6 ABCD V AB AC AD 5 Tọa độ hóa không gian : Bổ sung vào bài toán hệ trục tọa độ Oxyz như sau : Vì Ox Oy Oz vuông góc với nhau từng đôi một nên nếu trong mô hình có chứa các cạnh ,
Trang 1MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN DIỆN TÍCH, THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
1) Diện tích tam giác
1 [ , ] 2
ABC
S AB AC
2) Diện tích hình bình hành ABCD
[ , ]
ABCD
S AB AC
3) Thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’
' ' ' ' [ , ] '
ABCD A B C D
V AB AD AA
4) Thể tích khối tứ diện:
1 [ , ]
6
ABCD
V AB AC AD
5) Tọa độ hóa không gian : Bổ sung vào bài toán hệ trục tọa độ Oxyz như sau :
Vì Ox Oy Oz vuông góc với nhau từng đôi một nên nếu trong mô hình có chứa các cạnh , , vuông góc thì ta ưu tiên chọn các đường đó lần lượt thuộc các trục tọa độ
DẠNG 1 BÀI TOÁN ĐƯỢC CHO TRONG KHÔNG GIAN Oxyz Bài
1 Cho ba điểm A, B, C thỏa OA i 2j k OB , 3i j k OC, 2i j
a) CMR: A, B, C không thẳng hàng
b) Tính diện tích tam giác ABC
c) Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC
Giải
a) Theo định nghĩa tọa độ điểm ta có:
A(1;2;-1), B(3;1;1), C(2;1;0) AB(2; 1; 2), AC(1; 1;1)
Ta có: AB AC, (1;0; 1) 0
,
AB AC
không cùng phương A, B, C không thẳng hàng.
ABC
S AB AC (đvdt)
AB AC BC
2
ABC ABC
S
p
(đvđd)
Bài
2 Cho bốn điểm A(1;-1;2), B(2;1;3), C(0;-2;-4), D(3;1;-2)
a) CMR: A, B, C, D tạo thành một tứ diện
b) Tính cos của góc tạo bởi hai đường thẳng AB và CD
c) Tính thể tích khối tứ diện ABCD và đường cao của tứ diện kẻ từ A
Giải.
a)
(1;2;1), ( 1; 1; 6),
, ( 11;5;1), (2; 2; 4)
, 11.2 5.2 1.( 4) 16 0
AB AC AD
, ,
AB AC AD
không đồng phẳng Do đó: A, B, C, D tạo thành một tứ diện
b) AB(1;2;1), CD(3;3; 2)
Trang 2 AB. 3 6 2 4 cos( , ) cos ,
CD
AB CD
c)
,
ABCD
V AB AC AD (đvtt)
( 2; 3; 7), (1;0; 5)
BC BD
, (15; 17;3)
BC BD
BCD
ABCD
BCD
V
S
Bài 3 Cho A(-1,6,0) , B(3,0,-8) , C(2,-3,0)
a) Viết phương trình mp ( ) qua A , B , C
Đáp số : 12x+4y+3z-12=0 b) cắt Ox , Oy , Oz lần lượt tại M , N, P Tính thể tích khối chóp OMNP Viết phương trình mp(MNP)
Đáp số : V= 2 ; (MNP) : 12x+4y+3z-12 = 0
Bài 4 Cho A(1,1,3) , B(-1,3,2) C(-1,2,3) Viết pt mp ( ) qua 3 điểm A, B, C Tính diện tích tam giác ABC , thể tích khối tứ diện OABC
Đáp số : ( ) : x+2y+2z-9=0 ; dt(ABC)= 3
2 ; VOABC=
3 2
Bài 5 Cho 4 điểm : A,B,C,D biết A(2,4,-1) , OB i 4j k , C(2,4,3) , OD 2i 2j k
1/ Chứng minh : AB AC AC ; AD AD ; AB Tính thể tích khối tứ diện ABCD
DẠNG 2 GIẢI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ
Bài 1: ( Đề thi ĐHCĐ khối A-2007)
Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình vuông ABCD cạnh a Mặt bên (SAD) là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy ABCD Gọi M,N,P lần lượt là các trung điểm của SB,BC,CD Tính thể tích tứ diện CMNP=?
HD:
Gọi O là trung điểm của AD Chọn hệ trục Oxyz sao cho:
(O, Ox, Oy, Oz) trùng với (O,OD,ON,OS)
Ta có:
3
; ; ), (0; ;0), ( ; ;0)
3 ( ;0;0), ( ; ;0), ( ; ;0), ( ;0;0), (0;0; )
M
Vì: 1
, 6
V
với
2 2 3
CM CN
và ( ; ;0)
4 2
CP
Vậy:
3 3 96
CMNP
a
V
Bài 2:
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên AA’=h Tính thể tích tứ diện BDD’C’=?
HD:
Chọn góc tam diện là (A, AB, AD, AA’) ta có:
Trang 3BD ( a a; ;0); BD' ( ; ; ); a a h BC ' (0; ; ) a h
Mà : DD' '
1 ' ' 6
V
với BD BD ' ( ; ;0)ah ah
Vậy :
2 DD' '
6
B C
ha
V
Bài 3: ( Đề thi TS CĐSP Tây Ninh-2006)
Cho trong mặt phẳng (P) hình vuông ABCD cạnh a Qua trung điểm I của cạnh AB dựng đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Trên d lấy điểm S sao cho: 3
2
a
a) Tính thể tích hình chóp S.ACD=?
b) Tính khoảng cách từ C đến (SAD)=?
HD:
a) Gọi O là trung điểm của AB; M là trung điểm của CD
Chọn góc tam diện là: (O;OB;OM;OS)
2 2
SACD
SACD
a
V V
2
a
( ) 3
2
a