Rút gọn biểu thức A.. Trên đường chéo BD lấy điểm I sao cho BI = BA.. Đường thẳng qua I vuông góc với BD cắt AD tại E và AI cắt BE tại H.. Chứng minh rằng AE = ID.. Chứng minh rằng: DF..
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHUYÊN LAM SƠN vòng 1
THANH HÓA (2010-2011)
(Thời gian 120’ không kể giao đề)
Câu 1: (2.0 điểm)
Cho biểu thức:
−
1 Rút gọn biểu thức A
2 Tìm x sao cho A < 2
Câu 2: (2.0 điểm)
Cho x1; x2 là 2 nghiệm của pt: x2 - 7x + 3 = 0
1 Lập phương trình có hai nghiệm là 2x1 - x2 và
2 Tính giá trị của B = |2x1 - x2 | + |2x2 - x1|
Câu 3 : (1.5 điểm)
Giải hệ phương trình :
1
x 2y x 2y
1
x 2y x 2y
Câu 4 : (3.5 điểm)
Cho hình vuông ABCD Trên đường chéo BD lấy điểm I sao cho BI = BA Đường thẳng qua I vuông góc với BD cắt AD tại E và AI cắt BE tại H
1 Chứng minh rằng AE = ID
2 Đường tròn tâm E bán kính EA cắt AD tại điểm thứ hai F (F ≠ A)
Chứng minh rằng: DF DA = EH EB
Câu 5: (1.0 điểm)
Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là: BC = a, CA = b, AB = c và chu vi tam giác là 2P Chứng minh rằng: P P P 9
P a + P b + P c ≥
…Hết…
Trang 2HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1: (2.0 điểm)
Cho biểu thức:
−
1 Rút gọn biểu thức A.ĐK: x ≠ 4, x ≠ 0, x ≥ 0 ⇒ x > 0, x ≠ 4
−
2 Tìm x sao cho A < 2
x
4 2
<
4
< < hoặc x > 4
Câu 2: (2.0 điểm)
Cho x1; x2 là 2 nghiệm của pt: x2 - 7x + 3 = 0
1 Lập phương trình có hai nghiệm là 2x1 - x2 và 2x2 - x1
Ap dụng định lí Viet đảo pt nhân hai nghiệm 2x1 - x2 và 2x2 - x1 là:
X2 - SX + P = 0 Với S = 2x1 - x2 + 2x2 - x1 = x1 + x2 = 7
P = (2x1 - x2)(2x2 - x1) = 5x1x2- 2[(x1+x2)2 -2x1x2]
= 9x1x2 - 2(x1+x2)2 = 9.3 - 2 49 = -71
⇒ pt: X2 - 7X -71 = 0
2 Tính giá trị của B = |2x1 - x2 | + |2x2 - x1|
B = |2x1 - x2 | + |2x2 - x1| = |X1| + |X2| ≥ 0
B2 = X12 + X22 + 2| X1 X2| = (X1 + X2)2 - 2 X1 X2 + 2| X1 X2|
Thay số: B2 = 72 - 2(-71) + 2|-71| = 333 mà B ≥ 0
B = 333 3 37 =
Câu 3 : (1.5 điểm)
Giải hệ phương trình :
1
x 2y x 2y
1
x 2y x 2y
ĐK : x ≠ ± 2y
x 2y = x 2y =
u ; v
x 3
x 2y 8
x 2y 2
5
2
=
−
(t/m đk)
Trang 3Câu 4 : (3.5 điểm)
Cho hình vuông ABCD Trên đường chéo BD lấy điểm I sao cho BI = BA Đường thẳng qua I vuông góc với BD cắt AD tại E và AI cắt BE tại H
1 Chứng minh rằng AE = ID
2 Đường tròn tâm E bán kính EA cắt AD tại điểm thứ hai F (F ≠ A)
Chứng minh rằng: DF DA = EH EB
F
H E
I
góc vuông) ⇒ AE = IB (đ/n) ∆EID vuông cân ⇒ IE = IE ⇒ AE = IE (đpcm)
b, DI2 = DF.DA
EI2 = EH.EB ⇒ DF.DA = EH.EB (đpcm)
Câu 5*: (1.0 điểm)
Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là: BC = a, CA = b, AB = c và chu vi tam giác là 2P Chứng minh rằng: P P P 9
P a + P b + P c ≥
* Cm bđt: 1x + ≥1y x y4+ với x > 0, y > 0
Ta có (x - y)2 ≥ 0 ∀x,y ⇔ x2 + y2 -2xy ≥ 0 ⇔ (x + y)2 ≥ 4xy
+
* Áp dụng :
2P
a b c
÷
(Áp dụng Bunhacopski)
Dấu bằng xảy ra ⇔ a2 = b2 = c2⇔ a = b = c