Qua M kẻ đường thẳng song song ON cắt đường thẳng AB tại E.. Qua N kẻ đường thẳng song song OM cắt đường thẳng AB tại F.. Thay vào a,b vào pt rồi giải tiếp... Từ đó suy ra K là điểm giữa
Trang 1Truy cập: http://violet.vn/lemanhhung2909/ để dowload các tài liệu liên quan
ĐỀ THI HSG TỈNH HÀ TĨNH LỚP 9
Bài 1: Cho phương trình
3 3
x
a) Giải phương trình khi m = 3
b) Tìm m để phương trình có đúng hai nghiệm dương phân biệt
Bài 2: a) Cho a, b, c Z thỏa mãn điều kiện
2
2 2 2
Chứng minh rằng a3 + b3 + c3 chia hết cho 3
b) Giải phương trình x3 + ax2 + bx + 1 = 0, biết rằng a, b, c là số hữu tỉ và 1 + 2 là nghiệm của phương trình
Bài 3: Cho x, y N* thỏa mãn x + y = 2011
Tìm GTNN và GTLN của biểu thức P = x x 2yy y 2x
Bài 4: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R, một dây cung MN = R di chuyển trên nửa đường tròn Qua M kẻ đường thẳng song song ON cắt đường thẳng AB tại E Qua N kẻ đường thẳng song song OM cắt đường thẳng AB tại F
a) CMR: MNE NFM
b) Gọi K là giao điểm của EN và FM Hãy xác định vị trí của dây MN để chu vi tam giác MKN lớn nhất
Bài 5: Cho a, b, c > 0 và abc = 1
Chứng minh rằng
HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1 Lời giải tóm tắt :
ĐKXĐ: x 0
Đặt 1
x phương trình (*) trở thành 2
t 1 t t 3 m 0 a) m = 3 (Tự giải)
b) Với t = 1 x2 – x – 1 = 0 phương trình này luôn có 1 nghiệm dương (vì ac < 0)
Để phương trình (*) có đúng 2 nghiệm dương phân biệt thì phương trình t2 + t + 4 – m = 0 phải có nghiệm kép khác 1 Hay m = 11
4
Bài 2 : Lời giải tóm tắt :
a) ĐK: a, b, c 0 Từ gt suy ra a + b + c = 0 Mà a3 + b3 + c3 – (a + b + c) = a(a – 1)(a + 1) + b(b – 1 )(b + 1) + c(c – 1)(c + 1) chia hết cho 3 và a + b + c = 0 chia hết cho 3 nên a3 + b3 + c3
chia hết cho 3
b) Vì 1 + 2 là nghiệm của phương trình nên ta có
b 1 Thay vào a,b vào pt rồi giải tiếp
Trang 2Truy cập: http://violet.vn/lemanhhung2909/ để dowload các tài liệu liên quan
Bài 3:Lời giải tóm tắt:
Cách 1: Vì x, y N* nên 1 x y 2009 1 x y 220092
Mà (x – y)2 = (x + y)2 – 4xy = 20112 – 4xy Do đó –xy =
2
1
4 Vậy P = 20113 - 6031xy = 20113 + 6031
2
1
4
Ta có 20113 + 6031.1 2
4 P 20113 + 6031.1 2
4 Hay 2035205401 P 8120605021
Vậy GTNN của P là 2035205401 Dấu “=” xảy ra khi x = 1006 và y = 1005 hoặc x =
1005 và y = 1006 GTLN của P là 8120605021 Dấu “=” xảy ra khi x = 2010 và y = 1 hoặc x =
1 và y = 2010
Cách 2: P = 20113 - 6031xy theo bài ra ta có 1 x, y 2010
Ta chứng minh 2010 xy 1005 1006 Thật vậy
xy – 2010 = x(2011 – x) – 2010 = 2011x – x2 – 2010 = 2010x – x2 + x – 2010
= (2010 – x)(x – 1) 0 (vì 1 x, y 2010)
Ta có xy 2010 Do đó P 8120605021
Mặt khác 1005.1006 – xy = 1005 1006 – x(2011 – x) = … = (1005 – x)(1006 – x) 0
Ta có 1005.1006 – xy 0 Do đó 2035205401 P
Bài 4: Lời giải tóm tắt :
a) Dễ dàng chứng minh được 0
EMN FNM 120 Mặt khác EMO ONF ME MO ME MN
NO NF MN NF (vì MON đều) b) MNE NFM MNE NFM FMO
mà MKN 180 0 MNE NMF 1800 FMO NMF 1800 600 1200không đổi
K thuộc cung tròn chứa góc 1200 dựng trên đoạn thẳng MN = R không đổi Từ đó suy ra
K là điểm giữa cung MKN hay MK = NK Kéo dài EM và FN cắt nhau tại I và ta chứng minh được MN ở vị trí sao cho AM = MN = NB = R
Bài 5:Lời giải tóm tắt:
Áp dụng BĐT CauChy ta có
3
tương tự rồi cộng lại được
Mà a b c 3 abc3 3 ruy ra đpcm
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1