Bài giảng thông tin số

- Năm 1940 -> nay: Nền tảng bắt đầu hệ thống thông tin số hiện đại khi Nyquist xác định tốc độ tín hiệu tối đa khi truyền qua kênh truyền.. - Năm 1940 -> nay: Nền tảng bắt đầu hệ thống t

Bài 1 TỔNG QUAN HỆ THỐNG THÔNG TIN SỐ

Nội dung:

1 Quá trình phát triển

2 Hệ thống thông tin số

3 Tín hiệu và phân tích tín hiệu

4 Tín hiệu ngẫu nhiên

Nội dung:

1 Quá trình phát triển

2 Hệ thống thông tin số

3 Tín hiệu và phân tích tín hiệu

4 Tín hiệu ngẫu nhiên

Sơ lược quá trình phát triển các hệ thống thông tin số:

- Năm 1837: Samuel Morse (1791-1872, American): phát triển hệ thống điện báo

Hệ thống này sử dụng các chấm (dot) và gạch (dash) để biểu diển các ký tự Đây được xem là hệ thống liên lạc số ra đời sớm nhất.

- Năm 1875: Emile Baudot (1845 -1903, French): đưa ra hệ thống mã mới, mã

Baudot, sử dụng các từ mã có chiều dài bằng 5 để mã hóa các ký tự.

- Năm 1940 -> nay: Nền tảng bắt đầu hệ thống thông tin số hiện đại khi Nyquist

xác định tốc độ tín hiệu tối đa khi truyền qua kênh truyền Sau đó, Nyquist & Hartley đưa ra kết luận: tồn tại tốc độ dữ liệu tối đa để truyền thông qua kênh có

độ tin cậy xác định Shannon đưa ra những giới hạn cơ bản của hệ thống và

Sơ lược quá trình phát triển các hệ thống thông tin số:

- Năm 1837: Samuel Morse (1791-1872, American): phát triển hệ thống điện báo

Hệ thống này sử dụng các chấm (dot) và gạch (dash) để biểu diển các ký tự Đây được xem là hệ thống liên lạc số ra đời sớm nhất.

- Năm 1875: Emile Baudot (1845 -1903, French): đưa ra hệ thống mã mới, mã

Baudot, sử dụng các từ mã có chiều dài bằng 5 để mã hóa các ký tự.

- Năm 1940 -> nay: Nền tảng bắt đầu hệ thống thông tin số hiện đại khi Nyquist

xác định tốc độ tín hiệu tối đa khi truyền qua kênh truyền Sau đó, Nyquist & Hartley đưa ra kết luận: tồn tại tốc độ dữ liệu tối đa để truyền thông qua kênh có

độ tin cậy xác định Shannon đưa ra những giới hạn cơ bản của hệ thống và

2 HỆ THỐNG THÔNG TIN SỐ

Sơ đồ khối chức năng của một hệ thống thông tin tổng quát:

Sơ đồ khối tổng quát của một hệ thống thông tin số:

2 HỆ THỐNG THÔNG TIN SỐ

3 TÍN HiỆU VÀ PHÂN TÍCH TÍN HiỆU

Định nghĩa tín hiệu:

Tín hiệu là một biểu diễn vật lý của thông tin, biến thiên

theo thời gian, không gian hay các biến độc lập khác.

3 TÍN HiỆU VÀ PHÂN TÍCH TÍN HiỆU

Phân loại tín hiệu:

- Tín hiệu đa kênh: được tạo từ nhiều nguồn tin khác nhau

- Tín hiệu một chiều: tín hiệu là hàm theo một biến đơn

- Tín hiệu M chiều: tín hiệu là hàm theo M biến

- Tín hiệu thực hay phức

Phân loại tín hiệu:

- Tín hiệu đa kênh: được tạo từ nhiều nguồn tin khác nhau

- Tín hiệu một chiều: tín hiệu là hàm theo một biến đơn

- Tín hiệu M chiều: tín hiệu là hàm theo M biến

- Tín hiệu thực hay phức

3 TÍN HiỆU VÀ PHÂN TÍCH TÍN HiỆU

Tín hiệu xác định

- Biết rõ sự biến thiên của tín

hiệu theo thời gian

- Biết rõ giá trị của tín hiệu tại

tất cả các thời điểm

- Mô hình toán học: biểu diễn

bằng hàm theo biến t hoặc đồ

thị

Tín hiệu ngẫu nhiên

- Không biết chắc chắn về sự biến thiên của tín hiệu

- Không biết chắc giá trị của tín hiệu trước khi nó xuất hiện

- Mô hình toán học: biểu diễn bằng xác suất hoặc các trị trung bình thống kê

Tín hiệu xác định

- Biết rõ sự biến thiên của tín

hiệu theo thời gian

- Biết rõ giá trị của tín hiệu tại

tất cả các thời điểm

- Mô hình toán học: biểu diễn

bằng hàm theo biến t hoặc đồ

thị

Tín hiệu ngẫu nhiên

- Không biết chắc chắn về sự biến thiên của tín hiệu

- Không biết chắc giá trị của tín hiệu trước khi nó xuất hiện

- Mô hình toán học: biểu diễn bằng xác suất hoặc các trị trung bình thống kê

3 TÍN HiỆU VÀ PHÂN TÍCH TÍN HiỆU

• Tín hiệu tuần hoàn:

- Lặp lại theo một chu kỳ nào đó

• Tín hiệu không tuần hoàn:

- Không có sự lặp lại

0

s(t) = s(t + T ) for - < t <  

• Tín hiệu tuần hoàn:

- Lặp lại theo một chu kỳ nào đó

• Tín hiệu không tuần hoàn:

- Không có sự lặp lại

3 TÍN HiỆU VÀ PHÂN TÍCH TÍN HiỆU

Tín hiệu vật lý và tín hiệu toán học:

3 TÍN HiỆU VÀ PHÂN TÍCH TÍN HiỆU

Tín hiệu liên tục, rời rạc, lượng tử và số

3 TÍN HiỆU VÀ PHÂN TÍCH TÍN HiỆU

Các đại lượng đặc trưng:

- Độ dài

- Trị trung bình của một tín hiệu:

- Trị trung bình của tín hiệu tuần hoàn:

- Trị trung bình của một tín hiệu vật lý:

- Thành phần DC

Các đại lượng đặc trưng:

- Độ dài

- Trị trung bình của một tín hiệu:

- Trị trung bình của tín hiệu tuần hoàn:

- Trị trung bình của một tín hiệu vật lý:

- Thành phần DC

3 TÍN HiỆU VÀ PHÂN TÍCH TÍN HiỆU

Tín hiệu năng lượng: năng lượng dương hữu hạn, công suất TB=0

Tín hiệu công suất: năng lượng vô hạn và công suất dương hữu hạn

Trị hiệu dụng RMS (root mean square):

2/

2

x lim 1 | s ( t ) | dt , 0 P

T P

T

T T

Tín hiệu năng lượng: năng lượng dương hữu hạn, công suất TB=0

Tín hiệu công suất: năng lượng vô hạn và công suất dương hữu hạn

Trị hiệu dụng RMS (root mean square):

2/

2

x lim 1 | s ( t ) | dt , 0 P

T P

T

T T

x

3 TÍN HiỆU VÀ PHÂN TÍCH TÍN HiỆU

Phổ của tín hiệu tuần hoàn – Chuỗi Fourier:

n

A j n T

T

T t n j n

T t n j n

n

e A dt

e t

s T

A

e A t

2 /

/ 2

0

/ 2

T

T t n j n

T t n j n

n

e A dt

e t

s T

A

e A t

2 /

/ 2

0

/ 2

) ( )

( )

3 TÍN HiỆU VÀ PHÂN TÍCH TÍN HiỆU

Mật độ phổ:

Mật độ phổ năng lượng ESD (Energy Spectral Density):

) /

( ) ( )

df f G df

f G dt

t x

) ( )

(

Mật độ phổ công suất PSD (Power Spectral Density):

df f G df

f G dt

t x

) ( )

(

Mật độ phổ công suất PSD (Power Spectral Density):

 

0 0

0 2

2 /

2 /

/ 1 )

( )

( )

(

) /

( )

( ) (

1 lim )

( )

(

f T

period with

signal periodic

a is t s if nf

f A

f

S

Hz W

dt t

s t

s T

FT R

3 TÍN HiỆU VÀ PHÂN TÍCH TÍN HiỆU

Băng thông của tín hiệu:

