:
x
420 -5
420 +
x = 7
E
DẠNG TOÁN Cể NỘI DUNG HèNH HỌC.
Bài 1: Một thửa ruộng hình chữ nhật có chu vi 250 m Tính diện tích của thửa ruộng biết rằng nếu chiều dài
giảm 3 lần và chiều rộng tăng 2 lần thì chu vi thửa ruộng không đổi
Bài 2: Một hình chữ nhật có chu vi là 160m và diện tích là 1500m 2 Tính chiều dài và chiều rộng hình chữ nhật ấy
Bài 3: Tìm hai cạnh của một tam giác vuông biết cạn huyền bằng 13 cm và tổng hai cạnh góc vuông bằng 17
Trang 8Giải: Gọi cạnh góc vuông thứ nhất của tam giác là x ( cm ), (ĐK: 0< x < 17 ).
Ta có: cạnh góc vuông còn lại là: ( 17 - x ) ( cm).
Vì cạnh huyền của tam giác vuông là 13cm, do đó ta có phơng trình:
x 2 + ( 17 - x ) 2 = 13 2 ⇔x 2 - 17x + 60 = 0 Giải PT trên ta đợc: x 1 = 12, x 2 = 5 ( thỏa mãn điều kiện )
Vậy độ dài các cạnh góc vuông lần lợt là 12 cm, 5 cm.
F
MỘT SỐ DẠNG TOÁN KHÁC.
Bài 1: Bạn Hải đi mua trứng gà và trứng vịt Lần thứ nhất mua năm quả trứng gà và năm quả trứng vịt hết
10.000đ Lần thứ hai mua ba quả trứng gà và bảy quả trứng vịt hết 9.600đ Hỏi giá một qủa trứng mỗi loại là bao nhiêu?
Bài 2: Tổng số công nhân của hai đội sản suất là 125 ngời Sau khi điều 13 ngời từ đội thứ I sang đội thứ II thì số công nhân của đội thứ I bằng 2/3 số công nhân đội thứ II Tính số công nhân của mỗi đội lúc ban đầu
BÀI TẬP HèNH HỌC:
Bài 1: Cho ∆ABC vuụng tại A (AB < AC), vẽ AH ⊥ BC Gọi D là điểm đối xứng của B qua H, E là hỡnh chiếu
của C trờn AD Chứng minh:
a) Tứ giỏc AHEC nội tiếp, xỏc định tõm O của đường trũn ngoại tiếp tứ giỏc này b) ∆AHE cõn
c) Biết BC = 2a, ACB = 300, tớnh theo a:
c1) Diện tớch xung quanh và thể tớch của hỡnh tạo bởi khi quay ∆ABC vuụng tại A quanh cạnh AB
c2) Diện tớch hỡnh giới hạn bởi cỏc đoạn AC, CH và cung AH của (O)
Bài 2: Cho đường trũn (O; 10cm) và điểm A nằm bờn ngoài đường trũn Qua A vẽ hai tiếp tuyến AB và AC (B,
C là tiếp điểm) sao cho gúc BAC = 450
a) Tớnh độ dài cỏc cung AB của đường trũn (O);
b) Tia CO cắt AB ở D, chứng minh: ∆BOD và ∆ACD là cỏc tam giỏc vuụng cõn;
c) Tớnh độ dài đoạn AC; d) Tớnh d.tớch hỡnh giới hạn bởi cỏc đoạn AC, AB và cung BC của (O)
Bài 3: Cho tam giỏc ABC vuụng tại A Đường phõn giỏc gúc C cắt AB tại E Kẻ AH vuụng gúc với BC và AK
