QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN

Các nội dung chính trong các bài thi tuyển sinh thuộc dạng toán này thường được đề cập đến là: 1/ Chứng minh tính vuông góc: +/ Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.. Các dạng toán thư

Trang 1

Xuctu.com : Học toán trực tuyến -Học kèm theo nhóm Tại Huế: 0905671232

Trang 1

QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN

Bài viết tháng 4 năm 2014

Thầy giáo: Nguyễn Quốc Tuấn

Các bài toán về quan hệ vuông góc luôn là một chủ đề quen thuộc và không thể thiếu trong

mọi bài toán hình học không gian có mặt trong các kì thi nói chung và thi Đại học, Cao đẳng nói

riêng Các nội dung chính trong các bài thi tuyển sinh thuộc dạng toán này thường được đề cập đến

là:

1/ Chứng minh tính vuông góc:

+/ Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

+/ Hai đường thẳng vuông góc với nhau

+/ Hai mặt phẳng vuông góc với nhau…

2/ Các bài toán tìm khoảng cách:

+/ Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

+/ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

3/ Các bài toán xác định góc:

+/ Góc giữa hai đường thẳng chéo nhau

+/ Góc giữa hai mặt phẳng

+/ Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng…

Trong bài viết này, chỉ đề cập đến 2 nội dung: Tính vuông góc và Khoảng cách và những vấn đề

liên quan trực tiếp đến nó

VẤN ĐỀ 1: CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH TÍNH VUÔNG GÓC

1 Kiến thức cơ bản cần biết:

a Tiêu chuẩn vuông góc:

+ Đường thẳng (d) vuông góc mặt phẳng (P) khi (d) vuông

góc với hai đường thẳng giao nhau của (P)

+ Hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau khi góc tạo

bởi hai mặt phẳng đó bằng 900

b Các định lý về tính vuông góc:

d' d

P

a

Q P

R

+ Định lý ba đường vuông góc: Giả sử d ⊂( )P và d không vuông góc (P), ∆ ⊂( )P , d’ là

hình chiếu của d lên (P) Khi đó ∆ ⊥d ⇔ ∆ ⊥d'

+ Giả sử (P) và (Q) là hai mặt phẳng vuông góc với nhau, ( )P ∩( )Q = ∆ Nếu a⊂( ),P a⊥ ∆

thì a⊥( )Q

+ Nếu ∆ ⊥( )P thì ∆ sẽ vuông góc với mọi đường thẳng chứa trong mp(P)

+ Giả sử (P) và (Q) cùng vuông góc với (R) trong đó ( )P ∩( )Q = ∆ thì ∆ ⊥( )R

b a d

P

Trang 2

Trang 2

+ Nếu a⊥( )Q và ( )P ⊃athì ( ) ( )P ⊥ Q

2 Các dạng toán thường gặp:

Loại 1: Chứng minh đường thẳng vuông góc với đường thẳng:

Đây là một trong những dạng toán hay gặp nhất trong chuyên mục các bài toán về “quan hệ

vuông góc”( và có tần suất khá cao trong các bài toán gặp phải phần hình học không gian

trong các đề thi tuyển sinh vào các trường Đại học, Cao đẳng các năm gần đây)

Để giải dạng toán này phương pháp chính được sử dụng là:

- Để chứng minh đường thẳng d vuông góc với đường thẳng ∆ ta thường chứng minh d vuông

góc với mặt phẳng (Q) chứa ∆

- Dĩ nhiên để làm được điều này ta phải biết được:

+ Nếu a⊥( )P thì a vuông góc với mọi đường trong (P)

+ Để a⊥( )P chỉ cần a vuông góc với hai đường thẳng giao nhau trong (P)

Ví dụ 1: (ĐH Khối B năm 2002)

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’.Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BB’, CD,

A’D’ Chứng minh: MP⊥C N'

Giải:

Gọi E là trung điểm CC’ Ta có: ME// A’D’,

( ' ')

MP⊂ MED A (1)

Hai tam giác vuông C’CN và D’C’E bằng nhau

0

Do ME // BC ⇒ME⊥(CDD C' ')⇒ME⊥C N' (3)

Từ (2) và (3) ⇒C N' ⊥(MED A' ')⇒C N' ⊥MP

Ví dụ 2: (ĐH Khối A năm 2007)

Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a Mặt bên SAD là tam giác đều

và ở trong mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SB, BC,

CD Chứng minh AM⊥BP

Giải :

Gọi H là trung điểm AD, do tam giác SAD đều nên SH ⊥AD

Vì (SAD)⊥(ABCD), suy ra SH ⊥(ABCD) suy ra SH⊥BP (1)

Dễ thấy hai tam giác vuông BPC và CHD bằng nhau, nên ta có

0

90

CBP=DCH⇒CBP+HCB= ⇒BP⊥CH (2)

Từ (1) và (2) suy ra: BP⊥(SHC) (3)

Do HC // AN, MN // SC ⇒(SHC) (/ / MAN) (4)

Từ (3) và (4) suy ra: BP⊥(MAN)⇒AM ⊥BP (đpcm)

Ví dụ 3: (ĐH khối B năm 2007)

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh đáy bằng a Gọi E là điểm đối xứng của điểm D

qua trung điểm của SA Gọi M, N lần lượt là trung điểm của

AE, BC Chứng minh MN⊥BD

Giải

Ta có SEAD là hình bình hành ⇒SE/ /DA và SE = DA

⇒ SEBC cũng là hình bình hành ⇒SC/ /EB

Gọi P là trung điểm của AB Khi đó trong các tam giác EAB

và ABC ta có MP // EB, PN // AC

H

M

N P

A

C

B

D S

N

P

N M E

H

D

C B

A S

Trang 3

Trang 3

Từ đó suy ra (MNP) // (SAC) (1)

Ta có DB⊥AC và BD⊥SH do( SH⊥(ABCD))⇒BD⊥(SAC) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: DB⊥(MNP)⇒BD⊥MN (đpcm)

Loại 2: Các bài toán về tính vuông góc của hai mặt phẳng:

Mặc dù các bài toán này trong các đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng những năm 2002- 2011 là ít hơn nhiều so với các bài toán có trong loại 1 nhưng nó vẫn là một bài toán

cơ bản và không được xem nhẹ

Phương pháp chính để giải các bài toán này là dựa vào định lý quan trọng sau đây:

Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến d.Khi đó một đường thẳng nằm trong một mặt phẳng mà vuông góc với d thì vuông góc với mặt phẳng còn lại

Ngoài ra người ta cũng dựa vào định nghĩa của hai mặt phẳng vuông góc để chứng minh tính vuông góc của hai mặt phẳng

Ví dụ 4: (ĐH Khối B năm 2006)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = a 2, SA = a và

SA⊥ ABCD Gọi M là trung điểm của AD Chứng minh (SAC)⊥(SMB)

Giải:

Giả sử I là giao điểm của AC và MB

Ta có MA = MD và AD // BC nên theo định lý Talet suy

ra 1

2

3 ,

a

2

Từ đó suy ra

2

+ = + =  =

Vậy AMI là tam giác vuông tại I ⇒MB⊥AC (1)

Mặt khác SA⊥(ABCD)⇒SA⊥MB (2)

Từ (1),(2) suy ra MB⊥(SAC)⇒(SMB)⊥(SAC)⇒ đpcm

Ví dụ 5: (ĐH khối A năm 2003)

Cho hình hộp chữ nhật ABCD,A’B’C’D’ đáy là hình vuông ABCD cạnh a, AA’ = b Gọi M

là trung điểm của CC’ Xác định tỷ số a

b để hai mặt phẳng (A’BD) và (MBD) vuông góc với nhau

Giải :

Ta có A’B = A’D ⇒A O' ⊥BD( O là tâm cua hình

vuông ABCD )

Lại có MB=MD⇒MO⊥BD

Từ đó A OM' là góc giữa hai mặt phẳng (A’BD) và

(MBD)

( 'A BD)⊥(MBD)⇔ A OM' =90

a 2

a

I

M

D

C B

A S

O

M

a b

D' C'

B'

A'

D C

B

A

Trang 4

Trang 4

2 2 2

2

= + −  = +

OM =MC +CO = + (3)

