SKKN TOAN 8

Ở trường THCS, trong dạy học Toán, cùng với việc hình thành cho học sinh một hệ thống vững chắc các khái niệm, các định lí, thì việc bồi dưỡng học sinh giỏi toán có tầm quan trọng đặc bi

A - ĐẶT VẤN ĐỀ A-LỜI MỞ ĐẦU :

Trong học tập, môn Toán có một vị trí rất quan trọng Các kiến thức

và phương pháp Toán học là công cụ thiết yếu giúp học sinh học tốt các môn học khác, hoạt động có hiệu quả trong mọi lĩnh vực Đồng thời môn Toán giúp học sinh phát triển những năng lực và phẩm chất trí tuệ; rèn luyện cho học sinh khản năng tư duy tích cực, độc lập, sáng tạo, giáo dục cho học sinh tư tưởng đạo đức và thẩm mỹ

Ở trường THCS, trong dạy học Toán, cùng với việc hình thành cho học sinh một hệ thống vững chắc các khái niệm, các định lí, thì việc bồi dưỡng học sinh giỏi toán có tầm quan trọng đặc biệt và là một trong những vấn đề trung tâm của phương pháp dạy học Đối với học sinh, có thể coi việc giải bài toán là một hình thức chủ yếu của việc học toán

Nên việc hình thành cho học sinh một hệ thống phương pháp vững chắc các kiến thức cơ bản để học sinh có thể vận dụng vào làm bài tập thì việc bồi dưỡng học sinh khá, giỏi là mục tiêu quan trọng của ngành giáo dục nói chung và bậc học THCS nói riêng Do đó hướng dẫn học sinh kĩ năng tìm tòi sáng tạo trong quá trình giải toán là rất cần thiết

và không thể thiếu được

Là một giáo viên trực tiếp giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8 tôi thấy: trong chương trình Toán THCS "Các bài toán về cực trị trong đại số" rất đa dạng, phong phú và thú vị, có một ý nghĩa rất quan trọng đối với các em học sinh ở bậc học này Ở THCS vì không có "công cụ cao cấp" nên phải bằng các cách giải thông minh nhất, tìm ra các biện pháp phù hợp với trình độ kiến thức ở bậc học THCS để giải quết các bài toán loại này Chính vì vậy, các bài toán cực trị đại số ở THCS

có một cách suy nghĩ logic sáng tạo, biết kết hợp kiến thức cũ với kiến thức mới một cách có hệ thống phù hợp

Trên thực tế giảng dạy Toán 8-9 những năm qua tôi nhận thấy: phần

"Các bài toán cực trị trong đại số" là một trong những phần trọng tâm của việc bồi dưỡng học sinh khá, giỏi ở trường THCS Thế nhưng thực trạng học sinh trường chúng tôi và những trường tôi đã từng dạy là: học sinh không có hứng thú với loại toán này, bởi lẽ các bài toán về cực trị đại số ở trường THCS không theo một phương pháp nhất định nên các em rất lúng túng khi làm toán về cực trị, các em không biết bắt đầu từ đâu và đi theo hướng nào Hầu hết học sinh rất ngại khi gặp các bài toán cực trị và không biết vận dụng để giải quyết các bài tập khác Trước thực trạng đó khiến tôi suy nghĩ: "Làm thế nào để học sinh không thấy ngại và có hứng thú với loại toán này" Nên tôi đã dành thời gian đọc tài liệu, nghiên cứu thực tế giảng dạy của bản thân

và của một số đồng nghiệp; qua sự tìm tòi thử nghiệm, được sự giúp

đỡ của các bạn đồng nghiệp Tôi đã có một vài kinh nghiệm trong việc : "Hướng dẫn học sinh THCS giải các bài toán cực trị trong đại số" Với ít kinh nghiệm này tôi hi vọng sẽ giúp học sinh không bỡ ngỡ khi gặp các bài toán cực trị đại số, giúp các em học tốt hơn Đồng thời hình thành ở học sinh tư duy tích cực, độc lập, sáng tạo, nâng cao năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề, rèn luyện khả năng vận cao nhất, tốt nhất

II THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU.

1 Đối với học sinh : Thực trạng khi nhận chuyên môn phân công dạy toán 8 ở những tiết đầu tiên tôi cảm thấy buồn trước cách học của học sinh

Để Thống kê năng lực tiếp thu bài của học sinh tôi dùng nhiều hình thức phát vấn trắc nghiệm rút ra một hiện tượng nổi bật học sinh trả lời rõ ràng mạch lạc nhưng mang tính chất học vẹt chấp hành đúng nguyên bản, quá trình dạy để kiểm tra việc thực hành ứng dụng của

học sinh tôi đưa ra một số ví dụ thì học sinh lúng túng không biết chứng minh như thế nào

Trước thực trạng trên tôi đã điều tra học sinh qua nhiều biện pháp Sau khi kiểm tra tôi thấy rằng học sinh hiểu và làm rất mơ hồ, một sô học sinh làm được chỉ nằm vào một số học sinh khá- giỏi Số còn lại chủ yếu là học sinh TB, Yếu, kém không biết giải thích bài toán như thế nào

2, Đối với giáo viên :

Thực trạng này không thể đổ lỗi cho tất cả học sinh bởi vì người giáo viên là người chủ động, chủ đạo kiến thức, cũng chỉ tuân theo SGK mà dạy bài toán này đòi hỏi học sinh phải tư duy tốt và phải thâu tóm được kiến thức đã học để tận dụng vào làm bài tập

Đôi khi giáo viên áp đặt gò bó các em phải thê này, phải thế nọ mà không đưa ra thực tế để các em nhìn nhận vấn đề

Về phía học sinh cảm thấy khó tiếp thu bởi vì đây là dạng toán mà các em rất ít được gặp chính vì lí do đó mà người thầy phải tìm ra Phương pháp phù hợp nhất để học sinh có hứng học, bước đầu học sinh làm quen với dạng bài toán “ Toán Cực chỉ” nên cảm thấy mơ hồ phân vân tại sai lại phải làm như vậy.Nếu không biến đổi thì có tìm được kết quả không Từ những băn khoăn đó của học sinh giáo viên khẳng định nếu không biến đổi như vậy thì không trả lời yêu cầu của bài toán

Sau đây tôi xin đưa ra một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải các bài toán cực trị trong đại số 8

B- GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

I - CÁC GIẢI PHÁP THỰC HIỆN

1 Khái niệm về cực trị của một biểu thức

Cho biểu thức nhiều biến số P(x, y, , z) với x, y, , z thuộc miền S nào đó xác định Nếu với bộ giá trị của các biến (x0, y0, z0) ∈ S mà

ta có: P(x0, y0, z0) ≥ P(x, y, , z) hoặc P(x0, y0, z0) ≤ P(x, y, , z) thì ta nói P(x, y, ., z) lớn nhất hoặc nhỏ nhất tại (x0, y0, .z0) trên miền S

P(x, y, , z) đạt giá trị lớn nhất tại (x0, y0, z0) ∈ S còn gọi là P đạt cực đại tại (x0, y0, z0) hoặc Pm a x tại (x0, y0, z0) Tương tự ta có:

P đạt giá trị nhỏ nhất tại (x0, y0, z0) ∈ S còn gọi là P đạt cực tiểu tại (x0, y0, z0) hoặc Pm i n tại (x0, y0, z0)

Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của P trên miền xác định S gọi là các cực trị của P trên miền S

2 Nguyên tắc chung tìm cực trị của một biểu thức

Tìm cực trị của một biểu thức trên một miền xác định nào đó là vấn

đề rộng và phức tạp, nguyên tắc chung là:

a) Để tìm giá trị nhỏ nhất của một biểu thức P(x, y, , z) trên miền xác định S, ta cần chứng minh hai bước:

- Chứng tỏ rằng P ≥ k ( với k là hằng số ) với mọi giá trị của các biến trên miền xác định S

- Chỉ ra trường hợp xảy ra dấu đẳng thức

b) Để tìm giá trị lớn nhất của một biểu thức P(x, y, , z) trên miền xác định S, ta cần chứng minh hai bước:

- Chứng tỏ rằng P ≤ k ( với k là hằng số ) với mọi giá trị của các biến trên miền xác định S

- Chỉ ra trường hợp xảy ra dấu đẳng thức

Chú ý rằng không được thiếu một bước nào trong hai bước trên.

