Khi đó mpMNP chia khối tứ diện thành 2 khối đa diện BCNPQM và ADPNMQ.
Trang 1SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12
NĂM HỌC 2010 – 2011
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN LỚP 12 THPT - BẢNG B
(Hướng dẫn chấm gồm 03 trang)
Câu
1.
(3,0đ)
Xét H/s: y= x3 +3mx2 −m2
+TXĐ:D=R
+ có: y'=3x2 +6mx ,
−
=
=
⇔
=
m x
x y
2
0 0
Để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt
⇔y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn y(x1).y(x2) < 0 0,50 ⇔
<
−
−
≠
⇔
<
−
≠
0 ) 4
)(
(
0 0
) 2 ( )
0 (
0
2 3
m
m m
y y
m
0,75
⇔
4
1 4
1
0
>
⇔
>
≠
m m
m
1,0
Câu
2.
a,
(3,0đ)
a) Đặt : u=2010x ,u >0
đặt: u+12 =v ,v> 12
) 2 ( 12
) 1 (
2
2
= +
− +
⇔
= + +
−
⇒
+
=
= +
v u v u v
u v u u
v
v
Thay vào (1) ta được:
+
−
=
−
−
=
⇔
=
− +
2
45 1 2
45 1 0
11
2
u
u u
Đối chiếu đ/k ta có:
2
45
1+
−
=
2
1 45
⇔
2
1 45 log2010 −
=
2
1 45 log2010 −
=
x
0,75
b,
(3,0đ)
b) Điều kiện: x≠0
Khi đó hệ ⇔
+
= +
−
= +
⇔
−
=
−
−
= +
2 2 4 3
2 3
4 2 3
2 3
1
1 1
) (
1 )
(
y x x yx
xy x yx
x yx x y
x x x y
Đặt : a= yx3 +1,b= x2 −xy Ta có: x4 +x2y2 =(x2 −xy)2 +2x3y 0,50
Trang 2Hệ (I) trở thành
=
− +
=
⇔
− +
=
=
0 2 )
1 (
b a a
b a
b a
−
=
=
=
=
⇔
2
1
b a
b a
0,50
+) Với a=b=1 ta có
=
−
= +
1
1 1
2
3
xy x
yx
=
−
=
⇔
1
0
2
3
xy x
yx
⇔ x x==1−,1y,y==00 0,50
+) Với a=b=−2 ta có
−
=
−
−
= +
2
2 1
2
3
xy x
yx
−
=
−
−
=
⇔
) 2 ( 2
) 1 ( 3
2
3
xy x
yx
Hệ này vô nghiệm (vì từ (1) suy ra xy<0, từ (2)suy ra xy>0)
0,75
Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm là
=
=
0
1
y
x
và
=
−
=
0
1
y
x
0,25
Câu
3.
a,
(3,0đ)
a) Điều kiện :
>
−
>
y x
y x
2
2
Ta có : log4(x+2y)+log4(x-2y)=1 ⇔log4(x2-4y2)=1
Xét : f(t)=2 4t2 +4−t , vớit≥ 0
4 4
4 4 8 1 4 4
8 )
(
2
2
2
'
+
+
−
=
− +
=
t
t t t
t t
15
1 0
)
(
' t = ⇔t =
Bảng biến thiên:
t
0
15
1 +∞
f’(t) - 0 + f(t)
4 +∞
15
0,50
Từ bảng biến thiên suy ra f(t)≥ 15 ⇒ P= 2x− y ≥ 15
Dấu đẳng thức xảy ra
15
1 ,
15
8
±
=
=
b,
(2,0đ) b) Do a +b +c = 1
+
+ +
≤ + +
=
b c a
a c
b
b c a
a c
ab
ab
2
1
0,25
+
+ +
≤
c b a
b a
bc
bc
2
1
+
+ +
≤
a b c
c b
ca
ca
2
+
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
≤ +
+ +
+
a c b
c c a
c a b
b c b
b c a
a b
ac
ac a
bc
bc c
ab
ab
2 1
0,50
Trang 3⇔
2
3
≤ +
+ +
+
ac a
bc
bc c
ab
ab
Dấu bằng xảy ra khi : a b c 1
3
Câu
4.
(3,0đ)
D
A
B C
H K
Gọi H là hình chiếu vuông góc của C lên
3
1
3
1
CK S S
CH
Mà : S C CK.AB
2
1
CK AB
3
1
AB
S S
D
AB
S S
3
sin
Câu
5.
(3,0đ)
P
A
B
E
D
C
M
Q N
Gọi E là giao điểm của MN và BC, Q là giao điểm của EP và BD
Khi đó mp(MNP) chia khối tứ diện thành 2 khối
đa diện BCNPQM và ADPNMQ
0,50
Đặt: VABCD = V , VBCNPQM =V1 , VADPNMQ = V2
⇒ CNPE
CNPE ABCD
EBMQ
Từ (1) và (2) ⇒ VBEMQ 1V
2
⇒ V1 = VEBQM – VCNPE = 7 V
18 , V2 =11V
2
Hết -Ghi chú: - Học sinh giải cách khác đúng cho điêm phần tương ứng
- Khi chấm Giám khảo không làm tròn điểm
