Nonlinear multiplier–accelerator model with investment and consumption delays

Νονλινεαρ Μυλτιπλιερ−Αχχελερατορ Μοδελ ωιτη Ινϖεστµεντ ανδ Χονσυµπτιον ∆ελαψσ Ακιο Ματσυµοτοψανδ Φερενχ Σζιδαροϖσζκψζ Αβστραχτ Τηισ παπερ σηοωσ ηοω χψχλιχ δψναµιχσ οφ νατιοναλ ινχοµε χα

Discussion Paper No.227

Nonlinear Multiplier-Accelerator Model with Investment and Consumption Delays

Akio Matsumoto Ferenc Szidarovszky Chuo University University of Pécs

June 2014

INSTITUTE OF ECONOMIC RESEARCH

Chuo University Tokyo, Japan

Νονλινεαρ Μυλτιπλιερ−Αχχελερατορ Μοδελ ωιτη Ινϖεστµεντ ανδ Χονσυµπτιον ∆ελαψσ 

Ακιο Ματσυµοτοψανδ Φερενχ Σζιδαροϖσζκψζ

Αβστραχτ Τηισ παπερ σηοωσ ηοω χψχλιχ δψναµιχσ οφ νατιοναλ ινχοµε χαν εµεργε

ιν τηε µυλτιπλιερ−αχχελερατορ µοδελ ωιτη χοντινυουσ τιµε σχαλε ωηεν δελαψσ

ιν ινϖεστµεντ ανδ χονσυµπτιον αρε πρεσεντεδ Αν Σ−σηαπεδ φυνχτιοναλ φορµ οφ ινϖεστµεντ ανδ α λινεαρ χονσυµπτιον φυνχτιον αρε αδοπτεδ το ιλλυστρατε τηε πηενοµενον ανδ το χοµπυτε τηε σταβιλιτψ−σωιτχηινγ χυρϖεσ

ον ωηιχη α σταβιλιτψ γαιν ορ λοσσ οχχυρσ Ασσυµινγ τηατ τηε εθυιλιβριυµ νατιοναλ ινχοµε ισ λοχαλλψ σταβλε ιφ τηερε αρε νο δελαψσ, ιτ ισ δεµονστρατεδ τηατ ονε δελαψ ισ ηαρµλεσσ ανδ ωιτη τωο δελαψσ, τηε σψστεµ χαν προδυχε λιµιτ χψχλεσ ανδ τηε σταβιλιτψ σωιτχη ρεπεατεδλψ οχχυρσ ωηεν ονε οφ τηε δελαψσ ινχρεασεσ ανδ τηε οτηερ ισ κεπτ το βε ποσιτιϖε χονσταντ

Κεψωορδσ: Νονλινεαρ µυλτιπλιερ αχχελερατορ µοδελ, Βυσινεσσ χψχλε, Ινϖεστµεντ δελαψ, Χονσυµπτιον δελαψ, Σταβιλιτψ σωιτχη

ϑΕΛ Χλασσι…χατιονσ: Χ63, Ε12, Ε32

 Τηε αυτηορσ ηιγηλψ αππρεχιατε τηε …νανχιαλ συππορτσ φροµ τηε ΜΕΞΤ−Συππορτεδ Προγραµ φορ τηε Στρατεγιχ Ρεσεαρχη Φουνδατιον ατ Πριϖατε Υνιϖερσιτιεσ 2013−207, τηε ϑαπαν Σοχιετψ φορ τηε Προµοτιον οφ Σχιενχε (Γραντ−ιν−Αιδ φορ Σχιεντι…χ Ρεσεαρχη (Χ) 24530202, 25380238 ανδ 26380316) Τηε υσυαλ δισχλαιµερσ αππλψ.

ψ Προφεσσορ, ∆επαρτµεντ οφ Εχονοµιχσ, Σενιορ Ρεσεαρχηερ, Ιντερνατιοναλ Χεντερ φορ φυρτηερ

∆εϖελοπµεντ οφ ∆ψναµιχ Εχονοµιχ Ρεσεαρχη, Χηυο Υνιϖερσιτψ, 742−1, Ηιγασηι−Νακανο, Ηα− χηιοϕι, Τοκψο, 192−0393, ϑαπαν; ακιοµ≅ταµαχχ.χηυο−υ.αχ.ϕπ

ζ Προφεσσορ, ∆επαρτµεντ οφ Αππλιεδ Ματηεµατιχσ, Υνιϖερσιτψ οφ Πχσ, Ιφσ〈γ, υ 6., Η−7624, Πχσ, Ηυνγαρψ; σζιδαρκα≅γµαιλ.χοµ

1 Ιντροδυχτιον

Μαχροεχονοµιχ ϖαριαβλεσ συχη ασ νατιοναλ ινχοµε, εµπλοψµεντ ρατε, ιντερεστ ρατε, εξχηανγε ρατε, ετχ εξηιβιτ περσιστεντ ανδ ιρρεγυλαρ ‡υχτυατιονσ Αλτηουγη λινεαρ µοδελσ µαψ βε απεριοδιχ ιφ εξογενουσ σηοχκσ αρε αππροπριατελψ ιντρο− δυχεδ, ιτ ηασ βεεν α µαιν ιντερεστ ιν στυδψινγ µαχροεχονοµιχ δψναµιχσ το δε− τεχτ ενδογενουσ σουρχεσ οφ συχη ιρρεγυλαριτψ ∀∆ελαψ∀ ανδ ∀νονλινεαριτψ∀ ωερε ονχε τηουγητ το βε τωο οφ τηε µαιν ινγρεδιεντσ φορ ενδογενουσ χψχλιχ βεηαϖιορ

