Hàm số phân thức

Hàm số phân thức

Bài giảng số 17 HