Giá trị của dấu hiệu, dăy giá trị của dấu hiệu Ứng với mỗi đơn vị điều tra có một số liệu, số liệu đó gl một giá trị của dấu hiệu.. Số các giá trị không nhất thiết khác nhau của dấu hiệu
Trang 1ÔN CUỐI NĂM TOÁN 7
Phần I Đại số A/ Lí thuyết:
I Thống Kê:
1 Dấu hiệu, đơn vị điều tra : Vấn đề hay hiện tượng cần quan tâm tìm hiểu gọi là dấu hiệu
2 Giá trị của dấu hiệu, dăy giá trị của dấu hiệu
Ứng với mỗi đơn vị điều tra có một số liệu, số liệu đó gl một giá trị của dấu hiệu Số các giá trị (không nhất thiết khác nhau) của dấu hiệu bằng số các đơn vị điều tra (N) Tập hợp các giá trị gọi là dăy giá trị của dấu hiệu
3 Tần số của mỗi giá trị :
Số lần xuất hiện của một giá trị trong dăy giá trị của dấu hiệu đgl tần số của giá trị đó
4 Biểu đồ:
Có hai dạng cơ bản là biểu đồ đoạn thẳng và biểu đồ hình chữ nhật
5 Ý nghĩa của số trung bình cộng :
Số trung bbình cộng thường được dùng làm đại diện cho dấu hiệu, đặc biệt là khi muốn so sánh các dấu hiệu cùng loại
6 Mốt của dấu hiệu :
Mốt của dấu hiệu là giá trị có tần số lớn nhất trong bảng tần số Kí hiệu là Mo
II Biểu thức đại số:
1 Đơn thức đồng dạng :Hai đơn thức đồng dạng là hai đơn thức có hệ số khác 0 và có cùng phần biến
Vd : 2x3y2, -5x3y2, 1
4
−
x3y2 là những đơn thức đồng dạng
* Các số khác 0 được coi là những đơn thức đồng dạng
2 Cộng trừ các đơn thức đồng dạng : Để cộng (trừ) các đơn thức đồng dạng, ta cộng (trừ) các hệ số với nhau và giữ nguyên phần biến
Vd a/ x2y+x2y=(2+1)x2y=3x2y ; b/ 3xy2-7xy2=(3-7)xy2= - 4xy2
3 Đa thức :Đa thức là một tổng của những đơn thức
- Mỗi đơn thức trong tổng gọi là một hạng tử của đa thức đó
4 Bậc của đa thức : Bậc của đa thức là bậc của hạng tử có bậc cao nhất trong dạng thu gọn của đa thức đó
- Số 0 là đa thức 0 và nó không có bậc
- Khi tìm bậc của một đa thức, trước hết ta phải thu gọn đa thức đó
5.Cộng, trừ hai đa thức : Để cộng ,trừ 2 đa thức ,ta cộng trừ các đơn thức đồng dạng.
6 Đa thức một biến :Đa thức một biến là tổng của những đơn thức của cùng một biến
- Bậc của đa thức một biến (khác đa thức không, đa thức đã thu gọn) là số mũ lớn nhất của biến trong đa thức đo
7 Hai cách cộng, trừ đa thức một biến :
Cách 1 : Bỏ ngoặc rồi cộng trừ các hạng tử đồng dạng
Cách 2 : Sắp xếp các hạng tử theo lth giảm (hoặc tăng) cuả biến rồi đặt phép tính theo cột dọc tương tự như cộng trừ các số (đặt các đơn thức đồng dạng ở cùng một cột)
8 Nghiệm của đa thức một biến :
Nếu tại x=a, đa thức P(x) có giá trị bằng 0 thì ta nói a (hoặc x=a) là một nghiệm của đa thức đó
Ví dụ :a)x= -1
2là nghiệm của đa thức P(x)=2x+1 vì
P(-1
2)=0 b) x=-1 và x=1 là nghiệm của đa thức Q(x)=x2-1 vì Q(-1)=0 và Q(1)=0
c) Đa thức G(x)=x2+1 không có nghiệm vì tại x=a bất kì ta luôn có G(a)=a2+1>0
B/ Bài tập:
Bài 1 Điểm kiểm tra môn toán học kì II của 40 học sinh lớp 7A được ghi lại trong bảng sau :
a Dấu hiệu ở đây là gì ? Số các giá trị khác nhau của dấu hiệu ?