Một học sinh tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A như sau:

Ta có x2 ≥ 0 ; (x - 2)2 ≥ 0 nên A ≥ 0.

Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng 0

Lời giải trên có đúng không?

Giải : Lời giải trên không đúng Sai lầm của lời giải trên là mới chứng

tỏ rằng A ≥ 0 nhưng chưa chỉ ra được trường hợp xảy ra dấu đẳng

thức Dấu đẳng thức không xảy ra, vì không thể có đồng thời:

x2 = 0 và (x - 2)2 = 0

Lời giải đúng là:

A = x2 + (x - 2)2 = x2 + x2 - 4x +4 = 2x2 - 4x + 4

= 2(x2 -2x - +1) + 2 = 2(x - 1)2 + 2

Ta có: (x - 1)2 ≥ 0 , ∀x

⇒ 2(x - 1)2 + 2 ≥ 2 ∀x

⇒ A ≥ 2 ∀x

Do đó A = 2 ⇔ x = 1.

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A bằng 2 với x = 1.

3 Kiến thức cần nhớ:

Để tìm cực trị của một biểu thức đại số, ta cần nắm vững: a) Các tính chất của bất đẳng thức, các cách chứng minh bất đẳng thức.

b) Sử dụng thành thạo một số bất đẳng thức quen thuộc:

* a2 ≥ 0, tổng quát: a2 k ≥ 0 (k nguyên dương)

Xảy ra dấu đẳng thức ⇔ a = 0

* -a2 ≤ 0, tổng quát: -a2 k ≤ 0 (k nguyên dương)

Xảy ra dấu đẳng thức ⇔ a = 0

* a ≥ 0 (Xảy ra dấu đẳng thức ⇔ a = 0)

* - a ≤ a ≤ a (Xảy ra dấu đẳng thức ⇔ a = 0)

* a + b ≥ a + b (Xảy ra dấu đẳng thức ⇔ ab≥ 0)

* a − b ≥ a − b

(Xảy ra dấu đẳng thức ⇔ a≥ b≥ 0 hoặc a ≤ b≤ 0)

* a + 1 ≥ 2 , ∀a >0 và a + 1 ≤ − 2 , ∀a <0

* a b a b ≥ ab









 +

≥

2

(Xảy ra dấu đẳng thức ⇔ a = b=1)

* a ≥ b, ab >0 ⇒

b a

1 1

≤ (Xảy ra dấu đẳng thức ⇔ a = b=1)

II - CÁC BIỆN PHÁP THỰC HIỆN

(Một số dạng bài toán cực trị trong đại số)

Thông qua các bài toán trong sách giáo khoa (sách tham khảo) tôi tiến hành phân loại thành một số dạng cơ bản nhất về các bài toán cực trị trong đại số ở THCS rồi hướng dẫn học sinh tìm kiến thức có liên quan cần thiết để giải từng dạng toán đó Sau đây là một số dạng cơ bản thường gặp:

DẠNG 1 : BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA MỘT BIỂU THỨC LÀ TAM THỨC BẬC HAI.

Ví dụ 1 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.

