Đáp án và thang điểm môn toán khối A

Đáp án và thang điểm môn toán khối A

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2009

Môn: TOÁN; Khối: D

(Đáp án - thang điểm gồm 04 trang)

ĐÁP ÁN − THANG ĐIỂM

1 (1,0 điểm) Khảo sát…

Khi m=0, y x= 4−2 x2

• Tập xác định: D= \

• Sự biến thiên:

- Chiều biến thiên: y' 4= x3−4 ;x y' 0= ⇔ x= ±1 hoặc x=0

0,25

Hàm số nghịch biến trên: (−∞ −; 1) và (0;1); đồng biến trên: ( 1;0)− và (1;+ ∞)

- Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại x= ±1, y CT = −1; đạt cực đại tại x=0, y CĐ =0

- Giới hạn: lim lim

- Bảng biến thiên:

0,25

• Đồ thị:

0,25

2 (1,0 điểm) Tìm m

Phương trình hoành độ giao điểm của (C m) và đường thẳng y= −1: x4−(3m+2)x2+3m= −1

Đặt t x t= 2, ≥0; phương trình trở thành: t2−(3m+2)t+3m+ =1 0 0,25

Yêu cầu của bài toán tương đương: 0 3 1 4

3 1 1

m m

< + <

⎧

⎨ + ≠

I

(2,0 điểm)

⇔ 1 1,

3 m

1 (1,0 điểm) Giải phương trình…

Phương trình đã cho tương đương: 3 cos5x−(sin 5x+sin ) sinx − x= 0

⇔ 3cos5 1sin 5 sin

2 x−2 x= x

x −∞ 1− 0 1

y' − 0 + 0 − 0 +

y

+∞

1

0

+∞

+∞

x O

y

2

1

−

1

8

0,25

II

(2,0 điểm)

⇔ sin 5 sin

π

⎛ − ⎞=

⇔ 5 2

3 x x k

Vậy:

18 3

x= π +kπ hoặc

2 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình…

Hệ đã cho tương đương:

2 2

3

5

x y

x

x y

x

⎧ + + − =

⎪

0

⎪⎩

⎪

2

3 1

⇔

x y

x

⎧ + = −

⎪⎪

⎨

⎪⎜ − ⎟ − + =

⎪⎝ ⎠

3 1

4 6

2 0

x y x

x x

⎧ + = −

⎪⎪

⎨

⎪ − + =

⎪⎩

0,25

⇔

1 1 2

x

x y

⎧ =

⎪

⎨

⎪ + =

⎩

hoặc

1 1 2 1 2

x

x y

⎧ =

⎪⎪

⎨

⎪ + =

⎪⎩

0,25

1

x y

=

⎧

⎨

=

⎩ hoặc

2 3 2

x y

=

⎧

⎪

⎨

= −

⎪⎩

Nghiệm của hệ: ( ; ) (1;1)x y = và ( ; 3

0,25

) 2;

2

x y =⎛⎜ − ⎞⎟

Tính tích phân…

Đặt t e dx x, dt;x 1,t e x; 3,t e3

t

3

( 1)

e e

dt I

t t

=

−

3

1 1 1

e e

⎛ − ⎞

⎜ − ⎟

III

(1,0 điểm)

Tính thể tích khối chóp

IV

của tứ diện

IH⊥AC H∈AC ⇒ IH ⊥(ABC) IH

IABC

⇒ IH AA// ' ⇒ 2

IH CI

a

IH = AA =

AC= A C −A A =a BC= AC2−AB2 =2 a

Diện tích tam giác ABC 1 2

2

ABC

SΔ = AB BC = a

Thể tích khối tứ diện IABC:

3

a

V = I H SΔ =

0,50

C' A'

B

B'

M

K

I

H

a 2a

3a

Hạ AK⊥A B K' ( ∈A B' ) Vì BC⊥(ABB A' ') nên AK⊥BC ⇒ AK⊥(IBC)

Khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( IBC) là AK 0,25

'

AA B

AK

Δ

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất…

Do x y+ =1, nên: S =16x y2 2+12(x3+y3) 9+ xy+25x y

0,25

16x y 12 (⎡ x y) 3 (xy x y)⎤ 34xy

= + ⎣ + − + ⎦+ =16x y2 2−2xy+12

Đặt t xy= , ta được: S=16t2− +2t 12; 0 ( )2 1

x y

≤ ≤ = ⇒ 0;1

4

t ⎡ ⎤

∈ ⎢ ⎥⎣ ⎦ Xét hàm f t( ) 16= t2− +2t 12 trên đoạn 0;1

4

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎣ ⎦ '( ) 32 2;

f t = t− f t'( ) 0= ⇔ 1 ;

16

t= (0) 12,f = 1

16

f ⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠ = 191,

16

1 4

f ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ = 25

2

1 0;

4

1 25

f t f

⎛ ⎞

= ⎜ ⎟=

⎝ ⎠ 0;1

4

1 191

16 16

f t f

⎛ ⎞

= ⎜ ⎟=

⎝ ⎠

0,25

Giá trị lớn nhất của bằng S 25;

2 khi

1 1 4

x y xy

+ =

⎧

⎪

⎨

=

1 1 ( ; ) ;

2 2

= ⎜ ⎟

V

(1,0 điểm)

Giá trị nhỏ nhất của bằng S 191;

16 khi

1 1 16

x y xy

+ =

⎧

⎪

⎨

=

⎪⎩

⇔ ( ; ) 2 3 2; 3

x y = ⎜⎛ + − ⎞

⎟

x y = ⎜⎛ − + ⎞

⎟

0,25

1 (1,0 điểm) Viết phương trình đường thẳng…

Toạ độ A thoả mãn hệ: 7 2 3 0 ⇒

x y

x y

− − =

⎧

⎨

− − =

B đối xứng với A qua M suy ra , B=(3; 2).−

0,25

Đường thẳng BC đi qua B và vuông góc với đường thẳng 6x y− − = 0.4

Toạ độ trung điểm N của đoạn thẳng BC thoả mãn hệ: 7 2 3 0

6 9 0

x y

x y

− − =

⎧

⎨ + + =

3 0; 2

N⎛⎜ − ⎞⎟

⇒ JJJGAC=2.MNJJJJG= − −( 4; 3 ;) phương trình đường thẳng AC: 3x−4y+ =5 0 0,25

2 (1,0 điểm) Xác định toạ độ điểm D

( 1;1;2),

AB= −

JJJG

phương trìnhAB

2 1

2

z t

= −

⎧

⎪ = +

⎨

⎪ =

⎩

0,25

VI.a

(2,0 điểm)

D thuộc đường thẳng AB ⇒D(2−t;1+t t;2 ) ⇒ CDJJJG= −(1 t t t; ;2 ) 0,25

Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng ( ) :P nG=(1;1;1).

C không thuộc mặt phẳng ( ).P

CD P ⇔ n CDG JJJG= 1.(1 ) 1 1.2 0 1

2

⇔ − + + = ⇔ = − Vậy 5 1; ; 1

2 2

D⎛⎜ − ⎞⎟

0,50

Tìm tập hợp các điểm…

Đặt z x yi x y= + ( , ∈\); z− + = − +3 4i (x 3) (y+4 )

VII.a

Từ giả thiết, ta có: ( ) (2 )2 ( ) (2 )2

(1,0 điểm)

Tập hợp điểm biểu diễn các số phức là đường tròn tâm z I(3; 4− ) bán kính R=2 0,25

1 (1,0 điểm) Xác định toạ độ điểm M

Gọi điểm M a b( ); Do M a b( ); thuộc ( )C nên ( )2 2

a− +b = O∈( )C ⇒ IO IM= =1 0,25

Tam giác IMO có OIMn= 120Dnên OM2=IO2+IM2−2 IO IM.cos120D ⇔a2+b2=3 0,25

Toạ độ điểm M là nghiệm của hệ ( )2 2

3

3

2

a

⎧ =

⎪

⎧ − + =

+ =

Vậy 3; 3

=⎜⎜ ± ⎟⎟

2 (1,0 điểm) Viết phương trình đường thẳng…

Toạ độ giao điểm của với I Δ ( )P thoả mãn hệ:

x

⎪

−

⎨

⎪ + − + =

⎩

⇒ I( 3;1;1).− 0,25

Vectơ pháp tuyến của ( ) :P nG=(1;2; 3);− vectơ chỉ phương của Δ: uG=(1;1; 1).− 0,25

Đường thẳng cần tìm qua và có vectơ chỉ phương d I vG=⎡⎣n uG G, ⎤⎦= − −(1; 2; 1) 0,25

VI.b

(2,0 điểm)

Phương trình d

3

1 2

1

= − +

⎧

⎪ = −

⎨

⎪ = −

⎩

0,25

Tìm các giá trị của tham số m

VII.b

Phương trình hoành độ giao điểm: x2 x 1 2x m

x

+ − = − + ⇔ 3x2+ −(1 m x) − =1 0 (x≠0) 0,25 (1,0 điểm)

Phương trình có hai nghiệm phân biệt x x khác 0 với mọi 1, 2 m 0,25

I

1

6

I

m

-Hết -