b Lập bảng tần số
c Tính số trung bình cộng
Bài 2: Số lượng học sinh giỏi trong từng lớp của một trường được ghi lại trong bảng sau đây:
Trang 28 10 11 9 13 8 12 10 11 9 8 9
9 10 11 7 8 10 10 7 8 7 8 7
1) Số các giá trị của dấu hiệu là:
2) Số các giá trị khác nhau của dấu hiệu là:
3) Tần số tương ứng với giá trị 8 là
4) Mốt của dấu hiệu là:
Bài 3: Một thầy giáo theo dõi thời gian làm một bài tập (Thời gian tính theo phút) của 30 học sinh và ghi lại như sau
a/ Dấu hiệu ở đây là gì? b/ Lập bảng “tần số” và nhận xét
Bài 4: Điểm kiểm tra học kỳ I môn toán của lớp 7A1 được thống kê như sau :
a)Dấu hiệu cần tìm ở đây là gì ? b)Lập bảng tần số và nhận xét
c)Tính số trung bình cộng và tìm mốt của dấu hiệu
Bài 5: Cho hai đa thức P(x) = 2x3 – 2x + x2 – x3 + 3x + 2 và Q(x) = 4x3 -5x2 + 3x – 4x – 3x3 + 4x2 + 1
a/ Rút gọn và sắp xếp các đa thức theo lũy thừa giảm dần của biến
b/ Tính P(x) + Q(x) ; P(x) - Q(x) c/ Tính P(-1) ; Q(2)
Bài 6: ( 2 điểm) Cho 2 đa thức P(x) = 4x2 - 3x + 1 -x3 + 5x - 3x2 + 2x4 và Q(x) = -2x4 + 3x2 - 5x + x3 +6x + 6
a/Hăy thu gọn 2 đa thức P(x) và Q(x) b Tinh P(x) + Q(x); P(x) - Q(x)
Bài 7:
a, Tính tích của hai đơn thức sau: - 0,5x2yz và -3xy3z Tìm hệ số và bậc của tích tìm được
b, Cho A = x2- 2x - y2 + 3y - 1 B = -2x2 + 3y2 - 5x + y + 3 C = 3x2 – 2xy +7y2 – 3x – 5y - 6
Tính a/ A + B b/ A+C c/ B + C d/ A- B e/ A – C f/ A + B –C ; h/ A – B +C
Bài 8: Cho đa thức: P(x) = 5x3 + 2x4 - x2 + 3x2 - x3 - x4 + 1 - 4x3
a, Thu gọn và sắp xếp các hạng tử của đa thức trên theo thứ tự giảm dần của các biến?
b, Tính P(1) và P(-1)? c, Chứng tỏ rằng đa thức trên không có nghiệm ?