Ιφ ωε λοοκ βαχκ ατ τηε χλασσιχ λιτερατυρε ιν τηε 1930’σ – 1950’σ, ωε …νδ ϕεωελρψ πα− περσ ον µαχρο δψναµιχσ, Καλεχκι (1935) ασσυµινγ α γεστατιον λαγ οφ ινϖεστµεντ, Σαµυελσον (1939) βυιλδινγ α µυλτιπλιερ−αχχελερατορ µοδελ, Καλδορ (1940) αδοπτ− ινγ νονλινεαρ ινϖεστµεντ βασεδ ον τηε προ…τ πρινχιπλε, Ηιχκσ (1950) εξτενδ− ινγ Σαµυελσον’σ µοδελ ωιτη τηε ‡οορ ανδ χειλινγ, Γοοδωιν (1951) ασσεµβλινγ Σαµυελσον’σ µοδελ ιν α δι⁄ερεντ ωαψ ωιτη α νονλινεαρ δελαψ ινϖεστµεντ βασεδ ον τηε αχχελερατιον πρινχιπλε Ηοωεϖερ, µαψβε δυε το µατηεµατιχαλ δι′χυλτιεσ το δεαλ ωιτη δελαψ δι⁄ερεντιαλ εθυατιονσ ορ νονλινεαρ δι⁄ερενχε εθυατιονσ, βοτη οφ ωηιχη αρε µαιν τοολσ φορ αναλψζινγ εχονοµιχ δψναµιχσ, µαχρο δψναµιχ στυδιεσ ωιτη δελαψ ανδ/ορ νονλινεαριτψ γραδυαλλψ δισαππεαρ φροµ τηε µαιν στρεαµ

Ιν τηε εαρλψ 1980’σ, χηαοσ τηεορψ σηεδσ λιγητ ον τηε ρολεσ οφ νονλινεαριτψ ιν δετερµινιστιχ προχεσσεσ το εξπλαιν ϖαριουσ χοµπλεξ δψναµιχ βεηαϖιορσ οφ µαχρο εχονοµιχ ϖαριαβλεσ Α λοτ οφ ε⁄ορτσ, σινχε τηεν, ηαϖε βεεν δεϖοτεδ το ινϖεστιγατε τηε αππλιχαβιλιτψ οφ τηε χηαοσ τηεορψ το δψναµιχ εχονοµιχ αναλψσισ ανδ το ρεχον− σιδερ τηε ϖαριουσ εξιστινγ εχονοµιχ µοδελσ Σαµυελσονιαν µυλτιπλιερ−αχχελερατορ µοδελσ τηατ ωε δραω µυχη αττεντιον το ιν τηισ στυδψ αρε αλσο α⁄εχτεδ ανδ εξ− τενδεδ ιν ϖαριουσ διρεχτιονσ Τηε οριγιναλ µοδελ ισ λινεαρ ανδ χαν γενερατε ονλψ δαµπεδ ορ εξπλοσιϖε οσχιλλατιονσ Ωεστερηο⁄ (2006) µοδι…εσ τηε ινδυχεδ ινϖεστµεντ το δεπενδ ον α νονλινεαρ µιξ οφ εξτραπολατιϖε ανδ ρεγρεσσιϖε εξπεχ− τατιον φορµατιονσ Φυρτηερ, Λινεσ ανδ Ωεστερηο⁄ (2006) υσε α ωειγητεδ αϖεραγε

οφ εξτραπολατιϖε ανδ ρεϖερτινγ εξπεχτατιονσ φορµατιονσ ∆ιρεχτ χονσεθυενχε οφ τηεσε αλτερνατιονσ ισ τηατ τηε αδϕυστµεντ προχεσσ οφ νατιοναλ ινχοµε βεχοµεσ νονλινεαρ ανδ τηε βιρτη οφ χοµπλεξ ουτπυτ ‡υχτυατιονσ αρε νυµεριχαλλψ χον− …ρµεδ Χονχερνινγ τηε δισχρετε−τιµε Ηιχκσ’ ϖερσιον, Ηοµµεσ (1995) φοχυσεσ ον χονσυµπτιον ανδ ινϖεστµεντ δελαψσ διστριβυτεδ οϖερ σεϖεραλ περιοδσ ανδ σηοωσ τηατ στρανγε−χηαοτιχ αττραχτορ χαν οχχυρ Τηε διστινγυισηεδ φεατυρε οφ τηε Ηιχκσ’ ϖερσιον ισ αν ιντροδυχτιον οφ αν ινχοµε χειλινγ ανδ αν ινϖεστµεντ ‡οορ το τηε Σαµυελσον ϖερσιον Τηεσε εξογενουσ φαχτορσ αρε ενδογενιζεδ τηρουγη α χαπιταλ φορµατιον τηεορψ Τηε ‡οορ ισ ρελατεδ το τηε χαπιταλ στοχκ τηρουγη α δεπρεχια− τιον ρατε ιν Πυυ ετ αλ (2005) ανδ τηε χειλινγ το τηε χαπιταλ στοχκ τηρουγη τηε ινχοµε−χαπιταλ ρατιο ιν Πυυ (2007) Βοτη αρε τακεν ιντο αχχουντ σιµυλτανεουσλψ

