Chứng tỏ S2 – S1 bằng bình phương của một số tự nhiên.. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng OA, OB.. Tính độ dài đoạn thẳng MN.
Trang 1TRƯỜNG THCS CÁT LÂM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
NĂM HỌC: 2010 – 2011
MÔN TOÁN LỚP 6 ; Thời gian làm bài: 120 phút Ngày thi:
Câu 1: (2,5 điểm)
a) Tìm x ∈ Z biết 8
2
x x
−
=
−
b) Tìm x ∈ Z để phân số 33
3
x+ là một số nguyên.
Câu 2: (1,0 điểm)
Tìm một phân số bằng phân số 13
17 biết rằng tổng của tử và mẫu của nó bằng 2010
Câu 3: (1,5 điểm)
Chứng tỏ rằng 21 4
n n
+ + với n ∈ N là phân số tối giản.
Câu 4: (3,0 điểm)
a) Tổng sau là bình phương của số tự nhiên nào: S = 1 + 3 + 5 + 7 + + 199
b) Gọi S1 là tổng của 100 số tự nhiên liên tiếp, S2 là tổng của 100 số tự nhiên tiếp theo Chứng tỏ S2 – S1 bằng bình phương của một số tự nhiên
Câu 5: (2,0 điểm)
Trên tia Ox ta lấy hai điểm A và B Biết OA = a, OB = a + b Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng OA, OB Tính độ dài đoạn thẳng MN
Trang 2
-TRƯỜNG THCS CÁT LÂM HƯỚNG DẪN CHẤM:
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC: 2010 – 2011
MÔN TOÁN LỚP 6 ; Thời gian làm bài: 90 phút Câu 1: (2,5 điểm)
2
x
x
−
=
−
x
⇒ = (0,5) ⇒ = ±x 4 (0,5) b) Để phân số 33
3
x+ là một số nguyên thì x + 3 ∈ Ư(33) Hay x+ ∈ ± ± ±3 { 1; 3; 11; 33± } (0,5)
x∈ −{ 36; 14; 6; 4; 2;0;8;30− − − − } (1,0)
Câu 2: (1,0 điểm)
Phân số cần tìm bằng phân số 13
17 nên có dạng 13 ; , 0
17k k Z k
Ta có: 13k + 17k = 2010
30k = 2010
k = 67 (0,25)
Vậy phân số cần tìm là 871
1139 (0,5)
Câu 3: (1,5 điểm)
Gọi d là ước chung của 21n + 4 và 14n + 3 ; d ∈ N*
Ta có: 21n + 4 d và 14n + 3 d (0,5)
⇒ 42n + 8 d và 42n + 9 d
⇒ (42n + 9) – (42n + 8) d
⇒ 1 d
⇒ d = 1 (0,5)
Vậy 21 4
n n
+ + với n ∈ N là phân số tối giản (0,5)
Câu 4: (3,0 điểm)
a) Số số hạng của tổng (199 – 1): 2 + 1 = 100 (0,5)
S = (1 199).100 : 2 100+ = 2 (0,5)
b) S1 = n1 + n2 + n3 + + n100
S2 = n101 + n102 + n103 + + n200 (0,5)
Ta có từ số n1 đến số n101 ; n2 đến số n102 ; ; n100 đến số n200 gồm 101 số tự nhiên liên tiếp Do đó: S2 – S1 = (n101 + n102 + n103 + + n200) – (n1 + n2 + n3 + + n100)
= (n101 – n1) + (n102 – n2) + + (n200 – n100) (0,5)
= 100 + 100 + + 100 ( có 100 số hạng) (0,5)
= 100 100 = 1002
Vậy S2 – S1 = 1002
(0,5)
Câu 5: (2,0 điểm)
Trang 3Vẽ hình đúng, phù hợp với lời giải (0,5)
Vì a < a + b nên điểm A nằm giữa hai điểm O và B, do đó ta có:
OA + AB = OB
hay a + AB = a + b
Do đó AB = b (0,5)
Vì M là trung điểm của OA, N là trung điểm của AB nên A nằm giữa hai điểm M và N ⇒ MN = MA + AN =
OA AB a b a b+ = + = + (1,0)