Chứng minh rằng: B Câu II.. Cho tam giác đều ABC, các điểm D, E lần lượt thuộc các cạnh AC, AB sao cho BD, CE cắt nhau tại P và diện tích tứ giác ADPE bằng diện tích tam giác BPC.. Cho đ
Trang 1SỞ GD & ĐT KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH
Thanh hoá Ngày thi: 24/3/2011
Mụn: Toỏn Thời gian làm bài: 150 phỳt.
Câu I.(5,0 điểm).
1) Cho phương trình:x 2 - 2mx + 2m - 1 = 0 Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm
1 , 2
x x với mọi m Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 1 2
x x P
+
= + + + khi m thay đổi.
2) (a) Cho ba số hữu tỉ a, b, c thoả mãn 1 1 1
a b+ = c Chứng minh rằng A= a2 + +b2 c2 là số hữu tỉ
(b) Cho ba số hữu tỉ x, y, z đôi một phân biệt Chứng minh rằng:
B
Câu II (5,0 điểm) 1) Giải phương trình :
10
2) Giải hệ phương trình:
2
2 3
1 4
x x
x x x
+ + + =
Câu III (2,0 điểm).
Cho tam giác đều ABC, các điểm D, E lần lượt thuộc các cạnh AC, AB sao cho BD, CE cắt nhau tại P và diện tích tứ giác ADPE bằng diện tích tam giác BPC Tính ∠BPE.
Câu IV (4,0 điểm).
Cho đường tròn tâm O và dây cung AB cố định (O∉AB) P là điểm di động trên đoạn thẳng AB ( P ≠A,B và P khác trung điểm AB) Đường tròn tâm C đi qua điểm P tiếp xúc với đường tròn
(O) tại A.Đường tròn tâm D đi qua điểm P tiếp xúc với đường tròn (O) tại B Hai đường tròn (C)
và (D) cắt nhau tại N ( N ≠P).
1) Chứng minh rằng∠ANP= ∠BNP và bốn điểm O, D, C, N cùng trên một đường tròn
2) Chứng minh rằng đường trung trực của đoạn ON luôn đi qua điểm cố định khi P do động
Câu V ( 4,0 điểm)
1) Cho a1,a2, ,a45 là 45 số tự nhiên thoả mãn a1 < a2 < < a45 ≤ 130 Đặt
1 ( 1, 2, , 44)
j j j
d =a+ −a j= Chứng minh rằng ít nhất một trong 44 hiệu d j xuất hiện ít nhất 10 lần 2) cho ba số dương a,b,c thoả mãn a2+b2 + b2+c2 + c2+a2 = 2011
cmr
b c c a a b+ + ≥
Đẩ CHÍNH THỨC
Trang 2II 1) Giải phương trình :
10
Ta sử dụng a2+ b2 = (a+b)2 -2ab
Vậy + = −
2
Lời bình: Lấy đề dự bị HSG năm ngoái…
Câu V
1) ) Cho a1,a2, ,a45 là 45 số tự nhiên thoả mãn a1 < a2 < < a45 ≤ 130 Đặt
1 ( 1, 2, , 44)
j j j
d =a+ −a j= Chứng minh rằng ít nhất một trong 44 hiệu d j xuất hiện ít nhất 10 lần
Ta có d j =a j+1−a j j( = 1, 2, , 44)
=> a2= a1+ d1
a3= a2+ d2= a2= a1+ d1+ d2
………
a45= a44+ d44= a1+ d1+…….+ d44
do
130(*)
=> + + + ≤
Nếu d j xuất hiện ít nhất 10 lần ( thỏa mãn)
Nếu d j xuất hiện ít hơn 10 lần ta có
d1+…….+ d44≥9.1+9.2+9.3+9.4+8.5=130
Dấu bằng xẩy ra khi ta có dãy số
0 1 8 10 2629 5357 8994 129
Dãy trên có 44 số hạng nên
d1+…….+ d44>130 vô lý với (*)
Vậy d j xuất hiện ít nhất 10 lần
2)cho ba số dương a,b,c thoả mãn a2+b2 + b2+c2 + c2+a2 = 2011
cmr
b c c a a b+ + ≥
Đặt
0 0 0
x+y+z= 2011 ; x2 + y2+ z2 = 2(a2+b2+c2) từ đó ta có
Theo bất đẳng thức Bunhiacốpxky
Trang 32 2
Do đó
1
2 2 1
2 2
P
x y z
Theo bất đẳng thức cô - si ta có
2 2
2 2
2 (5)
2 (2)
2 (6)
2 (3)
y
x z
z
y x
+ ≥
Cộng từng vế ta có x2 +y2 +z2 +x2 + y2 +z2 ≥ 2( + + )(8)
x y z
P≥ a+ + =b c
Dấu bằng xẩy ra khi x= y = x khi a = b = c = 2011
3 2
Ghi chú:
Nên ta kẹp bất đẳng thức:
+ +
1
2 2 2 2
Mới nhìn BĐT trên ta thấy BDDT dể nhưng chứng minh cũng … đấy