Đáp án đề thi Đại Học môn Toán 2004

Đáp án đề thi Đại Học môn Toán 2004

Bộ giáo dục và đào tạo Đáp án - Thang điểm

đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng năm 2004

Đề chính thức Môn: Toán, Khối D

(Đáp án - thang điểm có 4 trang)

1 Khảo sát hàm số (1,0 điểm)

1 9 6

a) Tập xác định: R

b) Sự biến thiên:

y ' 3x= 2ư12x 9 3(x+ = 2 ư4x 3)+ ; y' 0= ⇔ =x 1, x 3= 0,25

yCĐ = y(1) = 5 , yCT = y(3) =1 y'' = 6x 12ư = 0 ⇔ x = 2 ⇒ y = 3 Đồ thị hàm

số lồi trên khoảng (ư∞; 2), lõm trên khoảng (2;+∞) và có điểm uốn là

) 3

; 2 (

Bảng biến thiên:

y 5 + ∞

ư∞ 1

c) Đồ thị:

Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm (0; 1)

0,25

2 Tìm m để điểm uốn của đồ thị hàm số (1,0 điểm)

y = x3 ư 3mx2 + 9x + 1 (1); y' = 3x2 ư 6mx + 9; y'' = 6x ư 6m

y"= 0 ⇔ x = m ⇒ y = ư2m3 + 9m + 1 0,25

y" đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua x = m, nên điểm uốn của đồ thị hàm số

I thuộc đường thẳng y = x + 1 ⇔ ư2m3 + 9m + 1 = m + 1 0,25

⇔ 2m(4 ư m2 ) = 0 ⇔ m = 0 hoặc m=±2 0,25

II 2,0

1 Giải phương trình (1,0 điểm)

( 2cosx ư1) (2sinx + cosx) = sin2x ư sinx

• 2cosx ư 1= 0 ⇔ cosx =1 x k2 , k

π

⇔ = ± + π ∈Z

0,25

• sinx + cosx = 0 ⇔ tgx = ư1 ⇔ x k , k

4

π

= ư + π ∈Z

0,25

Vậy phương trình có nghiệm là: x k2

3

π

= ± + π và x k , k

4

π

= ư + π ∈Z

0,25

2 Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (1,0 điểm)

Đặt: u = x , v= y, u 0, v 0.≥ ≥ Hệ đã cho trở thành: u v 13 3

+ =

⎧

⎨

u v 1

uv m

+ =

⎧

⇔ ⎨

=

⎩ ⇔ u, v là hai nghiệm của phương trình: t2 ư t + m = 0 (**)

0,25

Hệ đã cho có nghiệm (x; y) ⇔ Hệ (*) có nghiệm u ≥ 0, v ≥ 0 ⇔ Phương trình

⇔

1 4m 0

1

4

P m 0

⎧

⎨

⎪ = ≥

1 Tính toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC và tìm m (1,0 điểm)

Trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ:

G xA xB xC G yA yB yC m

Tam giác ABC vuông góc tại G ⇔ GA.GB 0JJJG JJJG= 0,25

GA( 2; ), GB(3; )

JJJG JJJG

0,25

GA.GB 0JJJG JJJG= 6 m2 0

9

⇔ ư + = ⇔ = ±m 3 6

0,25

2 Tính khoảng cách giữa B 1 C và AC 1 , (1,0 điểm)

a) Từ giả thiết suy ra:

C (0; 1; b), B C (a; 1; b)JJJJG= ư

AC = ư( a; 1; b), AB = ư( 2a;0; b)

0,25

( ) 1 1 1

d B C, AC

B C, AC

JJJJG JJJJG JJJJG

0,25 b) áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có:

2

+

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = 2

Vậy khoảng cách giữa B1C và AC1 lớn nhất bằng 2 khi a = b = 2 0,25

3 Viết phương trình mặt cầu (1,0 điểm)

I(x; y; z) là tâm mặt cầu cần tìm ⇔ I ∈ (P) và IA = IB = IC

Ta có: IA2 = (x ư2)2 + y2 + ( z ư 1)2 ; IB2 = (x ư 1)2 + y2 + z2 ;

IC2 = (x ư 1)2 + (y ư 1)2 + ( z ư 1)2 0,25 Suy ra hệ phương trình:

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

=

=

=

ư + +

2 2

2 2

0 2

IC IB

IB IA

z y x

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

= +

= +

= + +

⇔

1 2 2 z

y

z x

z y x

0,25 ⇔x=z=1; y=0 0,25

⇒

=

=IA 1

R Phương trình mặt cầu là ( x ư1)2 + y2 + ( z ư1)2 =1 0,25

1 Tính tích phân (1,0 điểm)

I =

3 2

2

ln(x ưx) dx

2

2

2x 1

u ln(x x)

x x

ư

⎧

ư

=

3 2 2

I x ln(x x) dx 3ln 6 2ln 2 2 dx

0,25

2

3ln 6 2ln 2 2x ln x 1

0,25

I = 3ln6 ư 2ln2 ư 2 ư ln2 = 3ln3 ư 2 0,25

2 Tìm số hạng không chứa x (1, 0 điểm)

k

7

k 0

ư

=

0,25

0,25

Số hạng không chứa x là số hạng tương ứng với k (k∈Z, 0 k 7)≤ ≤ thoả mãn:

0 4

12

7 28

=

⇔

=

0,25

Số hạng không chứa x cần tìm là C74 =35 0,25

V Chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất 1,0

x5 ư x2 ư 2x ư 1 = 0 (1) (1) ⇔ x5 = ( x + 1)2≥ 0 ⇒ x ≥ 0 ⇒ (x + 1) 2≥ 1 ⇒ x5≥ 1 ⇒ x ≥ 1 0,25 Với x ≥ 1: Xét hàm số f (x) x= 5ưx2ư2x 1ư Khi đó f(x) là hàm số liên tục

với mọi x ≥ 1

Ta có:

f(1) = ư 3 < 0, f(2) = 23 > 0 Suy ra f(x) = 0 có nghiệm thuộc ( 1; 2) (2) 0,25

f '( x) = 5x4ư2x 2 (2xư = 4ư2x) (2x+ 4ư + 2) x4 =2x(x3ư +1) 2(x4ư +1) x4 > ∀ ≥ 0, x 1 0,25

Suy ra f(x) đồng biến trên [ 1; +∞) (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra phương trình đã cho có đúng một nghiệm 0,25