2

4

b

A M =A C +C M = a + (4)

Từ (1), (2), (3) và (4) suy ra

5

2 (do a , b >0)

Vậy với a 1

b = thì ( 'A BD)⊥(MBD)

Ví dụ 6: (ĐH Hải Phòng năm 2006)

Cho hình chóp tam giác S.ABC đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a

và SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC) Gọi I là trung điểm của BC

Chứng minh hai mặt phẳng (SAI) và (SBC) vuông góc với nhau

Giải:

Do AB = AC ⇒ AI ⊥ BC (1)

Vì AB = AC ⇒ SB = SC ⇒ SI ⊥ BC (2)

Từ (1) và (2) suy ra BC ⊥ (SAI) ⇒ (SBC) ⊥ (SAI) ⇒ dpcm

3 Các bài tập rèn luyện

Bài 1: (ĐH Khối D năm 2007)

Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, trong đó

0

90 ,

ABC=BAD= BA=BC=a AD, =2a Giả sử SA=a 2,SA⊥(ABCD) Chứng minh

SC⊥SD

Bài 2: (Cao đẳng khối A năm 2008)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang , với 0

BA = BC = a, AD = 2a Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SA, SD Chứng minh BCNM là

hình chữ nhật

Bài 3: (Cao đẳng khối A, B, D năm 2009)

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD , cạnh đáy bằng a.Cạnh bên bằng a 2 Gọi M, N , P lần

lượt là trung điểm của SA, SD, DC Chứng minh rằng MN⊥SP

Bài 4: Cho hình chóp S.ABC trong đó đáy ABC là tam giác vuông tại C, hai mặt bên (SAC) và

(SAB) cùng vuông góc với đáy Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của A trên SC và SB Chứng

minh (SAB) ⊥ (ADE)

Bài 5: Trong mặt phẳng (P) cho hình vuông ABCD cạnh a Đoạn SA cố định vuông góc với (P) tại

A, M và N là hai điểm tương ứng di động trên các cạnh BC và CD Đặt BM = u, DN = v

a(u + v) = a + u là điều kiện cần và đủ để (SAM) ⊥ (SMN)

Bài 6: Trong mặt phẳng (P) cho hình vuông ABCD cạnh a Hai nửa đường thăng Bx và Dy vuông

góc với (P) và ở về cùng một phía đối với (P), M và N là hai điểm di động tương ứng trên Bx,

Dy Đặt BM = u, DN = v

a/ Tìm mối liên hệ giữa u , v để (MAC) ⊥ (NAC)

I C

B A

S

Trang 5

Trang 5

b/ Giả sử ta có điều kiện ở câu 1, chứng minh (AMN) ⊥ (CMN)

Đáp số: a/ (MAC) ⊥ (NAC) ⇔2uv = a

VẤN ĐỀ 2: CÁC BÀI TOÁN TÌM KHOẢNG CÁCH

Hai bài toán quan trọng nhất của mục này, cũng là hai dạng toán thường xuyên có mặt trong

các kì thi tuyển sinh vào Đại học, Cao đẳng trong những năm gần đây:

1/ Tìm khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng ( hoặc đến một đường thẳng )

2/ Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau và bài toán về đường thẳng vuông

góc chung

1 Các dạng toán thường gặp

Loại 1: Tìm khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (hoặc đến một đường thẳng)

Trong mục này chúng ta trình bày phương pháp trực tiếp để tính khoảng cách này, mà

không dựa vào phương pháp sử dụng thể tích khối đa diện Phương pháp được tiến hành

theo lược đồ chung như sau:

- Xác định chân đường vuông góc trên mặt phẳng (hoặc trên đường thẳng) mà cần tính khoảng

cách từ một điểm cho trước đến nó Bước này quan trọng ở chỗ : Nhờ có việc xác định này

mà cho phép ta có đủ dữ liệu để chuyển sang bước tiếp theo

- Sử dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông (Bao hàm cả định lý Pitago), hoặc lượng

giác để tính các khoảng cách cần tìm

Các bài toán này có khá nhiều trưòng hợp dựa vào bài toán cơ bản sau đây

Ví dụ 1: Bài toán cơ bản

Cho tứ diện OABC trong đó OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau Kẻ OH ⊥ (ABC)

a/ Chứng minh H là trực tâm tam giác ABC

b/ Chứng minh hệ thức 1 2 12 12 12

Giải:

a/ Kẻ OH ⊥ (ABC), AH ∩ BC = M

OH ⊥ BC , BC ⊥ OA do OA OB OA (OBC)