A(x) = x2- 4x+1 Trong đó x là biến số lấy các giá trị thực bất kỳ

Hướng dẫn giải :

Gợi ý : Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A(x) ta cần phải biến đổi

về dạng A(x)≥k (k là hằng số) với mọi gía trị của biến và chỉ ra trường hợp xảy ra đẳng thức

Lời giải : A(x) = x2- 4x+1

= x2- 2.2x+1

= (x2- 2.2x+4)- 3

= (x- 2)2- 3

Với mọi giá trị của x: (x - 2)2 ≥0 nên ta có:

A(x) = (x- 2)2- 3≥-3

Vậy A(x) đạt giá trị nhỏ nhất bằng -3 khi x=2

Đáp số : A(x)n h ỏ n h ấ t = - 3 với x=2

Ví dụ 2 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

B(x) = -5x2- 4x+1 Trong đó x là biến số lấy giá trị thực bất kỳ

Hướng dẫn giải : Gợi ý : Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B(x) ta cần phải biến

đổi đưa B(x) về dạng B(x)≤ k (k là hằng số) với mọi giá trị của biến khi đó giá trị lớn nhất của B(x)= k và chỉ ra khi nào xảy ra đẳng thức

Lời giải : B(x) = -5x2 – 4x+1

= -5 (x2+

5

4

x) +1

5

2 5

2 5

2 2

2 2





























−











 +

x

25

4 5

2 5

2

+

















−











 +

5

4 5

+ +











 + x

= -5

5

9 5

2 2

+











Với mọi giá trị của x:

2

5

2











 +x ≥ 0 nên -5

2

5

2











 +x ≤ 0

suy ra: B(x)= -5

2

5

2











 +x +

5

9

≤ 5 9

Vậy B(x)đạt giá trị lớn nhất khi B(x)=

5

9

, khi x =

-5 2

Đáp số : B(x)l ớ n n h ấ t =

5

9

với x =

-5 2

Ví dụ 3 : (Tổng quát)

Cho tam thức bậc hai P = ax2 +bx + c Tìm giá trị nhỏ nhất của P nếu a > 0

Tìm giá trị lớn nhất của P nếu a < 0

Hướng dẫn giải : Gợi ý : Để tìm giá trị nhỏ nhất (lớn nhất) của P ta cần phải biến

đổi sao cho P = a.A2(x) + k Sau đó xét với từng trường hợp a>0 hoặc

a< 0 để tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất.

Lời giải :

P = a.A2(x) + k

= a (x2 +

a

b

x) + c

2 2

2 2

4 4

2 2

a

b c a

b a

b x x









+ +

=

k

a

b x









 +

=

2

2 với 2

2

4a

b c

2

2

≥











 +

a b

+ Nếu a>0 thì 0

2

2

≥











 +

a

b x

+ Nếu a< 0 thì 0

2

2

≥











 +

a

b x

Vậy khi x =

-a

b

2 thì P có giá trị nhỏ nhất bằng k (nếu a>0) hoặc giá trị lớn nhất bằng k (nếu a< 0)

DẠNG 2 : BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT,GIÁ TRI LỚN NHẤT CỦA

ĐA THỨC BẬC CAO:

Ví dụ4 :

Tìm giá trị nhỏ nhất của A = (x2 + x + 1)2

Hướng dẫn giải :

(?) Ta nhận thấy A = (x 2 + x + 1) 2 ≥ 0, nhưng giá trị nhỏ nhất của A

có phải bằng 0 hay không? Vì sao?

Trả lời : Mặc dù A ≥ 0 nhưng giá trị nhỏ nhất của A không phải bằng 0 vì: x2 + x +1 ≠ 0

Do đó Am i n ⇔ (x2 + x +1)m i n

(?) Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của x 2 + x +1? và tìm giá trị nhỏ nhất của A?

Trả lời: Ta có x2 + x +1 = x2 + 2x

2

1

+

4

1

-

4

1

+ 1 =

2

2

1











 +x +

4

3

≥ 4 3

Vậy giá trị nhỏ nhất của x2 + x + 1 bằng

4

3

với x = -

2 1

Trả lời: Giá trị nhỏ nhất của A bằng

16

9 4

32 =









 với x = -

2 1

Ví dụ 5 :

Tìm giá trị nhỏ nhất của

x4 – 6x3 + 10x2 – 6x + 9

Hướng dẫn giải :

Gợi ý: -Hãy viết biểu thức dưới dạng A2(x) + B2(x) ≥ 0

-Xét xem xảy ra dấu đẳng thức khi nào? Giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng bao nhiêu?

