De cuong on tap HKII khoi 12

b Viết phương trình tiếp tuyến của C vuông góc với đường phân giác phần tư thứ nhấtHD: Đường phân giác phần tư thứ nhất là: y = x... Giao điểm của của 3 đường cao của tam giác gọi là trự

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP KHỐI 12 CB

NỘI DUNG CHI TIẾT

1 Giải tích:

 Chủ đề 1 :

Ứng dụng đạo hàm vào khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

Bài 1: Đơn điệu (sự đồng biến và nghịch biến) của hàm số (1 tiết)

Ghi nhớ: Xét dấu y’ vận dụng các quy tắc sau:

* Nếu y’ là nhị thức bậc nhất (y’ = ax + b), Quy tắc: Phải cùng Trái trái dấu với hệ số a

* Nếu y’ là tam thức bậc hai (y’ = ax2 + bx + c) có hai nghiệm phân biệt

Quy tắc: Trong trái Ngoài cùng dấu với hệ số a

* Nếu y’ là tam thức bậc hai (y’ = ax2 + bx + c) có 1 nghiệm hoặc vô nghiệm

Quy tắc: Cùng dấu với hệ số a

Đặc biệt: * Nếu y’ là hàm bậc ba (y’ = ax3 + bx2 + cx + d) có 3 nghiệm phân biệt

Quy tắc: Đổi dấu từ Phải sang Trái theo dấu hệ số a

Xét tính đơn điệu của các hàm số sau:

a/ y = x3 – 3x2 – 24 + 7 (yCĐ = y(-2) = 35; yCT = y(4) = -73)

b/ y = x4 – 5x2 + 4 (yCĐ = y(0) = 4; yCT = y( 5

Bài 3: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

Ghi nhớ: * GTLN – GTNN của hàm số y = f(x) trên đoạn [a; b]

Bước 1: Tính f ′(x) Giải PT f ′(x) = 0 ⇒nghiệm xi ; Bước 2: Tính f(a), f(b)

Bước 3: Tính f(xi) với xi ∈[a; b] ; Bước 4: So sánh f(a), f(b) và f(xi)⇒GTLN – GTNN Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau:

− = − = ; min y[ 1;1]

− =y(1) = 0)

Bài 4: Đường tiệm cận

Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang (nếu có) của các hàm số sau:

Bài 5: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (3 tiết)

Ghi nhớ: a) PTTT của hàm số (C): y = f(x) tại điểm M 0 (x 0 ; y 0 )

Bước 1: PTTT cần tìm có dạng: y – y0 = f ′(x0)(x – x0) Bước 2: Tính f ′(x)

Bước 3: Tính f ′(x0) Bước 4: Thay x0, y0 và f ′(x0) vào bước 1

b) PTTT của (C): y = f(x) biết hệ số góc k cho trước

Bước 1: Tính f ′(x) Bước 2: Giải phương trình f ′(x0) = k ⇒nghiệm x0

Bước 3: Tính y0 = f(x0) Bước 4: Thay x0, y0 và k = f ′(x0) vào PT: y – y0 = f ′(x0)(x – x0)

Bài 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau:

a/ y = x3 – 3x2 b/ y = - x3 + 3x – 1 c/ y = 3x – 4x3 d/ y = x3 – 3x2 + 3x – 2

Bài 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau:

a/ y = x4 – 2x2 – 1 b/ y =

4 2

6

2x 8 x

−

Bài 4: Cho hàm số (C): y = -x3 + 3x + 2

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)

b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x3 – 3x – 2 + m = 0ĐS: * m > 4: 1 n0; * m = 4: 2 n0; * 0 < m < 4: 3 n0; * m = 0: 2 n0; * m < 0: 1 n0

c) Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm I(0; 2) ĐS: y = 3x + 2

d) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị (C)

HD: PT đt đi qua 2 điểm A(xA; yA) và B(xB; yB) có dạng: A A

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)

b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo k số nghiệm của phương trình: x3 + 3x2 – k = 0

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)

b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: -x4 + 2x2 + 1 – m = 0

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường phân giác phần tư thứ nhất

