Biết rằng cạnh bờn SB vuụng gúc với mặt phẳng đỏy, gúc giữa hai mặt phẳng SCE và ABCD bằng 45.. Tỡm tọa độ điểm H là hỡnh chiếu của M lờn . Viết phương trỡnh mặt cầu S tõm M, biết rằng
Trang 1TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
TRƯỜNG THPT CHUYấN
ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2015
Mụn: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phỳt, khụng kể thời gian phỏt đề
Cõu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số 2
1
x y x
a) Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị (C) của hàm số đó cho
b) Tỡm m để đường thẳng : 1
2
d y xm cắt đồ thị (C) tại 2 điểm nằm về hai phớa của trục
tung
Cõu 2 (1,0 điểm)
a) Giải phương trỡnh sin 2x2 sin2xsinxcos x
b) Gọi z là nghiệm phức cú phần ảo õm của phương trỡnh 1 z22z 3 0 Tớnh A z12
Cõu 3 (0,5 điểm) Giải phương trỡnh 2x13.2x 7 0
Cõu 4 (1,0 điểm) Giải bất phương trỡnh 1 x1 2x3 x130
Cõu 5 (1,0 điểm) Tớnh tớch phõn
4
0
1 sin 2 d
Cõu 6 (1,0 điểm) Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh thang vuụng tại A và B,
BC AB AD a Gọi E là điểm đối xứng với A qua D, M là trung điểm của BC Biết rằng cạnh bờn SB vuụng gúc với mặt phẳng đỏy, gúc giữa hai mặt phẳng (SCE) và (ABCD) bằng 45 0
Tớnh theo a thể tớch khối chúp S.AMCE và khoảng cỏch giữa hai đường thẳng AM, SD
Cõu 7 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hỡnh chữ nhật ABCD cú , AB2BC, (7; 3)
B Gọi M là trung điểm của đoạn AB, E là điểm đối xứng với D qua A Biết rằng N(2;2)
là trung điểm của DM, điểm E thuộc đường thẳng : 2xy 9 0. Tỡm tọa độ đỉnh D
Cõu 8 (1,0 điểm) Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M ( 3; 1; 2) và mặt phẳng ( ) : 2 x2y z 7 0. Tỡm tọa độ điểm H là hỡnh chiếu của M lờn ( ). Viết phương trỡnh mặt
cầu (S) tõm M, biết rằng ( ) cắt (S) theo giao tuyến là một đường trũn cú bỏn kớnh bằng 4
Cõu 9 (0,5 điểm) An và Bỡnh tham gia một kỳ thi, trong đú cú 2 mụn thi trắc nghiệm là Vật lý và
Húa học Đề thi của mỗi mụn gồm 6 mó khỏc nhau và cỏc mụn khỏc nhau cú mó khỏc nhau Đề thi được sắp xếp và phỏt cho cỏc thớ sinh một cỏch ngẫu nhiờn Tớnh xỏc suất để trong 2 mụn thi
đú An và Bỡnh cú chung đỳng một mó đề thi
Cõu 10 (1,0 điểm) Cho cỏc số thực dương x, y, z thỏa món x2y2z2 3 Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức
2
x y z
- Hết -
Ghi chỳ: BTC sẽ trả bài vào cỏc ngày 20, 21/6/2015 Để nhận được bài thi, thớ sinh phải nộp lại phiếu dự thi cho BTC
Chúc các em học sinh đạt kết quả cao trong Kỳ thi THPT Quốc gia năm 2015 !
www.MATHVN.com
Trang 2TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
TRƯỜNG THPT CHUYÊN
ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2015 Môn: TOÁN; Thời gian làm bài: 180 phút
a) (1,0 điểm)
1o Tập xác định: \ { 1}.
2o Sự biến thiên:
* Giới hạn, tiệm cận: Ta có
( 1)
lim
x
y
và
( 1)
x
y
Do đó đường thẳng x 1
là tiệm cận đứng của đồ thị (C)
x x
nên đường thẳng y là tiệm cận ngang của đồ thị (C) 1
* Chiều biến thiên: Ta có ' 1 2 0,
( 1)
y x
với mọi x 1.
