Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị P của hàm số 1.. Viết phương trình đường thẳng d cắt P tại hai điểm C, D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a, lấy đi
Trang 1SỞ GD & ĐT BẮC NINH
NĂM HỌC 2010 – 2011 Môn: Toán - Khối: 11 Thời gian: 150 phút
Câu I.( 2 điểm )
Cho hàm số y=- x2- 2x+3 1( ) và hai điểm (A - 2; 2 ,) (B 2; 2)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (P) của hàm số (1).
2 Viết phương trình đường thẳng d cắt (P) tại hai điểm C, D sao cho tứ giác ABCD là
hình bình hành.
Câu II.( 2 điểm )
1 Giải hệ phương trình:
2
2
ïí ïï
ïî
x y
2 Giải phương trình: sinx+cosx- sin 2x= -1 2sin2 x
Câu III ( 2 điểm )
1 Từ các số 1, 2,3, 4,5,6,7,8,9 lập được bao nhiêu số tự nhiên có bốn chữ số đôi một khác nhau mà trong mỗi số luôn có mặt hai chữ số chẵn và hai chữ số lẻ.
2 Tìm số n nguyên dương thỏa mãn bất phương trình: 3 2 n 2 9
, trong đó k
n
A là
chỉnh hợp chập k của n phần tử, k
n
C là tổ hợp chập k của n phần tử.
Câu IV ( 3 điểm )
1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD ngoại tiếp đường tròn (C) có phương trình : ( )2 ( )2
x- + -x = Xác định tọa độ các đỉnh của hình vuông, biết
đường thẳng chứa cạnh AB đi qua điểm (M - 3; 2- ) và x A>0.
2 Cho tứ diện đều ABCD cạnh a, lấy điểm M thuộc AB và điểm P thuộc CD sao cho
3
AM DP Mặt phẳng ( )a qua MP song song với AC.
a Xác định thiết diện của mặt phẳng ( )a với tứ diện.
b Tính diện tích của thiết diện đó theo a.
Câu V.( 1 điểm )
Cho các số dương x y z, , thay đổi Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
13 3
S
==========Hết==========
Trang 2ĐÁP ÁN TOÁN 10
điểm
I.1
I.2
Vì ABCD là hình bình hành nên CD//AB hay d//AB mà AB//Ox nên pt d có dạng: y=m 0,25
PT hoành độ giao điểm của d và (P): x2+2x- + =3 m 0(2)
Từ đồ thị suy ra, d cắt (P) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi m<4
0,25
Gọi C x m D x m với ( 1; ) (, 2; ) x x là nghiệm PT (2) theo hệ thức Viét: 1; 2 x1+ =-x2 2,x x1 2= -m 3
Với tính chất trên thì ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi CD=AB=4
0,25
II.1
Hệ tương đương với:
( ) ( )
( )
2
2
ïí ïï
ïî
x y
³ - ³
-x y (*), ( )2 Û x2+3x y( + +1) 2y2+2y- 4=0
D =x y+ - y + y- =y + y+ = y+
0,25
1 (t/m (*))
2 4 ( ko t/m (*))
é =
-ê
Þ ê =- -ëx x y y
Với y= -1 x thay vào (1) ta được: 2 1 3 2 (2 1)2 3
2
x
Điều kiện 1 3
0,25
4
4
(2 1)
4
x
Trang 32 1 3 2 4 2 12 8 2 1 3 2 0
1
2
2
x
x
Vậy nghiệm (x y của hệ là: ; ) 1 3; , 3; 1
æ ö æ÷ ö÷
ç- ÷ç - ÷
0,25
II.2
sin 2 cos 2 sin cos
0,25
2 2 x=
x k
k
Vậy PT có nghiệm 2 , x= 2 ,
k
III.1
Từ giả thiết bài toán ta thấy có 2 6
4
C cách chọn 2 chữ số chẵn và 2 10
5
C cách chọn 2 chữ số
lẻ
Do đó, có C 52 2
5
C = 60 bộ 4 số thỏa mãn bài toán
0,5
Mỗi bộ 4 số như thế có 4! số được thành lập Vậy có tất cả 2
4
C C 4! = 1440 số52 0,5
III.2
ĐK:n³ 3,nÎ ¢
BPT 3
( 1)( 2) ( 1) 9
n
0,25
2 3
n
0,25
IV.1 Gọi vectơ pháp tuyến của đường thẳng AB là nr=(a b a; ,) 2+ ¹b2 0
PT đường thẳng AB đi qua M ( 3; 2) có dạng ax by 3a2b0
0,25
Trang 4H Q
P N
M
D
C B
A
Đường tròn ( )C có tâm (2;3) I và bán kính R 10 nên
2 2
| 2 3 3 2 |
3 ( 3 )(3 ) 0
3
Do đó PT AB x: 3y 3 0 hoặc AB x y: 3 7 0
0,25
TH1 AB x: 3y 3 0 , gọi (3A t3; )t t 1 và do IA2 2.R2 20
nên (1 3 )2 ( 3)2 20 10 2 10 20 1
1
t
t
Suy ra (6;1), ( 2;5)A C và (0; 1), (4;7)B D
0,25
TH2 AB x y: 3 7 0, gọi ( ;3A t t7) t0 và do IA2 2.R2 20
nên ( 2)2 (3 4)2 20 10 2 20 20 20 0
2
t
t
(Không thỏa mãn)
0,25
IV.2.
a
Do ( )a qua M và ( )a //AC nên ( )a cắt (ABC) theo giao tuyến là đường thẳng qua M song song
Tương tự, ( )a cắt (ACD) theo giao tuyến là đường thẳng qua P song song với AC cắt AD tại Q. 0,25 ( ) (a Ç ABC)=MN,( ) (a Ç BCD)=NP,( ) (a Ç ACD)=PQ,( ) (a Ç ABD)=MQ
0,25
IV.2.
b
Từ CM trên ta có MNPQ là hình thang
Áp dụng định lý Cosin cho tam giác AMQ
0,25
Trang 52 2 2
Tương tự, 3
3
=a
NP vì thế, MNPQ là hình thang cân đáy MN và PQ
0,25
Chiều cao của hình thang
ç
(đvđd)
0,25
V
Đặt a y,b z,c x; , ,a b c 0, abc 1.
13
3 a
S
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số, ta có
1 1 1
bc ca ab
Mặt khác ab bc ca 2 3ab bc bc ca ca ab 3abc a b c( )
0,25
abc ab bc ca a b c
13
ab
S ab bc ca
bc ca
Đặt t ab bc ca t , 33abc2 3
0,25
Vậy min 40
9
0,25