de thi cao hoc

CMR: các điều sau là tương đương: a B là hạng tử trực tiếp trong A.. c Tồn tại đồng cấu f: AB sao cho f/B=idB.. Hãy tìm cơ sở và số chiều của các không gian con ImL, KerL.. Cho px là một

ĐỀ ĐẠI SỐ 2006

ĐỀ THI CAO HỌC TRƯỜNG ĐHSP HÀ NỘI I

Câu 1

Cho nhóm cộng abel A, nhóm con B của A được gọi là hạng tử trực tiếp trong A, nếu tồn tại nhóm con C sao cho C= A + B (theo nghĩa: Mỗi phần tử a∈A, viết được dưới dạng a=b+c, b∈B, c∈C) và B∩C=0 CMR: các điều sau là tương đương:

a) B là hạng tử trực tiếp trong A

b) Tồn tại tự đồng cấu ξ: A→A sao cho ξ(A)=B và ξ2 =ξ

c) Tồn tại đồng cấu f: AB sao cho f/B=idB

Câu 2

Cho ánh xạ tuyến tính L: R3→R3 xác định bởi công thức L(x, y, z)=(2x+y, 0, z-x) Hãy tìm cơ sở và số chiều của các không gian con Im(L), Ker(L)

Câu 3

Cho E, F là hai K-không gian véc tơ hữu hạn chiều, U={e e1 , 2 , ,e n} là cơ sở của E và

u1, u2,…, um là những phần tử của F CMR:

a) Tồn tại duy nhất một đồng cấu f: E→F sao cho f(ei)=ui, i=1, n

b) Nếu f: E→F là một toàn cấu thì tồn tại một đồng cấu g: F→E sao cho f.g=idF Hơn nữa khi đó ta có: E=Img + Kerg và Img∩Kerg=0

Câu 4

Cho p(x) là một đa thức bậc n>0, gọi là bất khả quy trong Q[x] và α là một nghiệm phức của nó CMR: Q[α ]={f( ) /α f x( ) ∈Q[x]}là một không gian véc tơ n-chiều trên Q

-Hết -

Created by Trần Duy Tuấn