Bài 9 Cho P(x) = 4 x5 − 7 x2 + 3 x4 − 3 x5 + 3 − x − x5
a/ Thu gọn và sắp xếp đa thức P(x) theo lũy thừa giảm b/ Cho Q(x) = x2 +5x−6 Tính P(x) + Q(x)
Bài 10: Tìm nghiệm của đa thức N(x) = 10x – 5 M(x) = 3-2x
Bài 11 Cho hai đa thức: P x( ) 2= x4−3x2+ −x 5 và Q x( )=x4− + +x3 x2 4
a) Tìm N(x) biết N(x) + P(x) = Q(x) b) Tính P(1); Q(2); N(-3)
Bài 12: Cho các đa thức A(x) = x3 – 2x4 + x2 – 5 + 5x B(x) = - x4 + 4x2 – 3x3 – 6x + 7 ; C(x) = x + x3 – 2 a/ Tính A(x) +B(x) ; A(x) – B(x) + C(x)
b/ Chứng tỏ x = 1 là nghiệm của đa thức A(x) và C(x), nhưng không phải là nghiệm của đa thức B(x)
Bài 13: Cho đa thức: Q(x)= x2+2 Chứng tỏ đa thức Q(x) không có nghiệm
Phần II Hình học:
A/ Lí thuyết:
1/ ĐN tam giác cân: Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau
∆ABC cân tại A : AB=AC ; µ µB=C
* Tính chất :
- Trong một tam giác cân hai góc ở đáy bằng nhau
Trang 3- Nếu một tam giác có hai góc ở đáy bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân
- Tam giác vuông cân là tam giác vuông có hai cạnh góc vuông bằng nhau
* Tam giác đều :
Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau
- Trong một tam giác đều, mỗi góc bằng 60o
- Nếu một tam giác có ba góc bằng nhau thì tam giác đó là tam giác đều
- Nếu một tam giác cân có một góc bằng 60o thì tam giác đó là tam giác đều
2/ Định lí Pytago :
Trong một tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền bằng tổng các
bình phương của hai cạnh góc vuông ∆ ABC vuông tại A ⇒ BC2=AB2+AC2
* Định lí Pytago đảo :
Nếu một tam giác có bình phương của một cạnh bằng tổng các bình phương của hai cạnh kia thì tam giác đó là tam giác vuông ∆ABC ,BC2=AB2+AC2⇒ ·BAC =90o
2/ Mối quan hệ giữa các yếu tố trong tam giác:
a/ Quan hệ giữa cạnh và góc đối diện:
* Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn ΔABC:C>A>Bµ µ µ ⇔AB>BC>AC
* Trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn ΔABC:AB>BC>AC⇔C>A>Bµ µ µ b/ Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu:
Định lí 1: Trong các đx và đvg kẻ từ một điểm ở ngoài một đt đến đt đó,đvg là đường ngắn nhất
- Độ dài đường vuông góc AH gọi là khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d
Các đường xiên và hình chiếu :
Trong hai đx kẻ từ một điểm nằm ngoài một đt đến đt đó :
+Đx nào có hc lớn hơn thì lớn hơn +Đx nào lớn hơn thì có hc lớn hơn
+Nếu hai đx bằng nhau thì hai hc bằng nhau và ngược lại nếu hai hc bằng nhau thì hai đx bằng nhau
3 Bất đẳng thức tam giác :
* Trong một tg, tổng độ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng lớn hơn độ dài cạnh
còn lại ΔABC : AB+AC>BC; AB+BC>AC; AC+BC>AB
* Hệ quả : Trong Trong một tg, hiệu độ dài hai cạnh bất kì , bao giờ cũng nhỏ hơn độ dài cạnh còn lại
- Trong một tg, độ dài một cạnh bao giờ cũng lớn hơn hiệu và nhỏ hơn tổng các độ dài của hai cạnh còn lại
ΔABC: AB-AC<BC<AB+AC
4/ Ba đường đồng qui:
a/ Trong một tam giác:
+ Trọng tâm : Là giao điểm của ba đường trung tuyến
+ Điểm (nằm trong tam giác) cách đều ba cạnh : Là giao điểm của ba đường phân giác
+ Điểm cách đều ba đỉnh : Là giao điểm của ba đường trung trực
+ Trực tâm : Là giao điểm của ba đường cao