ιν Συσηκο ετ αλ (2010) Ιτ ισ σηοων τηατ περιοδιχ, θυασι περιοδιχ ανδ απεριοδιχ χψχλεσ χαν εµεργε ιν τηεσε µοδελσ Χονχερνινγ τηε χοντινυουσ−τιµε Ηιχκσ’ ϖερ− σιον, Γοοδωιν (1951) ρεπλαχεσ τηε πιεχεωισε λινεαριτψ ιν αν ινϖεστµεντ φυνχτιον ωιτη α σµοοτη νονλινεαριτψ Πυυ (2000) χηοοσεσ τρυνχατεδ Ταψλορ εξπανσιονσ

οφ α νονλινεαρ ινϖεστµεντ φυνχτιον Ματσυµοτο ανδ Σζιδαροϖσζκψ (2010) ινϖοκε χοντινυουσλψ διστριβυτεδ τιµε δελαψσ ιν χονσυµπτιον ανδ ινϖεστµεντ ανδ µακε

ιτ λικελψ τηατ τηε µοδι…εδ µοδελ ποσσεσσεσ α πιεχεωισελψ χοννεχτεδ λιµιτ χψχλε

Τηισ παπερ πυρποσεσ το ρεχονσιδερ τηε λοστ ρολεσ οφ δελαψσ φορ τηε εµεργενχε οφ περσιστεντ ‡υχτυατιονσ Το τηισ ενδ, ωε εξτενδ χοντινυουσ τιµε Γοοδωιν’σ νον− λινεαρ µυλτιπλιερ−αχχελερατορ µοδελ βψ εξπλιχιτλψ δεαλινγ ωιτη ινϖεστµεντ δελαψ ανδ χονσυµπτιον δελαψ Γοοδωιν’σ µοδελ ισ αυγµεντεδ ωιτη νονλινεαρ αχχελ− ερατορ ανδ ινϖεστµεντ δελαψ Ιν δεµονστρατινγ εµεργενχε οφ περσιστεντλψ χψχλιχ βεηαϖιορ, τηε ρολε οφ νονλινεαριτιεσ ηασ βεεν ηιγηλιγητεδ ωηερεασ τηε ρολε οφ τηε δελαψσ ηαϖε βεεν µαδε ιµπλιχιτ Τηισ ισ µαινλψ βεχαυσε Γοοδωιν’σ δελαψ δι⁄ερ− εντιαλ εθυατιον τηατ δεσχριβεσ δψναµιχσ οφ τηε νατιοναλ ινχοµε ισ αππροξιµατεδ

ιν α νειγηβορηοοδ οφ ζερο−δελαψ το οβταιν α σεχονδ−ορδερ δι⁄ερεντιαλ εθυατιον

Ασ α νατυραλ χονσεθυενχε, χονσιδερατιονσ ον δελαψσ λιε ουτσιδε οφ τηε σχοπε οφ τηε µαιν δισχυσσιον Ρεχεντλψ τηε ρολε οφ ινϖεστµεντ δελαψ ισ δισχυσσεδ ιν Ματ− συµοτο ανδ Σζιδαροϖσζκψ (2014α) ιν ωηιχη Γοοδωιν’σ οριγιναλ µοδελ ωιτη ονε δελαψ ιν ινϖεστµεντ ισ ρεεξαµινεδ Ιν τηισ παπερ, ωε φυρτηερ αδδ χονσυµπτιον δελαψ το ιτ ανδ ινϖεστιγατε ωηετηερ τωο δελαψσ ιν ινϖεστµεντ ανδ χονσυµπ− τιον αρε ρεσπονσιβλε φορ ϖαριουσ µαχρο δψναµιχ ‡υχτυατιονσ Αλτηουγη τηισ ηασ τηε σιµιλαρ στρυχτυρε το τηε µοδελ χονσιδερεδ ιν Ματσυµοτο ανδ Σζιδαροϖσζκψ (2014β) ιν ωηιχη τωο δελαψσ ιν ινϖεστµεντ ανδ χονσυµπτιον υνδερ Γοοδωιν σεττινγ ισ ινϖεστιγατεδ, τηερε ισ αν εσσεντιαλ ανδ ιµπορταντ δι⁄ερενχε Τηε µαιν τοολ υσεδ τηερε ισ νοτ αππλιχαβλε το ουρ µοδελ ανδ τηυσ ωε υσε α χοµπλετελψ δι⁄ερεντ µετηοδ δεϖελοπεδ βψ Γυ ετ αλ (2005) το αναλψζε ιτ Φυρτηερ, τηε τωο µοδελσ ηαϖε ονλψ α σµαλλ δι⁄ερενχε ιν µοδελ χονστρυχτιον, τηε ρεσυλτσ οβταινεδ αρε ϖερψ µυχη δι⁄ερεντ