OA OC



⊥



BC (AOH) BC AH

Lập luận tương tự BH ⊥AC

Vậy H là trực tâm của tam giác ABC

b/ Theo định lý ba đường vuông góc, suy ra MO ⊥ BC

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông AOM

ta có 1 2 12 1 2

OH =OA +OM (1) Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông OBC

ta có 1 2 12 12

OM =OB +OC (2)

Từ (1) và (2) suy ra 1 2 12 12 12

OH =OA +OB +OC ⇒ đpcm

H

M

C

B O

A

Trang 6

Trang 6

Nhận xét : Đây là một trong các kết quả cơ bản nhất, nhưng có một ứng dụng rất to lớn trong các

bài toán về “quan hệ vuông góc” của hình học không gian Các ví dụ 2 , 3 dưới đây sẽ minh hoạ cho

điều đó

Ví dụ 2: (ĐH khối D năm 2002)

Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC), ngoài ra AD = AC =

4cm; AB = 3cm; BC = 5cm Tìm khoảng cách từ A đến

(BCD)

Giải :

Vì AD = AC = 4cm; AB = 3cm; BC = 5cm ,

suy ra ABC là tam giác vuông tại A.Vậy AB, AC, AD đôi một

vuông góc với nhau

Theo ví dụ 1 ta có : 1 2 12 12 12 1 1 1

9 16 16

6 34

17

AH

Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông có BA = BC = a,

cạnh bên AA’ = a 2 Gọi M là trung điểm của BC Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng

AM và B’C

Giải:

Gọi E là trung điểm BB’

Ta có EM // B’C suy ra B’C / / (AEM)

Suy ra d(B’C,AM) = d(B’C,(AEM)) = d(C,(AEM)) =

d(B,(AEM)) (vì MB = MC)

Do tam giác ABC vuông tại B nên tứ diện BAEM có BA, BE,

BM đôi một vuông góc với nhau

Theo ví dụ 1 nếu gọi BH là chiều cao kẻ từ B của tứ diện ABCD

(H∈(AEM)) thì

2

7

a BH

BH = BA +BE +BM =a + + =a ⇒ =

7 ( , ' )

7

a

d AM B C

Loại 2: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau chính là độ dài đường vuông góc chung của hai đường thẳng đó Vì lẻ đó nếu xác định được đường vuông góc chung ấy thì việc tính

độ dài ấy coi như được giải quyết Tuy nhiên, việc xác định đường vuông góc chung của hai

đường thẳng chéo nhau không phải là một việc dễ làm hơn thế nữa trong rất nhiều bài toán

người ta chỉ đòi hỏi tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau mà không yêu cầu xác

định cụ thể đường vuông góc chung của chúng Vì vậy trong thực tế người ta thường chuyển

bài toán xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau về các bài toán dễ giải hơn

sau đây:

1/ Nếu như d1 // (P), trong đó d2 chứa trong (P) thì khoảng cách giữa d1 , d2 bằng khoảng

cách giữa d1 và (P)

C' B'

A'

M E

B

C A

H

5 3

4 4

D

C

B A

Trang 7

Trang 7

2/ Nếu như d1 chứa trong (P), d2 chứa trong (Q) mà (P) // (Q) thì khoảng cách giữa d1 và d2

bằng khoảng cách giữa (P) và (Q)

Lưu ý rằng nếu d1 // (P) thì khoảng cách giữa d1 và (P) bằng khoảng cách từ một điểm bất

kỳ của d1 đến (P) Tương tự khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (P) và (Q) bằng

khoảng cách từ một điểm bất kỳ của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia

Nhu vậy cuối cùng ta lại quy bài toán tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

về bài toán khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Đó chính là ví dụ 3 , loại 1 vừa xét ở trên

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh đáy bằng a Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung

điểm của SA Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AE và BC Tìm khoảng cách giữa hai

đường thẳng MN, AC theo a

Giải :

Gọi P là trung điểm của AB Khi đó MP // AB (1)

Ta có SE // DA và SE = DA ⇒ SE // BC

Có SE = BC ⇒ SEBC là hình bình hành ⇒ EB // SC (2)

Vậy từ (1) , (2) ⇒ MP // SC

Lại có PN // AC nên (MNP) // (SAC)

⇒ d(MN, AC) = d((MNP),(SAC)) = d(H,(SAC)) = OH =

a

(với H, O lần lượt là giao điểm của BD với NP và AC)

Ví dụ 6: (Đề thi tuyển sinh ĐH khối A – 2006)

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng 1 Gọi M , N lần lượt là trung điểm của

AB và CD Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng A’C và MN

Giải :

Ta có : BC // MN

⇒ MN // (A’BC) ⇒ d(MN,A’C) = d(MN,(A’BC)) = d(M,(A’BC)) (1)

Ta có : AI ⊥ A'B ( AB' ∩ A'B = I)

Lại có BC ⊥ (BAA'B') ⇒ BC ⊥ AI

Từ đó AI ⊥ (A'BC) Vì thế nếu kẻ MH // AI (H ∈ A'B)

thì MH ⊥(A'BC) và d(M,(A'BC)) = MH = 1AI = 2

a

(2)

Từ (1) , (2) suy ra d(MN,A'C) = 2

4

Chú ý : Các em (học sinh lớp 12) có thể giải ví dụ này bằng

phương pháp thể tích

Loại 3: Bài toán xác định đường vuông góc chung

Như đã nói ở mục trước, bài toán đòi hỏi tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau nói chung không cần xác định đường vuông góc chung

H P

N M E

O

B

C D

A S

I H

N M

D'

C' B'

A'

D

C B

A

Trang 8

Trang 8

Tuy nhiên trong một số bài toán lại đòi hỏi xác định đường vuông góc chung của hai

đường thẳng chéo nhau, đó là một yêu cầu cao hơn Mục này dành để trình bày cách tìm

đường vuông góc chung

Nguyên tắc chung để giải bài toán này như sau: Xác định điểm M ∈a N, ∈b sao cho

,

MN ⊥a MN ⊥b , khi đó MN là đường vuông góc chung của cả a và b Vấn đề ở chỗ là làm

thế nào để xác định được hai điểm M, N?

Phương pháp tổng quát tiến hành như sau:

- Dựng mp(P) chứa a và song song với b Lấy một điểm B trên b, kẻ BB’ ⊥ (P), B’∈ (P)

- Trong (P) qua B’ dựng b’ // b

- Gọi M = a∩b' Từ M kẻ MN // BB’ (N ∈ b)

- Khi đó MN là đường vuông góc chung của hai đường

thẳng chéo nhau a và b

Tuy nhiên nếu a và b có cấu trúc dặc biệt (thí dụ a và b

vuông góc với nhau …) thì ta lại có cách xử lý tương ứng

và đơn giản hơn

Ví dụ 7: Trình bày cách dựng đường vuông góc chung với hai

đường thẳng chéo nhau và vuông góc với nhau

Giải :

Giả sử 2 đường thẳng a, b chéo nhau và vuông góc nhau

Dựng (P) qua b vuông góc với a

Giả sử a ∩ (P) = M

Trong (P) dựng MN vuông góc với b Khi đó MN là đường

vuông góc chung của a và b

Xem một ứng dụng của ví dụ 7 sau đây:

Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 cạnh a Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng A1B

và B1D

Giải :

Ta có AB1 ⊥ A1B (vì BAA1B1 là hình vuông)

A1B ⊥ AD (vì AD ⊥ (BAA1B1))

⇒ A1B ⊥ (B1AD) ⇒ A1B ⊥ B1D (1)