Lời giải : x4 - 6x3 + 10x2 - 6x +9

= x4 - 2.x2.3x + (3x)2 + x2 - 2x.3 +32

= (x2 - 3x)2 + (x - 3)2 ≥ 0

Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi:

3 3

3 0

3

x

x x

x x

x x

x

x

 = 

− =



Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng 0 với x = 3

Đáp số : Giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng 0 với x = 3

DẠNG 3 : BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT

CỦA ĐA THỨC CÓ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

Ví dụ6 : Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x− + − 1 x 3

Hướng dẫn giải :

Gợi ý: Bài toán đề cập tới dấu giá trị tuyệt đối do đó chúng ta phải nghỉ tới các khoảng nghiệm và định nghĩa giá trị tuyệt đối của một biểu thức

0

A khi A

A khi A

≥





Cách 1 : Để tìm giá trị nhỏ nhất của A, ta tính giá trị của A trong các

khoảng nghiệm So sánh các giá trị của A trong các khoảng nghiệm đó

để tìm ra giá trị nhỏ nhất của A

Lời giải

+ Trong khoảng x < 1 thì x− 2 = - (x -2) = 2 - x

5

x− = - (x - 5) = 5 - x

⇒ A = 2 - x + 5- x = 7 - 2x

Do x < 2 nên -2x > -4 do đó A = 7 - 2x> 3 + Trong khoảng 2 ≤ x ≤ 5 thì x− 2 = x - 2

x− 5 = - (x - 5) = 5 - x

⇒ A = x - 2 + 5 - x = 3

+ Trong khoảng x > 5 thì x− 2= x - 2

x− 5 = x - 5

⇒ A = x - 2 + x - 5 = 2x - 7

Do x > 5 nên 2x > 10 do đó A = 2x – 7> 3

So sánh các giá trị của A trong các khoảng trên, ta thấy giá trị nhỏ nhất của A bằng 3 khi và chỉ khi 2 ≤ x ≤ 5

Đáp số: Am i n = 3 khi và chỉ khi 2 ≤ x ≤ 5

Cách 2 : Ta có thể sử dụng tính chất: giá trị tuyệt đối của một tổng

nhỏ hơn hoặc bằng tổng các giá trị tuyệt đối Từ đó tìm giá trị nhỏ

nhất của biểu thức A

Lời giải: A = x− 2 + x− 5 = x− 2 + 5 −x

Ta có: x− 2 + 5 x− = x− + − 2 5 x = 3

A = 3 2 0 2 5

x

x

 − ≥





Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng 3 khi và chỉ khi 2 ≤ x ≤ 5

DẠNG 4 : BÀI TOÁN TÌM GTNN, GTLN CỦA PHÂN THỨC CÓ TỬ LÀ

HẰNG SỐ, MẪU LÀ TAM THỨC BẬC HAI

Ví dụ 7 : Tìm giá trị lớn nhất của M =

5 4x

- 4x

3

2 +

Hướng dẫn giải :

Gợi ý : Sử dụng tính chất a ≥ b, ab >0 ⇒

b a

1 1

≤ hoặc theo quy tắc so sánh hai phân số cùng tử, tử và mẫu đều dương.

Lời giải: Xét M =

5 4x

- 4x

3

2 + = ( 2 ) 4 1 4

3

2 − x+ +

x = (2x -1)32 + 4

Ta thấy (2x - 1)2 ≥ 0 nên (2x - 1)2 + 4 ≥ 4

Do đó: (2x -1)32 + 4 ≤ 4

3

Trả lời: Vậy M lớn nhất bằng

4

3

khi 2x – 1 = 0 ⇒ x =

2 1

Đáp số : Ml ớ n n h ấ t=

4

3

với x =

2 1

Ví dụ 8 : Tìm giá trị nhỏ nhất của B =

4

- x -2x

1 2

Hướng dẫn giải :

Ta có: B =

4

- x -2x

1

2 = -

4 2x x

1

2 + = - (x - 1) 3

1

2 +

Vì (x - 1)2 ≥ 0 ⇒ (x + 1)2 + 3 ≥ 3