HD: Đường phân giác phần tư thứ nhất là: y = x ĐS: y = -x và y = -x + 8

Bài 10: Cho hàm số (Cm): y = 2x 3 + 3(m – 1)x2 + 6(m – 2)x – 1

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) khi m = 2

b) Với giá trị nào của m, đồ thị của hàm số (Cm) đi qua điểm A(1; 4) ĐS: m = 2

c) Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số (C) đi qua điểm B(0; -1) ĐS: y = -1; y = 9

x 1 8

− −

Bài 11: Cho hàm số (Cm): y = x 4 – (m + 7)x2 + 2m – 1

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) khi m = 1

b) Xác định m để đồ thị (Cm) đi qua điểm A(-1; 10) ĐS: m = 1

c) Dựa vào đồ thị (C), với giá trị nào của k thì phương trình: x4 – 8x2 – k = 0 có 4 nghiệm phân biệt ĐS: -14

< k < 0

Bài 12: Cho hàm số (Cm): y = mx 1

2x m

− +

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C2)

b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, hàm số luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó

HD: Chứng minh tử thức của y ’ > 0 suy ra y ’ > 0(đpcm)

c) Xác định m để tiệm cận đứng của đồ thị đi qua A(-1; 2) ĐS: m = 2

d) Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số (C2) tại điểm (1; 1

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) khi m = 0

b) Với giá trị nào của m, đồ thị của hàm số (Cm) đi qua điểm B(0; -1) ĐS: m = 0

c) Định m để tiệm cận ngang của đồ thị đi qua điểm C( 3; -3) ĐS: m = -4

c) Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số tại giao điểm của nó với trục tung

HD: Giao điểm với trục tung ⇒x = 0, thay x = 0 vào (C) ⇒y = -1: E(0; -1) ĐS: y = -2x – 1

HD: * Tìm y’ và vận dụng công thức sau

* Để hàm số có cực trị (hay có một cực đại và một cực tiểu)

⇔y ’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt ⇔ ∆ > 0(hay ∆ > ′ 0)

* m2 – 2m + 1 > 0 ⇔m ≠ 1

(vì m2 – 2m + 1 = 0 có nghiệm kép m = 1 và a = 1 > 0) ĐS: m ≠ 1c) Xác định m để y”(x) > 6x ĐS: m < 0

Bài 16: Cho hàm số (Cm): y = mx 3

x m 2

+ + +

a) Định m để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó

HD: * Tìm y’ và vận dụng công thức sau

* Để hàm số đồng biến (hay nghịch biến) trên từng khoảng xác định của nó

⇔y ’ > 0 (hay y ’ < 0) ⇔tử thức > 0 (hay tử thức < 0) ĐS: - 3 < m < 1

* Giải bất phương trình bậc hai (có 2 nghiệm phân biệt) lập bảng xét dấu

b) Tìm trên (C-1) những điểm có tọa độ nguyên

HD: * Chia tử cho mẫu ta được 2 phần (phần nguyên + phần phân)

* Để x, y nguyên ⇔phần phân nguyên ⇔tử thức M mẫu thức

ĐS: (1; 3); (-1; -5); (2; 1); (-2; -3); (4; 0); (-4; -2)

Bài 17: Xác định m để h/số y = x3 – 3mx2 + (m + 2)x – m đồng biến trên R ĐS: 2

m 1 3

b = 8 ( )m

m n

A 1 y = xα: * Nếu α nguyên dương: TXĐ: D = R tức là ∀ ∈ x R

* Nếu α nguyên âm hoặc bằng 0: TXĐ: D = R\ { } 0 tức là ∀ ≠ x 0

* Nếu α không nguyên: TXĐ: D = (0 ; + ∞) tức là x > 0

1 aα = ⇔ α = b log ba (a, b > 0; a ≠ 1); log a b đọc là: lôgarit cơ số a của b

2 loga1 = 0 3 logaa = 1 4 alog b a = b 5 log aa α = α

6 loga(b1.b2) = logab1 + logab2 7 1 1 2

2

b log log b log b

 lnx đọc là: lôgarit nêpe của x hay lốc nêpe của x

 logx hay lgx đọc là: lốc của x

1 ax = b (1): * Nếu b > 0: PT (1) có nghiệm x = logab

* Nếu b≤ 0: PT (1) vô nghiệm

x y

x y

3 ab)