Ví DD1 ⊥ (A1B1C1D1) ⇒ DD1 ⊥ A1C1

Do A1B1C1D1 là hình vuông nên A1C1 ⊥ B1D1

Từ đó A1C1 ⊥ (B1DD1) ⇒ A1C1 ⊥ B1D (2)

Từ (1) và (2) suy ra : B1D ⊥(A1BC1) (3)

Bây giờ ta tìm giao điểm của B1D với (A1BC1) Gọi H là

giao điểm của AB1 và A1B Trong mặt chéo (B1A1DA) rõ

ràng : HC1 ∩B1D = G

Do B1H = HA = 1

2C1D ⇒ GH = 1

2GC1 ⇒ G là trọng tâm của tam giác A1BC1

Vì A1BC1 là tam giác đều nên GH ⊥ A1B , còn GH ⊥ B1D vì B1D ⊥ (A1B1C1) Như thế

GH là đường vuông góc chung của A1B và B1D nên nó chính là khoảng cách giữa A1B và

B1D

B'

B N

M

b' b

a P

M

N b a

P

G

a

H

D 1

C 1

B 1

A 1

D

C B

A

Trang 9

Trang 9

Nhận xét :

Trong ví dụ này vì A1B ⊥ B1D nên cách làm trong ví dụ trên chính là sự thực hành các bước

đã nêu trong ví dụ 7

Ví dụ 9: Cho hình tứ diện đều ABCD cạnh a = 6 2cm Hãy xác định và tính độ dài đoạn vuông

góc chung của hai đường thẳng AB và CD

Giải:

Gọi M và N tương ứng là các trung điểm của AB và CD Do

ABCD là tứ diện đều , nên ta có CM ⊥ AB và DM ⊥ AB

⇒ AB ⊥ (MCD) ⇒ AN ⊥ MN

Lý luận tương tự ta có : CD ⊥ (ANB) ⇒ CD ⊥ MN

Vậy MN là đường vuông góc chung của AB và CD

Ta có : MC = MD = 6 2 3 3 6

2 Các bài tập rèn luyện

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có SA = 3a, SA ⊥ (ABCD) Giả sử AB = AC = 2a, 0

120

Tìm khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC)

Hướng dẫn - Đáp số: d(A,(SBC)) = 3

2

a

Bài 2: (ĐH khối A năm 2004)

Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh bằng 5, đường chéo AC = 4, SO

= 2 2 và SO ⊥ (ABCD), với O là giao điểm của AC và BD Gọi M là trung điểm cạnh SC

Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BM

Hướng dẫn - Đáp số: d(SA,BM) = d(C,(MOB)) = 2 6

3

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABC là tam giác vuông tại B , AB = a, BC = 2a, cạnh SA

vuông góc với đáy và SA = 2a Xác định và tính độ dài đường vuông góc chung của hai

đường thẳng AB và SC

Hướng dẫn - Đáp số: Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SC và AB

Khi đó MN là đường vuông góc chung của AB và SC, MN =a 2

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = h và SA vuông góc với

mặt phẳng (ABCD) Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng SC và

AB

Hướng dẫn - Đáp số: Trong mặt phẳng (SAD) , vẽ AK ⊥SD K( ∈SD)

Trong mặt phẳng (SCD) , kẻ KE/ /CD E( ∈SC)

Trong mặt phẳng xác định bởi EK , AB ( chú ý EK // AB ) kẻ EF // AK (K∈AB)

Khi đó EF là đường vuông góc chung của SC và AB và tính được

ah EF

= +

Bài 5: Cho đường tròn đường kính AB = 2R trong mặt phẳng (P) C là một điểm chạy trên đường

tròn Trên đường thẳng đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (P) lấy điểm S sao cho SA = a

N

M

D

C B

A

Trang 10

Trang 10

< 2R Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AC và SB Xác định vị trí của C trên đường tròn sao

cho EF là đường vuông góc chung của AC và SB

Hướng dẫn - Đáp số: C là giao điểm của hai đường tròn : Đường tròn đường kính AB = 2R

đã cho và đường tròn tâm B đường kính 2a.Vì a < 2R nên tồn tại hai giao điểm C như vậy

Định dạng
Số trang	10
Dung lượng	158,5 KB