Suy ra hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng ; 1 , 1;
0,5
* Bảng biến thiên:
3o Đồ thị:
Đồ thị (C) cắt Ox tại 2; 0, cắt Oy tại
0; 2 ; nhận giao điểm I 1; 1 của
hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng
0,5
b) (1,0 điểm)
Đường thẳng d cắt (C) tại 2 điểm nằm về hai phía của trục tung khi và chỉ khi phương
trình 2 1
x
x m x
có hai nghiệm trái dấu
2
có hai nghiệm trái dấu khác 1
0,5
Câu 1
(2,0
điểm)
2
m
Vậy giá trị của m là m 2
0,5
a) (0,5 điểm)
Câu 2
(1,0
điểm) Phương trình đã cho tương đương với
2
2sin cos 2 sin sin cos
2 sin (cos sin ) sin cos
x
'
y
y
1
x
O
y
2
2
1
www.MATHVN.com
Trang 3tan 1
1
5
2
0,5
b) (0,5 điểm)
1 2
Suy ra z1 1 2 i Do đó A 1 2i2 1 2 2i 3
0,5
Câu 3
(0,5
điểm)
Phương trình đã cho tương đương với 2 1 3 7 0
2
x x
2
2 2x 7.2x 3 0
2
1
2
log 3
x x
x x
Vậy nghiệm của phương trình là x 1, xlog 3.2
0,5
Điều kiện: x 1
Đặt a x1,b 2 ,x khi đó a0,b 2 và b22a22
Bất phương trình trở thành 1a b 3a3 0
2
3
2
2
a b a
b22a224 (a b3 )a 3 0
2 2
b
Đặt t a,t 0,
b
bất phương trình trở thành 1 2 t224 1 3t t30
0,5
Câu 4
(1,0
điểm)
2
(2 1) (52 28 6) 1 0
2t 1 0, vì t 0 và 52t228t 6 0
2 2
x
x
Kết hợp điều kiện, suy ra nghiệm của bất phương trình là 1x2
0,5
Ta có
d sin 2 d
Tính
2 4
4 2 1
1
0,5
Câu 5
(1,0
điểm)
Tính
4 2 0
sin 2 d
Đặt ux, dvsin 2 d ,x x khi đó d d , cos 2
2
x
u x v
www.MATHVN.com
Trang 4Theo công thức tích phân từng phần, ta có
4
2
0
Từ (1), (2) và (3) suy ra
0,5
D
S
E
C B
A
Ta có CE(SBC) suy ra
SCE ABCD SCB Suy ra SBBC 2 a
Khi đó
.
2
S AMCE AMCE
a a a
0,5
Câu 6
(1,0
điểm)
Ta có AM // CD nên
2
Tam giác BDC có trung tuyến DM bằng một nửa cạnh đối diện BC nên BDC 90 0 Kẻ
BH SD tại H Ta có CDBD CD, SBCDSBDCDBH
Trong tam giác vuông SBC ta có
a BH
Từ (1), (2), (3) suy ra , 3
3
a
d AM SD
0,5
H I
: 2x y + 9 = 0
N(2; 2)
E
M
B(7; 3) A
Trước hết, ta chứng minh NENB Đặt AB2BC2 ,a ta có
2
2
.cos135 2 cos 45
0
ND NM ND MB DE NM DE MB
a
Suy ra NENB
0,5
Câu 7
(1,0
điểm)
Do đó NE x: y0E( 3; 3).
Gọi IBNAD. Kẻ MH // AD ( HBI) Ta có NINH HI, HB Suy ra
I
I
x
y
2
DI MH AI Suy ra EI5IDD1;5
Lưu ý Học sinh có thể đặt ABx AD, y
Biểu thị hai vectơ NE NB,
qua , x y
Từ đó
dễ dàng suy ra NE NB 0
0,5
www.MATHVN.com
Trang 5Ta có : 3 1 2 2 3; 2 1; 2 ( ) ( 1; 3; 3).
Câu 8
(1,0
điểm) Ta có , ( ) 6 2 2 7 3
3
Suy ra bán kính của mặt cầu (S) là 2 2
R Vậy S : x32y12z22 25
0,5
Câu 9
(0,5
điểm)
Số cách nhận mã đề 2 môn thi của An là 6.636
Số cách nhận mã đề 2 môn thi của Bình là 6.636
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là 36.36 1296.
Gọi A là biến cố “An và Bình có chung đúng một mã đề thi”
Khả năng 1 An và Bình có chung mã đề thi môn Vật lý
Số cách nhận mã đề thi của An và Bình là 6.6.5 180.
Khả năng 2 An và Bình có chung mã đề thi môn Hóa học
Số cách nhận mã đề thi của An và Bình là 6.6.5 180.
Suy ra số kết quả thuận lợi cho A là A 180 180 360
Suy ra xác suất ( ) 360 5 0, 2778
1296 18
A
0,5
2
2
2
2
x y z
Xét các véc tơ u x y; 2 2 ,v z; 2
Áp dụng bất đẳng thức u v u v,
ta có
2
2
9
x y z
Suy ra
2
3 2
P
0,5
Câu 10
(1,0
điểm)
Đặt txyz, 0 t 3x2y2z23 Khi đó
2
81
3
t P
t
Xét hàm số
2
81 ( ) 18
3
t
f t
t
với 0 t 3 Ta có
f t
t t
'( ) 0,
f t với mọi 0 t 3 Suy ra ( )f t f(3) 1 3 3.
Suy ra giá trị nhỏ nhất của P là 1 3 3, đạt khi x yz1
0,5
www.MATHVN.com