vuụng gúc với CE, gọi I là giao điểm của AH và CE Chứng minh:
a/ Bốn điểm A, K, H, C cựng nằm trờn một đường trũn Xỏc định tõm O của đường trũn
b/ OK vuụng gúc AH c/ Tam giỏc AEI cõn
Bài 4: Cho tam giaực vuoõng ABC coự caùnh huyeàn BC baống 2a vaứ goực B baống 600 Treõn caùnh AC laỏy moọt ủieồm M ( M khaực A;C) Veừ ủửụứng troứn taõm I ủửụứng kớnh MC ẹửụứng troứn naứy caột tia BM taùi D vaứ caột caùnh
BC taùi ủieồm thửự hai laứ N
a Chửựng minh tửự giaực ABCD noọi tieỏp ủửụùc trong moọt ủửụứng troứn
b Chửựng minh DB laứ tia phaõn giaực cuỷa goực ADN
c Khi tửự giaực ABCD laứ hỡnh thang , tớnh dieọn tớch hỡnh troứn taõm I theo a
Bài 5: Cho tam giỏc ABC cú 3 gúc nhọn Kẻ đường cao AH Trờn đoạn AH lấy điểm M Đường trũn tõm O
đường kớnh AM cắt AB ở D và AC ở E
a) Cm: tứ giỏc MECH nội tiếp b) Chứng minh : ãAMD ABC=ã c) Cm: AD.AB = AE.AC
d) Cho ãHAC=30o, AM= 3 cm Tớnh diện tớch phần của hỡnh trũn ( O) nằm ngoài tam giỏc AEM (lấy π= 3,14)
Bài 6: Cho tam giỏc ABC cõn tại A nội tiếp (O;R) Gọi M là một điểm bất kỳ trờn cung nhỏ ằAC Đường thẳng
AM cắt đường thẳng BC tại S
a) Chứng minh: ãSMC= ãACB b) Cm: AC 2 = AM.AS
c) Trường hợp Aˆ = 600 Tớnh độ dài ẳBAC , độ dài dõy AB và d.tớch phần h.trũn nằm ngoài ∆ABC theo R
Bài 7: Cho ∆ABC nội tiếp (O;BC2 ) cú AB>AC, Hai tiếp tuyến của đường trũn tại A và B cắt nhau ở M
a) C/m: Tứ giỏc MAOB nội tiếp Xỏc định tõm I của đường trũn đú b) Chứng minh: ãOAB IAM=ã
c) Đường cao AH của ∆ABC cắt CM ở N Chứng minh : N là trung điểm của AH
d) Giả sử ãACB = 600 Tớnh diện tớch hỡnh giới hạn bởi dõy AC và cung nhỏ AC của (O) theo R
ễN TẬP TOÁN 9 – HỌC Kè 2
Trang 9A LÍ THUYẾT
đo, tính chất?.
- Quỹ tích các Điểm M nhìn đoạn thẳng AB một góc 90 0
- Quỹ tích các Điểm M nhìn đoạn thẳng AB một góc α ( 0 < α < 180 0 )
- Định nghĩa, tính chất?
- Các dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp.
B BÀI TẬP
*DẠNG 1 TOÁN RÚT GỌN BIỂU THỨC:
Bài 1: Cho biểu thức P=
+ +
+
−
−
−
−
+
1
2 1
: 1
1 1
2
x x
x x
x x
x x
a) Rút gọn P b/Tính P khi x=30 + 10 5
Bài 2: Cho biểu thức:P=
1 2
1
2 1
1 2
1
−
−
−
+
−
−
−
− + +
a
a a a
a
a a a a a
a a
a) Rút gọn P b) Chứng minh rằng P >
3
2 c) Cho P=
6 1
6 + , tìm giá trị của a?