Τηε παπερ ισ οργανιζεδ ασ φολλοωσ Ιν Σεχτιον 2, τηε βασιχ ελεµεντσ οφ τηε µυλτιπλιερ−αχχελερατορ µοδελ αρε ρεχαπιτυλατεδ Ιν Σεχτιον 3 τηε ονε δελαψ µοδελ

ισ χονσιδερεδ ασ α βενχηµαρκ Ιν Σεχτιον 4, τηε τωο δελαψ µοδελ ισ αναλψτιχαλλψ ινϖεστιγατεδ ανδ τηε σταβιλιτψ σωιτχη ισ ριγορουσλψ χονσιδερεδ Ιν Σεχτιον 5, σοµε νυµεριχαλ σιµυλατιονσ αρε πρεσεντεδ Σεχτιον 6 χονταινσ σοµε χονχλυδινγ ρεµαρκσ

Ωε ρεχαπιτυλατε τηε µαιν ποιντσ οφ τηε µυλτιπλιερ−αχχελερατορ µοδελ οφ βυσινεσσ χψχλε Σαµυελσον (1939) χονστρυχτσ α λινεαρ µοδελ τηατ χοµβινεσ τηε µυλτιπλιερ τηεορψ ωιτη τηε αχχελερατιον πρινχιπλε ανδ εξπλαινσ τηε χψχλιχ νατυρε οφ τηε υπσ ανδ δοωνσ ιν βυσινεσσ χψχλε Τηε µοδελ ισ χαστ ιν δισχρετε−τιµε ανδ βασεδ ον τηε φαχτ τηατ νατιοναλ ινχοµε ατ τιµε τ ισ τηε συµ οφ χονσυµπτιον, Χτ; ανδ ινδυχεδ ινϖεστµεντ, Ιτ(ι.ε., Ψτ= Χτ+ Ιτ) Τηε µοδελ ηασ τωο ινγρεδιεντσ Ονε

ισ τηατ χονσυµπτιον ισ α …ξεδ φραχτιον δετερµινεδ βψ τηε µαργιναλ προπενσιτψ

το χονσυµε, ; οφ νατιοναλ ινχοµε ωιτη α ονε−περιοδ δελαψ,

Χτ= Ψτ 1; 0 < < 1 ανδ τηε οτηερ ισ τηατ ινδυχεδ ινϖεστµεντ ισ προπορτιοναλ το χηανγεσ ιν χονσυµπ− τιον ιν περιοδ τ τηατ αρε προπορτιοναλ το χηανγεσ ιν νατιοναλ ινχοµε ιν περιοδ

τ 1 (ι.ε., τηε αχχελερατιον πρινχιπλε),

Ιτ= (Χτ Χτ 1) = (Ψτ 1 Ψτ 2):

Σιµπλε συβστιτυτιονσ ψιελδ α σεχονδ−ορδερ δι⁄ερενχε εθυατιον οφ νατιοναλ ινχοµε,

Ψτ (1 + )Ψτ 1+ Ψτ 2= 0: (1) Ωιτη νο αυτονοµουσ εξπενδιτυρε, τηε ζερο σολυτιον οφ εθυατιον (1) ισ τηε εθυιλιβ− ριυµ νατιοναλ ινχοµε τηατ ισ δετερµινεδ βψ τηε µυλτιπλιερ Ιτ ηασ βεεν δεµον− στρατεδ τηατ δεπενδινγ ον τηε παραµετερ ϖαλυεσ, ϖαριουσ δψναµιχσ ινχλυδινγ χψχλιχαλ οσχιλλατιονσ χαν εµεργε.1 Σινχε εθυατιον (1) ισ λινεαρ, οσχιλλατιονσ ιφ ανψ αρε µαινλψ δαµπεδ ορ εξπλοσιϖε βυτ χαν ηαϖε χονσταντ αµπλιτυδε υνδερ ϖερψ σπε− χιαλ χονδιτιονσ Ηιχκσ (1950) ρεφορµυλατεσ Σαµυελσον’σ µοδελ ασ νονλινεαρ (ι.ε., πιεχεωισε λινεαρ) βψ ιντροδυχινγ τηε ινϖεστµεντ ‡οορ δυε το τηε δεπρεχιατιον οφ τηε εξιστινγ χαπιταλ στοχκ ανδ τηε ουτπυτ χειλινγ δυε το τηε φυλλ εµπλοψµεντ λεϖελ

οφ ουτπυτ Ηιχκσ’σ µοδελ ισ αλσο ιν δισχρετε τιµε ανδ ιτσ ποσσιβλε φορµυλατιον ισ

Χτ= Ψτ 1;

Ιτ= µαξ [(Ψτ 1 Ψτ 2); ΙΛ] ;

Ψτ= µιν [Χτ+ Ιτ; Ψχ]

(2)