b/ Tam giác ABC cân tại A ⇔Hai trong bốn đường sau trùng nhau: đường trung trực của cạnh BC, đường trung tuyến, đường cao và đường phân giác cùng xuất phát từ đỉnh A
c/ Nếu tam giác ABC đều thì trọng tâm, trực tâm, điểm cách đều 3 đỉnh và điểm ( nằm trong tam giác) cách đều ba cạnh là bốn điểm trùng nhau
B/ Bài tập:
Bài 1 Tìm chu vi của một tam giác , biết hai cạnh của nó là 1 cm và 7 cm , độ dài cạnh còn lại là một số nguyên Bài 2 Cho tam giác ABC cân tại A , đường cao AD Biết AB = 10 cm ; BC = 12 cm
a Tính độ dài các đoạn thẳng BD , AD
b Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC Chứng minh rằng ba điểm A , G , D thẳng hàng
c Chứng minh ABG∆ = ∆ ACG
Bài 3: Cho ·xOy nhọn, trên cạnh Ox lấy điểm A, trên cạnh Oy lấy điểm B sao cho OA = OB Vẽ AE vuông góc với
Oy, E∈Oy; Vẽ BF vuông góc với Ox, F∈Ox
a Chứng minh: AE = BF, OE = OF b Gọi giao điểm của AE và BF là I Chứng minh: IA = IB, IE = IF
c Chứng minh AB // EF
Bài 4 Cho ∆ABC cân tại A Lấy điểm M trên tia đối của tia BC và diểm N trên tia đối của tia CB sao cho BM=CN
Trang 4b a
Q P
N
M
D
C
O
b
a
132 44
a/ Chứng minh: ·ABM=CAN b/ Chứng minh: · ∆AMN cân c/ So sánh độ dài các đoạn thẳng AM;AC
d/ Trên tia đối của tia MA lấy điểm I sao cho MI = AM C/m rằng nếu MB = BC = CN thì tia AB đi qua trung điểm đoạn thẳng IN
Bài 5 Cho tam giác vuông ABC ( µA = 90o ), tia phân giác của góc B cắt AC ở E, từ E kẻ EH vuông góc BC (H thuộc BC) chứng minh rằng:
a/ ∆ ABE bằng ∆ HBE b/ BE là đường trung trực của đoạn thẳng AH c/ EC > AE
Bài 6 Cho tam giác ABC biết µA=3B 6Cµ = µ
a/ Tìm số đo các góc A, B, C b/ Vẽ đường cao AD Chứng minh rằng: AD < BC < CD
Bài 7 Cho tam giác ABC vuông tại A Gọi H là hình chiếu của B trên đường phân giác CD của góc C Dựng điểm E sao cho H là trung điểm của đoạn DE Chứng minh rằng: a/ ·CEB = ·ADC và ·EBH = ·ACD b/ BE ⊥ BC
60
A= , tia phân giác của góc BAC cắt BC ở E Kẻ EK vuông góc với AB (
K∈AB ) Kẻ BD vuông góc với AE ( D AE∈ ) Chứng minh: a/ AK= KB b/ AD= BC
Bài 9: Cho tam giác ABC cân tại A ( Â < 900 ) Vẽ BH ^ AC ( H Î AC ) ; CK ^ AB ( KÎ AB )
Chứng minh rằng AH = AK b) Gọi I là giao điểm của BH và CK Chứng minh rằng AI là tia phân giác góc A Bài 10 Cho tam giác ABC vuông ở C, có µA = 600 Tia phân giác của góc ·BAC cắt BC ở E Kẻ EK vuông góc với
AB (K∈AB) Kẻ BD vuông góc với tia AE (D∈tia AE) Chứng minh rằng:
a) ΔACE= AKE∆ b) AE là trung trực của CK c) KA = KB.d) EB 〉 AC
Hình1 Hình 2 Hình 3 Hình 4
Bài 11 Hình 1 a/ Vì sao a // b b/ Tính số đo góc NPQ
Bài 12 Hình 2 : a // b , µC=44 ;D 1320 µ = 0 Tính số đo góc COD
Bài 13 Cho tam giác DEF cân tại D với đường trung tuyến DI
a/ C/m ΔDEI = ΔDFI b/ Cho biết số đo của hai góc DIE và DIF c/ Biết DE=DF=13cm, EF=10cm Tính DI Bài 14: Cho xOy khác góc bẹt Trên tia Ox lấy hai điểm A&B, trên tia Oy lấy hai điểm C&D sao cho OA=OC, OB=OD Gọi I là giao điểm của hai đoạn AD&BC Chứng minh:
a/ BC = AD; b/ IA = IC ; IB = ID; c/ Tia Oy là tia phân giác của góc xOy Bài 15: Cho hình 3 : a/ Tính góc KOL b/ Kẻ tia IO, hãy tính góc KIO c/ Điểm O có cách đều 3 cạnh của ΔIKL không ? vì sao ?
Bài 16: Hình 4 a/ Chứng minh ΔABD=ΔACD b/ So sánh ·DBC và DCB·
***
Chúc các em học tập tốt!
62
O
L K
I
D A
C B