3 TÍN HiỆU VÀ PHÂN TÍCH TÍN HiỆU

Tự tương quan (Autocorrelation):

( R

3

) 0 ( R )

( R

2

) (

R )

( R

1

F

3 TÍN HiỆU VÀ PHÂN TÍCH TÍN HiỆU

Tự tương quan (Autocorrelation):

2/T

T x ( t ) x ( t ) dt

T

1 lim )

( R

Tín hiệu thực tuần hoàn:

Tín hiệu công suất:

Tín hiệu thực tuần hoàn:

0

0

dt ) t

( x ) t (

x T

1 )

( R

4 TÍN HiỆU NGẪU NHIÊN (RANDOM SIGNAL)

t ( ),

t

(

1 i

1 2 1



) t

Hàm mật độ xác suất PDF (probability density func.) cấp 1:

) t , x (

F )

t , x (



4 TÍN HiỆU NGẪU NHIÊN (RANDOM SIGNAL)

t (

m

11

t (

m

1

22

t (

m

1

22

 x m ( t )  f ( x , t ) dx m ( t ) m ( t ) )

t

1 2

1

2 1

2 2 1

1 2

2 1 2

4 TÍN HiỆU NGẪU NHIÊN (RANDOM SIGNAL)

Nhiễu trong hệ thống thông tin :

• Nhiễu: tín hiệu không mong muốn có mặt trong hệ thống

• Nguyên nhân sinh ra nhiễu: nhân tạo và tự nhiên

• Nhiễu nhiệt: do chuyển động hỗn loạn của các e- trong các vật

dẫn

• Mô tả nhiễu nhiệt:

• Nhiễu: tín hiệu không mong muốn có mặt trong hệ thống

• Nguyên nhân sinh ra nhiễu: nhân tạo và tự nhiên

• Nhiễu nhiệt: do chuyển động hỗn loạn của các e- trong các vật

1 exp

2

1 )

x

(

f

4 TÍN HiỆU NGẪU NHIÊN (RANDOM SIGNAL)

Nhiễu trắng & AWGN:

(khoảng từ DC đến 1012 Hz)

2

N )

f (

) (

Rn 

ảnh hưởng đến mỗi ký tự truyền một cách độc lập nhau, nhiễu ảnh hưởng đến tín hiệu bằng cách cộng vào tín hiệu

2 /

0

N

 Tín hiệu điều chế biên độ xung PAM (Pulse Amplitude Modulation) có

dạng đỉnh phẳng (flat top)

KHỐI LẤY MẪU (SAMPLER)

2 KỸ THUẬT ĐiỀU CHẾ XUNG MÃ PCM

Minh họa hoạt động lượng tử hóa

Khả năng hạn chế nhiễu của tín hiệu lượng tử hóa

Gọi là sai khác giữa tín hiệu gốc và tín hiệu lượng tử:

Giả sử phân bố đều, hàm PDF là:

Công suất trung bình của nhiễu lượng tử hóa là:

Khả năng hạn chế nhiễu của tín hiệu lượng tử hóa

Gọi là sai khác giữa tín hiệu gốc và tín hiệu lượng tử:

Giả sử phân bố đều, hàm PDF là:

Công suất trung bình của nhiễu lượng tử hóa là:

- Hoạt động lấy mẫu và lượng tử hóa tạo ra tín hiệu PAM lượng tử hóa là dãy xung rời rạc cách nhau T s và có biên độ rời rạcvới M mức biên độ.

- Mỗi mẫu PAM lượng tử hóa được mã hóa thành một từ mã PCM.

- Gọi n là số bits cần thiết để mã hóa mỗi từ mã PCM, được chọc sao cho:

3 ĐẶC ĐiỂM TÍN HiỆU PCM

Băng thông của tín hiệu PCM

Ảnh hưởng nhiễu lên tín hiệu PCM :

Hai loại nhiễu chính ảnh hưởng lên tín hiệu PCM:

- Nhiễu lượng tử hóa gây bởi bộ lượng tử hóa M mức

- Lỗi bit P e gây bởi nhiễi kênh truyền AWGN

3 ĐẶC ĐiỂM TÍN HiỆU PCM

2 2

3 ( / )

Tỉ số công suất đỉnh & trung bình của tín hiệu khôi

phục trên công suất trung bình của nhiễu:

4 LƯỢNG TỬ HÓA VÀ MÃ HÓA KHÔNG ĐỀU

* Khuếch đại nén phi tuyến gọi là bộ nén (compressor) tại đầu phát

* Quá trình giải nén hay giãn (expandor) tại máy thu

* Điện áp truyền dẫn và thành phần một chiều

Các loại mã đường truyền

5 MÃ HÓA ĐƯỜNG TRUYỀN (LINE CODE)

Đơn cực

(Unipolar)

Cực (Polar)

Lưỡng cực (Bipolar)

Các loại mã đường dây

Đơn cực

(Unipolar)

Cực (Polar)

Lưỡng cực (Bipolar)

5 MÃ HÓA ĐƯỜNG TRUYỀN (LINE CODE)

* Chu kỳ tác động và các dạng mã đường dây

NRZ: Non Return to Zore

RZ: Return to Zero HDB3: High Density Bipolar 3

CMI RZ

(AMI)

HDB3 Manchester

RZ

NRZ RZ

* Chu kỳ tác động và các dạng mã đường dây

Các loại mã đường dây

Đơn cực

(Unipolar)

Cực (Polar)

Lưỡng cực (Bipolar)

5 MÃ HÓA ĐƯỜNG TRUYỀN (LINE CODE)

Đơn cực

(Unipolar)

Cực (Polar)

Lưỡng cực (Bipolar)

CMI

Manchester RZ

NRZ RZ

* Mã AMI (Alternative Mark Inversion) – Bipolar RZ

5 MÃ HÓA ĐƯỜNG TRUYỀN (LINE CODE)

* Mã AMI (Alternative Mark Inversion) – Bipolar RZ

5 MÃ HÓA ĐƯỜNG TRUYỀN (LINE CODE)

* Mã Manchester

5 MÃ HÓA ĐƯỜNG TRUYỀN (LINE CODE)

* Mã HDB-3 (High Density Binary)

5 MÃ HÓA ĐƯỜNG TRUYỀN (LINE CODE)

5 MÃ HÓA ĐƯỜNG TRUYỀN (LINE CODE)

* Mã CMI (Coded Mark Inversion)

5 MÃ HÓA ĐƯỜNG TRUYỀN (LINE CODE)

* Băng thông:

Bài 3 THÔNG TIN SỐ TRÊN BĂNG CƠ SỞ

Hệ thống truyền thông nhị phân baseband:

1 Can nhiễu liên ký hiệu ISI (InterSymbol Interference )

s(t)

chế xung Bộ lọc phát

Bộ quyết Định

Kênh truyền Bộ lọc thu

Xung đồng hồ

AWGN w(t)

Dữ liệu nhị phân ngõ ra

y(ti)

Lấy mẫu tại ti = iTb

y(t)

* Nhiệm vụ bộ lọc phát và lọc thu: Giảm thiểu hiệu ứng

nhiễu AWGN & ISI.

Lấy mẫu tại ti = iTb

i b

k i

k

b k

t

y ( )  [( ) ]   [( ) ] ( )

* Kênh Nyquist lý tưởng (2):

Đáp ứng tần số và dạng xung cơ sở lý tưởng:

2 Lọc tạo dạng xung (pulse shaping): tiêu chuẩn Nyquist

) 2 (

sin 2

) 2





) 2

( 2

f

W f W W

• Kênh Nyquist thực tế (1): bộ lọc cosine nâng – cuốn ra

Dạng tín hiệu thực tế -> dạng hàm phổ cosine tăng:

f W

f W f

f f

W

W f

W

f

f W

0

2

|

| 2

2

)

| (|

sin 1 4 1

|

|

0 2

f W

f W f

f f

W

W f

W

f

f W

0

2

|

| 2

2

)

| (|

sin 1 4 1

|

|

0 2

1

1



1 0

1  1  



W f

• Bộ cân bằng ép về không (2)(zero Forcing)

b k

b

k t kT W

t

k n p W nT

p

N

N k

b k

b o

, , 2 1,

= n 0

0

1 )

 0

12 1

21 0

0 1 0

1 3

0 1

.

0

2 0 1

3

.