Bài 3: Cho biểu thức :P= 2 1
1
2
+
+
− +
−
+
a
a a a
a
a a
a) Rút gọn P b) Biết a >1 Hãy so sánh P với P
c) Tìm a để P=2 d) Tìm giá trị nhỏ nhất của P
b ab a
b a a
b a b b a a
a b
ab a
a
2 2
2
1 : 1 3
3
+ +
−
−
−
+
−
− + + a) Rút gọn P
b) Tìm những giá trị nguyên của a để P có giá trị nguyên
Bài 5: Cho biểu thức: P=
−
+
−
−
+
2 2
1 :
1 1
1
a
a a
a a
a
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị của a để P >
2 1
Bài 6: Cho biểu thức :P=
x
x y xy x
x
x y
xy
x
−
−
−
− +
−
1 2 2
2 2
3
a) Rút gọn P
b) Tìm tất cả các số nguyên dương x để y=625 và P<0,2
*DẠNG 2 CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN VÀ ÁP DỤNG HỆ THỨC
VI-ET:
Bài 1
Cho phương trình x2 −2(m+2)x+m+1=0
Giải phương trình khi m =2
a) Tìm các giá trị của m để phương trình có nghiệm
Trang 10b) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phương trình Tìm giá trị của m để: 2
1 2
2
1(1 2x ) x (1 2x ) m
Bài 2 Cho phương trình : x2 −2(m+1)x+m2 −4m+3=0
a) Xác định giá trị của m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu
b) Xác định giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt đều nhỏ hơn không
c) Gọi x1; x2 là hai nghiệm nếu có của phương trình Tính M = 2
2
2
1 x
x + theo m Tìm giá trị nhỏ nhất của M ( nếu có)
Bài 3 Cho phương trình: x2 −2mx+2m−1=0
a) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm x1; x2 với mọi m
2
2
1 ) 5 (
2 x +x − x x
b1) Chứng minh rằng: A=8m2−18m+9
b2) Tìm m sao cho A= 27
c) Tìm m sao cho phương trình có nghiệm này bằng ba lần nghiệm kia
Bài 4 Cho phương trình x2+mx+n−3=0 (1) (n , m là tham số)
a) Cho n = 0 CMR phương trình luôn có nghiệm với mọi m
b) Tìm m và n để hai nghiệm: x1 ; x2 của phương trình (1) thoả mãn hệ:
=
−
=
− 7
1 2 2
2 1
2 1
x x
x x
Bài 5 Cho phương trình : x2 −(2m−3)x+m2−3m=0
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1, x2thoả mãn 0<x1 <x2 <5
Bài 6 Cho phương trình x2 −2(m+1)x+2m+10=0 (với m là tham số )
a) Giải và biện luận về số nghiệm của phương trình
b) Trong trường hợp phương trình có hai nghiệm phân biệt là x1; x2; hãy tìm một hệ thức liên hệ giữa x1; x2
mà không phụ thuộc vào m
c) Tìm giá trị của m để 2
2
2 1 2 1
10x x +x +x đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 7 Cho phương trình x2−4x 3+8=0 có hai nghiệm là x1; x2
Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức :
2
3 1
3 2 1
2 2 2 1
2 1
5 5
6 10
6
x x x x
x x x x M
+
+ +
=
* DẠNG 3 CÁC BÀI TẬP VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN:
Bài 1 Tìm giá trị của m để hệ phương trình ; ( )
( )
=
− +
+
=
− +
2 1
1 1
y m x
m y x m
Có nghiệm duy nhất thoả mãn điều kiện x + y nhỏ nhất
Bài 2Cho hệ phương trình :
= +
=
− +
a y x a
y x a
3 )
1 (
a) Giải hệ phương rình khi a= - 2
b) Xác định giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất thoả mãn điều kiện: x + y > 0
Bài 3 Cho a và b thoả mãn hệ phương trình :
=
− +
= +
− +
0 2
0 3 4 2 2 2 2
2 3
b b a a
b b a
Tính a2+b2
*DẠNG 4 CÁC BÀI TẬP VỀ HÀM SỐ BẬC HAI VÀ ĐỒ THỊ HÀM SỐ y = ax 2 ( a ≠ 0 )
Bài 1: Cho (P) y =x2 và đường thẳng (d) y=2x+m
a) Vẽ (P)
b) Tìm m để (P) tiếp xúc (d)
Bài 2: Vẽ đồ thị hàm số: y =
2
1
x2 a) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A 2 ; -2 ) và B 1 ; - 4 )
b) Tìm giao điểm của đường thẳng vừa tìm được với đồ thị trên
