HẾT Đề chính thức.
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỒNG THÁP
-KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT
DỰ THI CẤP QUỐC GIA NĂM 2010
-ĐỀ THI MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)
Ngày thi: 15 tháng 11 năm 2009 (Đề thi gồm có: 01 trang)
Câu 1: ( 5 điểm)
1a) Giải hệ phương trình sau:
3 )
1 ln(
3
3 )
1 ln(
3
3 )
1 ln(
3
3 2
3 2
3 2
z x z
z z
y z y
y y
x y x
x x
2a) Cho dãy số (Un), biết rằng : , n N*
12 6
10 4
1 2
2
1
U U
U
Chứng minh rằng : (Un + 4) chia hết cho n, với mọi số nguyên tố n
Câu 2: ( 4 điểm)
Cho hàm số f x liên tục trên đoạn [0,1] thỏa mãn điều kiện
0 f 1
f Chứng minh rằng phương trình
2009
1
x f x
0 , 1
Câu 3: ( 5 điểm)
3a) Cho tam giác ABC và I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác Các đường
phân giác trong của các góc A, B, C lần lượt cắt các cạnh đối diện tại
A’, B’, C’ Chứng minh rằng:
27
8 ' '.
'.
.
CC BB AA
CI BI AI
3b) Gọi ,, là góc giữa đường thẳng (d) và theo thứ tự với các đường
thẳng chứa ba cạnh BC, CA, AB của tam giác đều ABC
Tính M = sin2.sin2.sin2 + cos2.cos2.cos2
Câu 4: (3 điểm)
Tìm ba số nguyên tố a, b, c thỏa ab– c + 1 = 0
Câu 5: (3 điểm)
Trong một giải đấu thể thao vòng tròn một lượt có n vận động viên
, , , 2
P n Mỗi vận động viên đấu với tất cả mọi đấu thủ còn lại và nguyên tắc
đấu không có hòa Đặt W r và L r là số trận thắng và số trận thua tương ứng của đấu
thủ P r.Hãy chứng tỏ rằng:
n
r r n
r
W
1 2 1
2
HẾT
Đề chính thức