Sở GD&ĐT ĐẮKLẮKĐÁP ÁN ĐỀ THI MÔN TOÁN LỚP 9 THCS Bài 1.. 2/ Tìm tất cả số thực x để biểu thức P nhận giá trị nguyên... Gọi H là trực tâm tam giác ABC, nối AH cắt đường tròn tại điểm D kh
Trang 1Sở GD&ĐT ĐẮKLẮK
ĐÁP ÁN ĐỀ THI MÔN TOÁN LỚP 9 THCS
Bài 1 ( 4,0 điểm)
Cho biểu thức 1 2 2 3
P
1/ Thu gọn biểu thức P.
2/ Tìm tất cả số thực x để biểu thức P nhận giá trị nguyên
Giải.
1/ Điều kiện : 0< ≤x 2 ( 0,5 điểm)
( )
1
(0,5x3=1,5 điểm) Khi x = 1 thì P = 1
P
− + − (0,5 điểm)
Chứng minh được :
x+ − ≤ 2 x x+ 2 − ≤x 2(x+ − 2 x) → 2 ≤ x+ 2 − ≤x 2 (0,5 điểm) Nên 1≤ ≤P 2(0,5 điểm)
Bài 2 ( 5 điểm)
Cho a, b, c là ba số thực dương
1/ Chứng minh rằng a3+ + ≥b3 c3 3abc
2/ Tính giá trị biểu thức P ab bc= + nếu biết
2
2010 2011
b ac
+ =
+ =
=
Giải
Q a= + + −b c abc= +a b − ab a b+ + −c abc (0,5 điểm) ( )3 ( ) ( ) ( )
a b c ab a b c a b c a b c
( ) ( )2
( ) ( 2 2 2 )
2Q= a b c+ + a b− + −b c + −c a ≥ → + + ≥0 a b c 3abc (0,5 điểm)
2/
Trang 2Vẽ tam giác vuông ABC đỉnh A, và đường cao AD
có kích thước như hình vẽ có (0,5 điểm)
AB = 2010, AC = 2011 (1,0 điểm)
và
2 ABC
P ab bc= + = S (0,5 điểm)
2010.2011 4042110
P= = (0,5 điểm)
b
a D B
c
Bài 3.( 4 điểm)
1/ Giải hệ phương trình
2 2 7
2 2 11
xy x y
− + =
2/ Chứng minh rằng với mọi số n nguyên dương thì số x n =12 (n−1) (n n+1) (n+ + +2) 1 23
có thể viết được thành tổng các bình phương của ba số nguyên dương lẻ liên tiếp
Giải.
1/
( )( ) ( ) ( )
7
2 2 11
xy x y
+ − =
⇔ + + − =
− + =
Đặt u = x+1; v = y-1 Ta có ( )2
25 6
u v uv
=
Có hai trường hợp :
2/x n= 12 (n− 1) (n+ 2) (n n+ + + 1 1 23 12) = (n2 + −n 2) (n2 + + +n) 1 23 (0,5 điểm)
= + − + = + + = − + + + + (0,5x3=1,5 điểm) Vậy có điều phải chứng minh
Bài 4.( 4 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O;R), có BC R= 3và AB < AC Gọi H là trực tâm tam giác ABC, nối AH cắt đường tròn tại điểm D khác A
1/ Tính góc BAC Suy ra tam giác OAH cân
2/ Chứng minh rằng AD.BC = AB.CD + AC.BD
Giải
Trang 31/ Trong tam giác vuông IOC với I là trung điểm BC
có
2
IC
OC
= = → = (0,5 điểm)
60 2
→ = = (0,5 điểm)
Vẽ đường kính AE , có BH, CE cùng vuông góc AC
nên BH//CE, tương tự CH//BE Nên tứ giác BHCE là
hình bình hành tâm I (0,5 điểm)
Có OI là đường trung bình tam AHE nên
AH = 2OI = 2OC.sin300 = R = OA
Vậy tam giác OAH cân tại A (0,5điểm)
K
E D
A
B'
A'
C' H
O
2/ Ta có ABK∆ : ∆ADC ( ·BAK =·DAC ABK;· =·ADC ) (0,5 điểm) Suy ra AB BK AB CD AD BK
Chứng minh tương tự hai tam giác ACK và ADB đồng dạng nên có
AC BD AD CK
AD= DB→ = (2) (0,5 điểm)
Từ (1) và (2) có AD.BC = AB.CD + AC.BD (0,5 điểm)
Bài 5.( 3 điểm)
Chứng minh rằng nếu lục giác lồi ABCDEF có 6 góc trong bằng nhau thì có
EF
AB DE− = BC− = CD FA−
Giải
- Theo giả thiết suy ra cả 6 góc trong của lục giác đều bằng
0
120 (0,5 điểm)
- Vẽ ba phân giác trong BP, DM, FN Có các tứ giác BCDP,
DEFM, FNBA đều là hình bình hành ( các góc đối bằng nhau)
(1 điểm)
- Tam giác MNP có 3 góc bằng 60 là tam giác đều 0
(0,5 điểm)
AB DE− = FN FM− =MN (0,5 điểm)
tương tự suy ra
EF
AB DE− = BC− = CD FA− (0,5 điểm)
A
F
D P
N
M
E
- Hết