Đề HSG cấp trường 2010

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị P của hàm số.. Tìm m để độ dài đoạn AB nhỏ nhất.. Giải phương trình khi m= 1.. Tìm m để phương trình có nghiệm.. Tính chu vi tam giác ABC.. Cho tam gi

SỞ GD & ĐT BẮC NINH

TRƯỜNG THPT QUẾ VÕ SỐ 1 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG

NĂM HỌC 2010 – 2011 Môn: Toán - Khối: 10 Thời gian: 150 phút

Câu I.( 2 điểm )

Cho hàm số y x= 2 − 4x+ 3

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (P) của hàm số

2 Chứng minh rằng đường thẳng d y m x: = ( − 2) luôn cắt (P) tại hai điểm điểm phân

biệt A, B Tìm m để độ dài đoạn AB nhỏ nhất

Câu II.( 2 điểm )

Cho phương trình x4 +x2 + =x m x( 2 + 1)

1 Giải phương trình khi m= 1

2 Tìm m để phương trình có nghiệm

Câu III ( 2 điểm )

1 Cho phương trình: x2 − 2mx m+ − = 1 0, m là tham số.Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có hai nghiệm khi m thay đổi Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn: x1 < < 1 x2

2 Xác định tất cả các giá trị của tham số m để hệ phương trình:

mx y 2

x my 1 m

+ =



 + = +

 có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn x>0,y>0

Câu IV ( 3 điểm )

1 Cho tanx= 2, tính giá trị của biểu thức 2 sin2 cos2 2

sin sin cos 2cos

A

−

=

2 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A( 1;1), (5; 3) − B − ,đỉnh C nằm trên trục Oy và trọng tâm G nằm trên trục Ox Tính chu vi tam giác ABC

3 Cho tam giác ABC, các điểm M, N, P lần lượt nằm trên các cạnh BC,CA, AB Chứng minh rằng các tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm khi và chỉ khi

BM CN AP

MC = NA = PB

Câu V( 1 điểm )

a + + + =b c ab bc ca+ +

3

a b c+ − + + −b c a + + −c a b ≥

==========Hết==========

Giáo viên soạn: Nguyễn Minh Nhiên

ĐÁP ÁN TOÁN 10

Câ

Tha

ng điể m

I.2 PT hoành độ giao điểm x2 − 4x+ = 3 m x( − ⇔ 2) x2 −(m+ 4)x+ 2m+ = 3 0(1) 0,25

Số giao điểm của (P) và d là số nghiệm của phương trình (1)

Ta có ( )2 ( ) 2

Do đó, d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B

0,25

Gọi A a m a( ; ( − 2 ,) ) B b m b( , ( − 2) ) với a,b là nghiệm của (1)

AB= b a− +m b a− = m +  a b+ − ab

Áp dụng hệ thức Viét ta có :  = +a b m ab+ = +2m 34

0,25

( 2 1) ( 2 4) 4 5 2 4 2,

AB= m + m + = m + m + ≥ ∀m

Do vậy, ABmin ⇔ =m 0

0,25

II.1

x x x m x (1)

Với m= 1

( )2

PT ⇔ x + + =x x x + ⇔x + + =x x x +

0,5

2

1 0

x x

ĐK cần

Để PT có nghiệm thì m≥ 0

0,25

Phương trình đã cho tương đương ( ++ + =)

4 2

2 2 1

x x x m x

Ta có: + + ≤ + + ≤ + + ⇒ + + ≤ ( + + > )

4 2

4 2

x x x

Dấu = không xảy ra nên + + <

4 2

x x x

x x Vậy ta đc 0 ≤ <m 1

0,25

ĐK đủ

Ta chỉ cần CM với 0 ≤ <m 1 pt có nghiệm không âm là được Thật vậy,

Xét hàm số ( ) = + + ∈[ +∞)

4 2

4 2 , 0;

x x x

Với ∀a b, ∈ +∞[0; ),a b<

2

0

=

Nên hàm số đồng biến trên (0; +∞)

0,25

Do y<1 ( theo CM trên ) nên ta có BBT 0,25

x 0 +∞

f(x) 1

0

Từ BBT với 0 ≤ <m 1 thì pt luôn có nghiệm.

Vậy pt có nghiệm khi 0 ≤ <m 1

III.

1

x − mx m+ − = (1)

Ta có: 2

' m m 1 0, m

∆ = − + > ∀ nên pt luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m 0,25 Đặt x t= + 1 khi đó pt trở thành: ( )2 ( ) 2 ( )

t+ − m t+ + − = ⇔ −m t m− t m− = (2) 0,25 (1) có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn: x1 < < 1 x2

( )2

III.

2

2 1, x 1, y 2 2

Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi m≠ ± 1 0,25 Khi đó, hệ có nghiệm 1 , 2

m

+

1 0

1

0 1

m

m

 >



>

 >  +

 +



0,25

IV.

1

Khi đó, 24cos2 2cos2 2 3

4cos 2cos 2 cos 4

A

−

IV.

2

Gọi tọa độ C( ) ( )0;y G x, ;0

Khi đó,

4

1 5 0 3

3



  = suy ra, C( )0; 2

0,5

IV.

3

Ta có: ∆ABC MNP, ∆ có cùng trọng tâm khi và chỉ khi BM CN APuuuur uuur uuur r+ + =0 0,25

0

Mà BC CA ABuuur uuur uuur r+ + = 0 nên BM CN AP

BM CN AP

MC NA PB

3

a b c+ − + + −b c a + + −c a b ≥ (1)

Đặt a x y b y z c z x x= + , = + , = + ; > 0,y> 0,z> 0 thì điều kiện được đưa về

1 (*) 4

xy yz zx+ + =

(1) đưa về bất đẳng thức : 4 4 4 1

48

0,25

144 144 3

xy

,

y + +z + ≥ x + +z + ≥

Cộng vế với vế các BĐT trên ta có (2)

0,25

Dấu bằng xảy ra khi 1

12

3