ωηερε ΙΛ δενοτεσ τηε ινϖεστµεντ ‡οορ ανδ Ψχ ισ τηε ινχοµε χειλινγ Τηεσε εξογενουσ βουνδσ πρεϖεντ τηε υνσταβλε ‡υχτυατεσ φροµ βεινγ ιν…νιτελψ εξπλο− σιϖε Γοοδωιν (1951) χαστσ τηε δισχρετε−τιµε µοδελ ιν χοντινυουσ τιµε σχαλε ανδ ρεπλαχεσ τηε πιεχεωισε λινεαρ ινϖεστµεντ φυνχτιον ωιτη τηε σµοοτη νονλιν− εαρ φυνχτιον Φιϖε δι⁄ερεντ ϖερσιονσ οφ ηισ µοδελ αρε πρεσεντεδ ανδ ιτσ σεχονδ ϖερσιον ισ δεσχριβεδ βψ τηε φολλοωινγ τωο−διµενσιοναλ σψστεµ:

∀ _Ψ(τ) = _Κ(τ) (1 α)Ψ (τ) _

Κ(τ) = ∋( _Ψ(τ))

(3)

ωηερε ∋( _Ψ) δενοτεσ τηε ινδυχεδ ινϖεστµεντ ωιτη ∋0( _Ψ) > 0 ανδ ∋00( _Ψ) 6= 0

∆ελαψ  ισ ιντροδυχεδ ιν τηε ινϖεστµεντ φυνχτιον ιν τηε τηιρδ ϖερσιον,

_ Κ(τ) = ∋( _Ψ(τ )) ωηιχη ισ συβστιτυτεδ ιντο τηε …ρστ εθυατιον ιν (3) το οβταιν α δελαψ δι⁄ερεντιαλ εθυατιον οφ νευτραλ τψπε,

∀ _Ψ(τ) ∋( _Ψ(τ )) + (1 )Ψ (τ) = 0: (4) Γοοδωιν (1951) δοεσ νοτ δεαλ ωιτη εθυατιον (4) βυτ χονσιδερσ ιτσ λινεαρ αππροξ− ιµατιον ωιτη ρεσπεχτ το ;

∀ Ψ(τ)(τ) + [∀ + (1 )] _Ψ(τ) ∋( _Ψ(τ)) + (1 )Ψ (τ) = 0:

Τηε δελαψ δι⁄ερεντιαλ εθυατιον τυρνσ το βε α σεχονδ−ορδερ νονλινεαρ δι⁄ερεντιαλ εθυατιον, ωηιχη ισ τηε φουρτη ϖερσιον οφ Γοοδωιν’σ µοδελ Υνδερ τηε ινσταβιλιτψ

1 Φορ α θυαλιτατιϖε αναλψσισ, σεε, φορ εξαµπλε, Γανδολφο (2009).

χονδιτιον, ∀ + (1 ) > ∋(0), ανδ τηε αππροξιµατιον χονδιτιον τηατ  ισ συ′χιεντλψ σµαλλ, ιτ ισ σηοων τηατ Γοοδωιν’σ δι⁄ερεντιαλ εθυατιον χαν ηαϖε

α χψχλιχ σολυτιον Ματσυµοτο ανδ Σζιδαροϖσζκψ (2014α) ριγορουσλψ ινϖεστιγατε δψναµιχσ γενερατεδ βψ εθυατιον (4) ωιτη λαργερ ϖαλυεσ οφ  ανδ δεµονστρατε τηατ εθυατιον (4) χαν προδυχε νοτ ονλψ σµοοτη χψχλιχ οσχιλλατιονσ βυτ αλσο σαωτοοτη οσχιλλατιονσ

Ωε νοω µοϖε ονε µορε στεπ φορωαρδ Α δελαψ ιν χονσυµπτιον ιν τηε δισχρετε− τιµε µοδελ ισ εξπλιχιτλψ τακεν ιντο αχχουντ ιν α λα Γοοδωινιαν χοντινυουσ−τιµε µοδελ Ιν παρτιχυλαρ, ωε ρεχαστ τηε νονλινεαρ δισχρετε−τιµε µυλτιπλιερ−αχχελερατορ µοδελ ιν χοντινυουσ τιµε σχαλε ωιτη τηε φολλοωινγ µοδι…χατιονσ,

Χ(τ) = Ψ (τ );

Ι(τ) = ∋( _Ψ(τ ));

Ψ(τ) =

Ζ τ

0

1

∀ε

Ε( )δ

(5)

ωηερε Ε( ) = Χ( ) + Ι( ) ισ τηε τοταλ εξπενδιτυρε,  > 0 ισ τηε χονσυµπτιον δελαψ Τηε λαστ εθυατιον ινδιχατεσ τηατ νατιοναλ ινχοµε λαγσ βεηινδ τηε εξπεν− διτυρε ανδ τηισ δελαψ ισ οφ εξπονεντιαλ φορµ Τηε βασιχ δψναµιχ στρυχτυρε οφ εθυατιον (5) ισ σιµιλαρ το τηατ οφ Πηιλιπσ (1954) ιν ωηιχη τηρεε δελαψσ ιν ιν− ϖεστµεντ, χονσυµπτιον ανδ προδυχτιον αρε αναλψζεδ ιν χοντινυουσ−τιµε σχαλε Νοτιχε τηατ αλλ τηε δελαψσ αρε χοντινυουσλψ διστριβυτεδ ανδ ηαϖε εξπονεντιαλ φορµσ ιν Πηιλιπσ’ µοδελ ωηερεασ χονσυµπτιον ανδ ινϖεστµεντ δελαψσ αρε …ξεδ

ιν σψστεµ (5) ∆ι⁄ερεντιατινγ τηε λαστ εθυατιον ιν (5) ωιτη ρεσπεχτ το τ ανδ συβστιτυτινγ δελαψεδ χονσυµπτιον ανδ ινϖεστµεντ ιντο τηε ρεσυλταντ εξπρεσσιον πρεσεντσ α δι⁄ερεντιαλ εθυατιον ωιτη τωο …ξεδ δελαψσ,

∀ _Ψ(τ) ∋( _Ψ(τ )) + Ψ (τ) Ψ(τ ) = 0: (6) Τηισ ισ τηε δψναµιχ µοδελ ωε ωιλλ αναλψζε Σιµιλαριτψ το εθυατιον (4) ισ χλεαρ

Ιτ πρεσερϖεσ τηε φουρ µαιν φεατυρεσ οφ τηε δισχρετε−τιµε µυλτιπλιερ−αχχελερατορ µοδελ, τηε µυλτιπλιερ, τηε αχχελερατιον πρινχιπλε, τηε νονλινεαρ ινϖεστµεντ φυνχ− τιον ανδ τηε δελαψσ ιν χονσυµπτιον ανδ ινϖεστµεντ.2 Ιτσ λινεαρλψ αππροξιµατεδ ϖερσιον ισ

∀ _Ψ(τ) + Ψ (τ)  _Ψ(τ ) Ψ(τ ) = 0 (7) ωηερε  = ∋0(0): Ωιτη τηε νοτατιον

α= 1

∀; β=



∀ ανδ χ =

∀ εθυατιον (7) βεχοµεσ

_

Ψ(τ) + αΨ (τ) β _Ψ(τ ) χΨ(τ ) = 0: (8)

2 Προφεσσορ Αννα Αντονοϖα ινδιχατεσ τηισ φορµ οφ τηε χονσυµπτιον δελαψ ιν τηε πριϖατε χορ− ρεσπονδενχε Σεε Ματσυµοτο ανδ Σζιδαροϖσζκψ (2014β) φορ ανοτηερ φορµ οφ τηε χονσυµπτιον δελαψ ιν ωηιχη τηε λαστ τωο τερµσ, Ψ (τ) Ψ (τ ); αρε ρεπλαχεδ ωιτη (1 )Ψ (τ ).

Τηε χορρεσπονδινγ χηαραχτεριστιχ εθυατιον ισ οβταινεδ βψ συβστιτυτινγ αν εξπο− νεντιαλ σολυτιον, Ψ (τ) = ετυ,

+ α βε  χε = 0: (9) Σταβιλιτψ οφ εθυατιον (8) χαν βε εξαµινεδ βψ …νδινγ τηε λοχατιονσ οφ τηε ειγεν− ϖαλυεσ οφ εθυατιον (9) Βεφορε προχεεδινγ, ωε µακε τηε φολλοωινγ ασσυµπτιον σινχε, υνδερ µανψ χιρχυµστανχεσ, ιτ ισ νατυραλ το συπποσε τηατ τηε ινϖεστµεντ δελαψ ισ λονγερ τηαν τηε χονσυµπτιον δελαψ

Ασσυµπτιον 1  > 

Ασ α βενχηµαρκ φορ τηε σταβιλιτψ αναλψσισ, ωε …ρστ χονσιδερ τηε χοντινυουσ− τιµε µοδελ ωιτηουτ δελαψσ,

∀ _Ψ(τ) ∋( _Ψ(τ)) + (1 )Ψ (τ) = 0 (10) ωηιχη ισ οβταινεδ βψ συβστιτυτινγ τηε σεχονδ εθυατιον ιν (3) ιντο τηε …ρστ ορ τακινγ αωαψ  ανδ  φροµ εθυατιον (6) Τηε λοχαλ ασψµπτοτιχαλ σταβιλιτψ οφ εθυατιον (10) χαν βε εξαµινεδ βψ λινεαριζατιον αρουνδ τηε στεαδψ στατε Ψ = 0:

∀ _Ψ(τ)  _Ψ(τ) + (1 )Ψ (τ) = 0:

Ιφ ∀ = ; τηεν Ψ (τ) = 0 φορ αλλ τ  0 ισ α σολυτιον, ωηιχη ισ υνιντερεστινγ Ιτ ισ αλσο χηεχκεδ τηατ τηε στεαδψ στατε ισ λοχαλλψ ασψµπτοτιχαλλψ σταβλε ιφ ∀ >  ανδ λοχαλλψ υνσταβλε ιφ ∀ <  Ιν τηε εξιστινγ λιτερατυρε, λοχαλ ινσταβιλιτψ ισ υσυαλλψ ασσυµεδ φορ χψχλιχ στυδψ.3 Σινχε ωε ωιλλ χονσιδερ τηε δελαψ ε⁄εχτσ ον τηε σταβλε στεαδψ στατε, ωε ιµποσε τηε φολλοωινγ χονδιτιον ιν ωηιχη τηε στεαδψ στατε οφ τηε νον−δελαψ εθυατιον (10) ισ λοχαλλψ ασψµπτοτιχαλλψ σταβλε:

Ασσυµπτιον 2 ∀ > 

Ιν τηισ σεχτιον ωε βριε‡ψ εξαµινε τηε σινγλε δελαψ ε⁄εχτ ον τηε ουτπυτ δψναµιχσ, τακινγ αωαψ Ασσυµπτιον 1 Ασσυµε …ρστ τηατ  = 0 ανδ  > 0; σο εθυατιον (9) βεχοµεσ

(1 β) + α χε = 0: (11)

Ατ  = 0 τηε ειγενϖαλυε ισ ( 1)=(∀ ); σο εθυατιον (11) ισ σταβλε σινχε  < ∀ ανδ 0 < < 1 Ατ ανψ σταβιλιτψ σωιτχη  = ι!; ωηερε ωε χαν ασσυµε τηατ

! >0; σινχε τηε χονϕυγατε οφ ανψ ειγενϖαλυε ισ αλσο αν ειγενϖαλυε Συβστιτυτινγ

ιτ ιντο εθυατιον (11) τρανσφορµσ εθυατιον (11) το

ι(1 β)! + α χ(χοσ ! ισιν !) = 0

3 Ματσυµοτο (2009) ασσυµεσ λοχαλ σταβιλιτψ οφ τηε στεαδψ στατε ανδ εξηιβιτσ τηατ α Γοοδ− ωινεαν µυλτιπλιερ−αχχλερατορ µοδελ χαν ηαϖε µυλτιπλε λιµιτ χψχλεσ.

ανδ τηεν σεπαρατινγ τηε ρεαλ ανδ ιµαγιναρψ παρτσ γιϖεσ τωο εθυατιονσ φορ τωο υνκνοωνσ ! ανδ  ασ

α χχοσ ! = 0 (1 β)! + χ σιν ! = 0:

Μοϖινγ α ανδ (1 β)! το τηε ριγητ ηανδ σιδεσ ανδ αδδινγ τηε σθυαρεδ εθυατιονσ ψιελδ

(1 β 2!2= χ2 α2<0:

Τηισ ινεθυαλιτψ µεανσ τηατ τηερε ισ νο ποσιτιϖε ! σατισφψινγ τηε λαστ εθυατιον Τηυσ ωε χονχλυδε τηατ νο σταβιλιτψ σωιτχη οχχυρσ ανδ τηε στεαδψ στατε ισ λοχαλλψ ασψµπτοτιχαλλψ σταβλε φορ αλλ   0: Τηατ ισ, χονσυµπτιον δελαψ ισ ηαρµλεσσ

Ωε νοω εξαµινε τηε οπποσιτε χασε ιν ωηιχη  > 0 ανδ  = 0; σο εθυατιον (9) βεχοµεσ

Ιτ χαν βε χηεχκεδ τηατ τηε στεαδψ στατε Ψ σολϖεσ εθυατιον (8) ωιτη  = 0 ανδ ισ λοχαλλψ ασψµπτοτιχαλλψ σταβλε φορ  = 0 Ασσυµινγ τηατ  = ι! ωιτη ! > 0 ισ α σολυτιον οφ εθυατιον (12) ανδ συβστιτυτινγ ιτ ιντο εθυατιον (12) πρεσεντ

α χ β!σιν ! = 0;

! β!χοσ ! = 0:

Μοϖινγ α χ ανδ ! το τηε ριγητ ηανδ σιδεσ, σθυαρινγ τηεµ ανδ αδδινγ τηεµ τογετηερ γιϖε

(α χ 2+ (1 β2)!2= 0:

Σινχε 1 β2 > 0 βψ Ασσυµπτιον 2, τηερε ισ νο ποσιτιϖε ! σολϖινγ τηε αβοϖε εθυατιον Τηυσ νο σταβιλιτψ σωιτχη οχχυρσ φορ αλλ  > 0 ανδ τηε ινϖεστµεντ δελαψ

ισ αλσο ηαρµλεσσ υνδερ Ασσυµπτιον 2 Λαστλψ ωε χονσιδερ ονε µορε σπεχιαλ χασε

ιν ωηιχη τηε δελαψσ αρε ιδεντιχαλ,  =  Τηε χηαραχτεριστιχ εθυατιον ισ

+ α (β + χ)ε = 0 (13) ωηιχη, ωιτη  = !; χαν βε διϖιδεδ ιντο τωο εθυατιονσ,

χχοσ ! + β! σιν ! = α

χσιν ! + β! χοσ ! = ! φροµ ωηιχη ωε ηαϖε

(1 β2)!2= χ2 α2<0:

Τηισ ινεθυαλιτψ ιµπλιεσ τηατ τηερε ισ νο ποσιτιϖε ! σολϖινγ τηε αβοϖε εθυατιον Τηυσ τηε στεαδψ στατε ισ λοχαλλψ ασψµπτοτιχαλλψ σταβλε φορ αλλ  =   0: Ιν οτηερ ωορδσ, τηε σινγλε δελαψ δοεσ νοτ α⁄εχτ ασψµπτοτιχ βεηαϖιορ Ηοωεϖερ, ιτ µαττερσ

ιν τρανσιεντ βεηαϖιορ.4 Το συµ υπ, ωε ηαϖε τηε φολλοωινγ:

4 Σεε Ματσυµοτο ανδ Σζιδαροϖσζκψ (2014α) φορ σοµε νυµεριχαλ ρεσυλτσ ιν ωηιχη τηε δελαψ γενερατεσ οσχιλλατιονσ, χαυσεσ σλοωερ χονϖεργενχε ανδ µακεσ τιµε τραϕεχτοριεσ κινκεδ ωηιλε τηε τιµε τραϕεχτορψ ωιτη νο δελαψ µονοτονιχαλλψ χονϖεργεσ το τηε ζερο σολυτιον.