0

05 0 2

0 1

1

11

W

I P W

W W W

o

4 BỘ LỌC PHỐI HỢP (MATCHED FILTER)

T là chu kỳ xung

Kênh truyền

Nhiễu AWGN có trung bình 0

T t

t n t

g

t h t

w t

h t

g t

( )

(

) (

* ) ( )

(

* ) ( )

(

0 )

( )

( x(t)  g t  n t

4 BỘ LỌC PHỐI HỢP (MATCHED FILTER)

 

 

22

( ) signal power at

average noise power

H N

df e

f G f

H

o

fT j

2

2 2

)

( 2

) ( )

H N

df e

f G f

H

o

fT j

2

2 2

)

( 2

) ( )

4 BỘ LỌC PHỐI HỢP (MATCHED FILTER)

Để h đạt cực đại, đáp ứng bộ lọc tối ưu là:

) ( )

( f k G * f e 2 k

H opt   j  f T 

4 BỘ LỌC PHỐI HỢP (MATCHED FILTER)

Bộ lọc phối hợp trong miền thời gian:

Lấy biến đổi Fourier ngược H(f), ta có đáp ứng xung lọc phối hợp h(t):

0 ),

kg t

0 ),

kg t

h opt

5 TỈ LỆ LỖI

Xét mã dạng cực NRZ, sau kênh truyền ảnh hưởng

bởi nhiễu AWGN:

bit t

w A

bit t

w

A t

(

1 )

(

Data=x(t)

decision y

y> >1

y< >0



y< >0



y là giá trị mẫu đo được so với trị ngưỡng của bộ quyết định:

Nếu vượt ngưỡng -> bit 1 được phát Nếu dưới ngưỡng -> bit 0 được phát Nếu bằng ngưỡng -> quyết định ngẫu nhiên Như vậy có 2 loại lỗi được xem xét:

Lỗi loại 1: quyết định 1 khi 0 được gửi

Lỗi loại 2: quyết định 0 khi 1 được gửi

y là giá trị mẫu đo được so với trị ngưỡng của bộ quyết định:

Nếu vượt ngưỡng -> bit 1 được phát Nếu dưới ngưỡng -> bit 0 được phát Nếu bằng ngưỡng -> quyết định ngẫu nhiên Như vậy có 2 loại lỗi được xem xét:

Lỗi loại 1: quyết định 1 khi 0 được gửi

Lỗi loại 2: quyết định 0 khi 1 được gửi

5 TỈ LỆ LỖI

Hàm PDF của Y tại ngõ ra MF với ký hiệu 0 được phát:

Xác suất lỗi khi gửi ký hiệu 0 (lỗi loại 1) :

dy

A

y dy

y f

gui y

5 TỈ LỆ LỖI

Hàm bù lỗi:

Xác suất lỗi viết lại theo hàm bù lỗi:

Tương tự hàm PDF của Y với ký hiệu 1 được gửi:

Đặt ngưỡng = 0, , -> p e1 = p e0 : kênh đối

Hàm bù lỗi:

Xác suất lỗi viết lại theo hàm bù lỗi:

Tương tự hàm PDF của Y với ký hiệu 1 được gửi:

Đặt ngưỡng = 0, , -> p e1 = p e0 : kênh đối

xứng nhị phân

)

( 2

) /

)

( exp(

/

1 )

1 / (

A y

T N

A

y z

/

) (

5 TỈ LỆ LỖI

Xác suất lỗi trung bình hay tỉ lệ

lỗi bit BER (Bit Error ratio) bộ thu:

BER = P e = p(0)xP e0 + p(1)xP e1

Kênh truyền nhị phân đối xứng:

Xác suất lỗi trung bình hay tỉ lệ

lỗi bit BER (Bit Error ratio) bộ thu:

BER = P e = p(0)xP e0 + p(1)xP e1

Kênh truyền nhị phân đối xứng:

1 2

b e

6 GiẢN ĐỒ MẪU MẮT (Eye patterns)

M=2

t - Tsym

Thời điểmlấy mẫu tốt nhất

Độ rộng của mắt mở

Độ dốc=độ nhạyvới lỗi định thời

Méo tạiđiểm cắt 0

Chiều caomắt mở

t + Tsymt

6 GiẢN ĐỒ MẪU MẮT (Eye patterns)

Dạng sóng tín hiệu cực NRZ và mẫu mắt tương ứng

Lọc lý tưởng

Lọc với ISI

ISI với AWGN

Bài 4 KHÔNG GIAN TÍN HiỆU – BỘ THU TỐI ƯU

Nội dung:

1 Giới thiệu

2 Biểu diễn hình học của tín hiệu

3 Bộ thu cực đại khả năng

Nội dung:

1 Giới thiệu

2 Biểu diễn hình học của tín hiệu

3 Bộ thu cực đại khả năng

1 GiỚI THIỆU

Sơ đồ khối truyền thông số

S i (t)

ký hiệu truyền Bộ điều chế Kênh truyền Bộ giải Bộ giải mã

điều chế

Sóng mang

AWGN n(t)

Ước lượng thông tin

m ˆ

S i (t)

ký hiệu truyền Bộ điều chế Kênh truyền Bộ giải Bộ giải mã

điều chế

Tổng hợp và phân tách tín hiệu qua các hàm cơ sở:

Giả sử một tập tín hiệu có M tín hiệu, si(t) , i = 1,2,… M Mỗi tín hiệu được biểu diễn như một tổ hợp tuyến tính của N hàm trực giao cơ sở:

Với điều kiện trực giao và chuẩn hóa (trực chuẩn) :

2 Biểu diễn hình học của tín hiệu

  t s   t i 1, , M 0 t T s

N

1 j

j ij





Tổng hợp và phân tách tín hiệu qua các hàm cơ sở:

Giả sử một tập tín hiệu có M tín hiệu, si(t) , i = 1,2,… M Mỗi tín hiệu được biểu diễn như một tổ hợp tuyến tính của N hàm trực giao cơ sở:

Với điều kiện trực giao và chuẩn hóa (trực chuẩn) :

  t s   t i 1, , M 0 t T s

N

1 j

j ij

Sơ đồ điều chế bên phát và giải điều chế bên thu:

2 Biểu diễn hình học của tín hiệu

s

1

) ( )

2

1 i iN i

Cơ sở thiết kế bộ thu phát chính là xác định các hàm cơ sở

Quy trình trực giao hóa Gram - Schmidt :

Cho tập tín hiệu: tìm các hàm cơ sở trực chuẩn:



(t) s

(t) s

) ( ,

) ( / ) ( /

) ( )

(

1111

111

11

11

11

Quy trình trực giao hóa Gram - Schmidt :

Cho tập tín hiệu: tìm các hàm cơ sở trực chuẩn:

1 Xác định hàm cơ sở thứ nhất (từ tín hiệu thứ nhất):

2 Tính tích nội:

Hàm cơ sở thứ hai :

(t) s

(t) s

) ( ,

) ( / ) ( /

) ( )

(

1111

111

11

11

11

( )

( (t)dt

(t) s

T

0

12

1212

2212

T

0

222

22

2

s E

(t)]/

s (t) s

[

s E

dt (t) d

(t) d

, (t) d

(t)/

d (t)





Quy trình trực giao hóa Gram - Schmidt :

3 Tương tự tiếp tục quy trình, tổng quát ta có :

Lúc này xác định tập hàm cơ sở : (di(t) ≠0 )

2 Biểu diễn hình học của tín hiệu

  t (t),

s

1 1, i j

, (t) s

(t) s (t) d (t)dt

(t) s s

ji

1i

1j

jiji

iT

0

iij

jj

i

Quy trình trực giao hóa Gram - Schmidt :

3 Tương tự tiếp tục quy trình, tổng quát ta có :

Lúc này xác định tập hàm cơ sở : (di(t) ≠0 )

  t (t),

s

1 1, i j

, (t) s

(t) s (t) d (t)dt

(t) s s

ji

1i

1j

jiji

iT

0

iij

, dt (t) d

(t)/

d (t)

d (t)/

d (t)

T

0

2 i i

i i

jj

i

2 Biểu diễn hình học của tín hiệu

• Ví dụ 1: Tìm hàm cơ sở từ hai tín hiệu

• Sử dụng quy trình Gram-Schmidt :

) (

1 t s

) (

2 t s

T A

(

) ( )

(

) ( )

(

21 11

1 2

1 1

A A

t A

t s

t A

t s





) (

) ( )

(

) ( ) ( )

( ), ( )

(

/ ) ( /

) ( )

(

) (

1 2

2

1 2

21

1 1

1 1

11 0

2 2

1 1

t s t

d

A dt

t t

s t

t s t

s

A t

s E

t s t

A s

A dt

t s E

T T