Đề cương ôn tập HKI khối 12 CB

a− ) e) 4 2 3 23

3 2 3 (

5 24

2 3

Bài 2: Hàm số lũy thừa

Bài 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau:

log a ( 1

10) h) 3

4 a

Bài 3: Rút gọn các biểu thức sau:

a) log36.log89.log62 (2

3) b) log 62 log236 (4) c) 2 1 253

2 5

b) Cho log52 = α Tính log2050 theo α ( 2

Bài 1: Tính đạo hàm các hàm số sau:

a) y = 2xex + 3sin2x (2ex(x + 1) + 6cos2x)

b) y = 5x2 – 2excosx (10x + 2x(sinx – ln2cox))

−

− − ) h) y log ( = 3 3x −1− 9 ) (

1 1

3

x x

a) Với hàm số y = e-sinx, ta có: y’cosx – ysinx + y” = 0

b) Với hàm số y = ecosx, ta có: y’sinx + ycosx + y” = 0

Bài 5: Phương trình mũ và phương trình lôgarit

Bài 1: Giải các phương trình sau:

a) (3,7)5x – 2 = 1 (2

5) b)

1

25 5

c)

2 7

1 1 6

Bài 4: Giải các phương trình sau:

a) log3(5x + 3) = log3(7x + 5) (VN) b) log(x – 1) – log(2x – 11) = log2 (7)

c) log2(x – 5) + log2(x + 2) = 3 (6) d) log(x2 – 6x + 7) = log(x – 3) (5)

e) log4(x + 2) = logx (2) f) log4x + log24x = 5(4)

g) log7(x – 1)log7x = log7x (8) h) 8

Bài 6: Bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit (2 tiết)

Bài 1: Giải các bất phương trình sau:

II HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG

Đề cương ôn tập HKI khối 12 CB

α

B

A

VI DIỆN TÍCH TRONG HÌNH PHẲNG

1 Tam giác thường:

a) S = 1

ah

2 b) S = p(p a)(p b)(p c) − − − (Công thức Hê-rông)

c) S = pr (r: bk đ.tròn nội tiếp tam giác)

2 Tam giác đều cạnh a:

a) Đường cao: h = a 3

2 ; b) S =

2

a 3 4

c) Đường cao cũng là đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực

3 Tam giác vuông:

a) S = 1

2ab (a, b là 2 cạnh góc vuông)

b) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm của cạnh huyền

4 Tam giác vuông cân (nửa hình vuông):

a) S = 1

2a

2 (2 cạnh góc vuông bằng nhau) b) Cạnh huyền bằng a 2

5 Nửa tam giác đều:

a) Là tam giác vuông có một góc bằng 30o hoặc 60o

b) BC = 2AB c) AC = a 3

2 d) S =

2

a 3 8

6 Tam giác cân: a) S = 1

ah

2 (h: đường cao; a: cạnh đáy)

b) Đường cao hạ từ đỉnh cũng là đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực

7 Hình chữ nhật: S = ab (a, b là các kích thước)

8 Hình thoi: S = 1

2d1.d2 (d1, d2 là 2 đường chéo)

9 Hình vuông: a) S = a2 b) Đường chéo bằng a 2

10 Hình bình hành: S = ah (h: đường cao; a: cạnh đáy)

11 Đường tròn: a) C = 2πR (R: bán kính đường tròn)

b) S = πR2 (R: bán kính đường tròn)

VII CÁC ĐƯỜNG TRONG TAM GIÁC

1 Đường trung tuyến: G: là trọng tâm của tam giác

a) Giao điểm của 3 đường trung tuyến của tam giác gọi là trọng tâm

C B

N M

C B

A

Giao điểm của của 3 đường cao của tam giác gọi là trực tâm

3 Đường trung trực:

Giao điểm của 3 đường trung trực của tam giác là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

4 Đường phân giác:

Giao điểm của 3 đường phân giác của tam giác là tâm đường tròn nội tiếp tam giác

VIII HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

1 Hình tứ diện đều:

a) Có 4 mặt là các tam giác đều bằng nhau

b) Chân đường cao trùng với tâm của đáy (hay trùng với trọng tâm của tam giác đáy)

c) Các cạnh bên tạo với mặt đáy các góc bằng nhau

2 Hình chóp đều:

a) Có đáy là đa giác đều

b) Có các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau

c) Chân đường cao trùng với tâm của đa giác đáy

d) Các cạnh bên tạo với mặt đáy các góc bằng nhau

3 Đường thẳng d vuông góc với mp(α):

a) Đt d vuông góc với 2 đt cắt nhau cùng nằm trên mp(α) Tức là:

d a; d b

a b a,b

IX KHỐI ĐA DIỆN:

1 Thể tích khối lăng trụ: V = Bh (B: diện tích đáy; h: chiều cao)

2 Thể tích khối chóp: V = 1

Bh

3 (diện tích đáy là đa giác)

3 Tỉ số thể tích của khối chóp: S.A B C

4 Diện tích xq của hình nón tròn xoay: Sxq = π Rl (R: bk đường tròn; l: đường sinh)

5 Thể tích của khối nón tròn xoay: V = 1

Bh

3 (diện tích đáy là đường tròn)

6 Diện tích xq của hình trụ tròn xoay: Sxq = 2π Rl (R: bk đường tròn; l: đường sinh)

7 Thể tích của khối trụ tròn xoay: V = Bh = π R2h ( h: chiều cao khối trụ)

8 Diện tích của mặt cầu: S = 4π R2 (R: bk mặt cầu )

Đề cương ôn tập HKI khối 12 CB

A

ϕ O H

A

d' d

α

9 Thể tích của khối nón tròn xoay: V = 4 3

R

3 π (R: bán kính mặt cầu)

Bài tập

Bài 1: Tính thể tích khối tứ diện đều cạnh a

HD: * Đáy là ∆BCD đều cạnh a H là trọng tâm của đáy

a )

ĐS: V =

3 2 12

a

Bài 2: Tính thể tích của khối chóp tứ giác đều cạnh a

HD: * Đáy ABCD là hình vuông cạnh a H là giao điểm của 2 đường chéo

a

Suy ra thể tích của khối bát diện đều cạnh a ĐS: V =

3 2 3

a

Bài 3: Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’ B ’ C ’ có tất cả các cạnh đều bằng a

a) Tính thể tích của khối lăng trụ

a (A’B’C’ là ∆ đều cạnh a) và AA’ = a

ĐS: VABC.A B C′ ′ ′ =

3 3 4

a

( khối lăng trụ đứng có tất cả các cạnh bằng nhau được chia thành 3 tứ diện bằng nhau)

Bài 4: Cho lăng trụ đứng ABC.A’ B ’ C ’ , đáy ABC là tam giác vuông tại A, AC = a, C∧ = 60 0 , đường chéo

′ = 300 * Tính AC’: Trong ∆VBAC’ tại A (vì BA ⊥AC’) tan300 = AB

AC ′ ⇒AC’ = 300

AB tan = AB 3

Đề cương ôn tập HKI khối 12 CB

S

D

C B

A

C'

B' A'

C

B A

60 °

30 °

C' B'

A'

C B

A

* Tính AB: Trong ∆VABC tại A, ta có: tan600 = AB

AC

⇒AB = AC tan600 = a 3 (vì AC = a) ĐS: AC’ = 3a

b) VABC.A B C′ ′ ′ = Bh = SABC.CC’ * Tính: SABC = 1

2AB.AC =

1

2.a 3.a =

2 3 2

a

Bài 6: Cho lăng trụ đứng ABC.A’ B ’ C ’ , đáy ABC là tam giác vuông tại A, AC = a, BC = 2a và AA ’ = 3a Tính thể tích của lăng trụ

HD: * Đường cao lăng trụ là AA’ = 3a

* Tính: VABC.A B C′ ′ ′ = Bh = SABC.AA’

B ’ xuống đáy ABCD trùng với giao điểm hai đường chéo của đáy Cho BB ’ = a.

a) Tính góc giữa cạnh bên và đáy

C'

B' A'

C

B A

2a 3a

a

C' B'

A'

C B

B' A'

B A

b) * Đáy ABCD là tổng của 2 ∆đều ABD và BDC ⇒ SABCD= 2

2 3 4

a = 2 3

2 a

* VABCD.A B C D′ ′ ′ ′ = Bh = SABCD.B’O =

2 3 2

* Tính SH: Trong ∆VSAH tại H, ta có: SH2 = SA2 – AH2

Bài 9: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh AB bằng a Các cạnh bên SA, SB, SC tạo với đáy

một

góc 60 0 Gọi D là giao điểm của SA với mặt phẳng qua BC và vuông góc với SA.

a) Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp S.DBC và S.ABC

b) Tính thể tích của khối chóp S.DBC

HD: a) Hạ SH ⊥(ABC) ⇒H là trọng tâm của ∆ABC đều cạnh a

Gọi E là trung điểm của BC

* Góc tạo bởi cạnh bên SA với đáy (ABC) là ϕ = SAE∧ = 600

* Tính SH: Trong ∆VSAH tại H, ta có: sin600 = SH

SA ⇒SH = SA.sin600 = a Suy ra: VS.ABC =

3

a 3 12

C

B A

S

Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Mặt bên (SAB) là tam giác đều và

vuông góc với đáy Gọi H là trung điểm của AB

a) Chứng minh rằng: SH ⊥(ABCD)

b) Tính thể tích hình chóp S.ABCD

HD: a) * Ta có: mp(SAB) ⊥(ABCD)

* (SAB) ∩(ABCD) = AB; * SH ⊂(SAB)

* SH ⊥AB ( là đường cao của ∆SAB đều)

Suy ra: SH ⊥(ABCD) (đpcm)

3

a 3 6

Bài 11: Cho hình chóp S.ABC có AB = 5a, BC = 6a, CA = 7a Các mặt bên (SAB), (SBC), (SCA) tạo

với đáy

một góc 60 0 Tính thể tích của khối chóp đó.

HD: * Hạ SH ⊥(ABC) và kẻ HM ⊥AB, HN⊥BC, HP ⊥AC

* Góc tạo bởi mặt bên (SAB) với đáy (ABC) là ϕ = SMH∧ = 600

* Ta có: Các ∆vuông SMH, SNH, SPH bằng nhau (vì có chung 1 cạnh

a + a + a = a

Suy ra: SABC = 6 6a2

* Tính SH: Trong ∆VSMH tại H, ta có: tan600 = SH

a

Tính độ dài cạnh bên của hình chóp ĐS: SA = 5

2 a

Bài 13: Một hình chóp tứ giác đều S.ABCD có chiều cao bằng 3

2

a

và thể tích bằng a 3 Tính cạnh đáy của hình chóp ĐS: AB = a 2

Đề cương ôn tập HKI khối 12 CB

S

H C

7a

6a 5a

Bài 14: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có thể tích bằng 3a3 /8, các mặt bên tạo với đáy (ABC) một góc 60 0 Tính độ dài cạng đáy AB ĐS: AB = a 3

 Chủ đề 2: (3 tiết)

Mặt nón Mặt trụ Mặt cầu

Bài 1: Khái niệm về mặt tròn xoay

Bài 1: Trong không gian cho tam giác vuông OAB tại O có OA = 4, OB = 3 Khi quay tam giác

vuông OAB quanh cạnh góc vuông OA thì đường gấp khúc OAB tạo thành một hình nón tròn xoay a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón

Bài 2: Một hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác đều cạnh 2a.

a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón

3

a a a π

Tính: SO = 2 3

3 2

Bài 3: Một hình nón có chiều cao bằng a và thiết diện qua trục là tam giác vuông.

a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón

3 π R h = 1 2

3 π OA SO =

3 2

1

a a a π

Bài 4: Một hình nón có đường sinh bằng l và thiết diện qua trục là tam giác vuông.

a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón

B O

45 S

B A

O

Tính: SO =

2

l

(∆∨SOA tại O)

Bài 5: Một hình nón có đường cao bằng a, thiết diện qua trục có góc ở đỉnh bằng 1200

a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón

b) Tính thể tích của khối nón

HD: a) * Thiết diện qua trục là tam giác SAB cân tại S nên A∧ = B∧ = 300

hay ASO∧ = BSO∧ = 600

Bài 6: Một hình nón có độ dài đường sinh bằng l và góc giữa đường sinh và mặt đáy bằng α.

a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón

b) Tính thể tích của khối nón

HD: a) * Góc giữa đường sinh và mặt đáy là A∧ = B∧ = α

* Sxq = πRl = π.OA.SA = π lcosα.l = π l cos2 α

Tính: OA = lcosα (∆∨SOA tại O)

* Stp = Sxq + Sđáy = π l cos2 α + πl2cos2α = ( 1 + cos α π ) l cos2 α

Tính: SO = lsinα (∆∨SOA tại O)

Bài 7: Một hình nón có đường sinh bằng 2a và diện tích xung quanh của mặt nón bằng 2πa 2 Tính thể tích của hình nón

3

a a a π

B A

O

α l

S

B A

O

2a

S

B A

O

60 S

B A

O