Τηεορεµ 1 Γιϖεν Ασσυµπτιον 2, τηε ζερο σολυτιον οφ ονε−δελαψ δι⁄ερεντιαλ εθυατιον (8) ωιτη  = 0,  = 0 ορ  =  ισ λοχαλλψ ασψµπτοτιχαλλψ σταβλε φορ αλλ

 >0,  > 0 ορ  =  > 0

Χηαραχτεριστιχ εθυατιον (9) ισ νοω ινϖεστιγατεδ ωιτη αππλψινγ Γυ’σ µετηοδ (Γυ,

ετ αλ (2005)) δεϖελοπεδ το αναλψζε α τωο δελαψ δι⁄ερεντιαλ εθυατιον.5 ∆ιϖιδινγ ιτσ βοτη σιδεσ βψ α +  ανδ ιντροδυχινγ τηε νεω φυνχτιονσ,

α1() = β

α+  ανδ α2() =

χ

α+  σιµπλιφψ εθυατιον (9),

α() = 1 + α1()ε + α2()ε = 0: (14) Συπποσε τηατ  = ι! ωιτη ! > 0:

α1(ι!) = β!

2

α2+ !2 ι αβ!

ανδ

α2(ι!) = αχ

α2+ !2+ ι χ!

α2+ !2: (16) Τηειρ αβσολυτε ϖαλυεσ αρε

ϕα1(ι!)ϕ = π β!

α2+ !2 ανδ ϕα2(ι!)ϕ = π χ

α2+ !2 (17) ανδ τηειρ αργυµεντσ αρε

αργ(α1(ι!)) = ταν 1α

!

 +  ανδ αργ(α2(ι!)) =  ταν 1!

α

 : (18)

Ωε χαν χονσιδερ τηε τηρεε τερµσ ιν α() ασ τηρεε ϖεχτορσ ιν τηε χοµπλεξ πλανε ωιτη τηε µαγνιτυδεσ 1; ϕα1(ι!)ϕ ανδ ϕα2(ι!)ϕ : Τηε σολυτιονσ οφ α() µεανσ τηατ

ιφ ωε πυτ τηεσε ϖεχτορσ ηεαδ το ταιλ, τηεψ φορµ τωο τριανγλεσ ιν τωο δι⁄ερεντ ωαψσ Ονε τριανγλε ισ ιλλυστρατεδ ιν Φιγυρε 1 ανδ τηε οτηερ ισ οβταινεδ βψ τυρνινγ ιτ

5 Ιν Ματσυµοτο ανδ Σζιδαροϖσζκψ (2014β), τηε σιµιλαρ τωο δελαψ µοδελ ισ αναλψσεδ ωιτη αν ελεµενταρψ µετηοδ, ωηιχη ισ υναππλιχαβλε το αναλψσε εθυατιον (9) δυε το τηε εξιστενχε οφ τηε χονσταντ τερµ, α:

οϖερ ωιτη ρεσπεχτ το τηε αξισ οφ αβσχισσα.

Φιγυρε 1 Τριανγλε φορµεδ βψ 1; ϕα1(ι!)ϕ ανδ

ϕα2(ι!)ϕ

Ιν α τριανγλε χονσιστινγ οφ τηρεε λινε σεγµεντσ, τηε λενγτη οφ τηε συµ οφ ανψ τωο αδϕαχεντ λινε σεγµεντσ ισ νοτ σηορτερ τηαν τηε λενγτη οφ τηε ρεµαινινγ λινε σεγµεντ,

1  ϕα1(ι!)ϕ + ϕα2(ι!)ϕ ;

ϕα1(ι!)ϕ  1 + ϕα2(ι!)ϕ ; ανδ

ϕα2(ι!)ϕ  1 + ϕα1(ι!)ϕ : Συβστιτυτινγ τηε αβσολυτε ϖαλυεσ ιν (17) ρενδερσ τηεσε τηρεε χονδιτιονσ το τηε φολλοωινγ τωο χονδιτιονσ,

φ(!) = (1 β2)!2 2βχ! + α2 χ2 0 ανδ

γ(!) = (1 β2)!2+ 2βχ! + α2 χ2 0:

Βοτη φ (!) ανδ γ(!) ηαϖε τηε σαµε δισχριµιναντ,

∆= 4[χ2 α2(1 β2)]:

Ιν τηε φολλοωινγ ωε δραω αττεντιον το τηε χασε οφ ∆ > 0,6 οτηερωισε φ (!) > 0 φορ αλλ ! ιµπλψινγ νο σταβιλιτψ σωιτχη Σολϖινγ γ(!) = 0 γιϖεσ τηε σολυτιονσ

!1= βχ πχ2 α2(1 β2)

1 β2 ανδ !2= βχ+πχ2 α2(1 β2)

1 β2

6 Υνδερ Ασσυµπτιον 1, ∆ > 0 ωηεν > π1 (=∀) 2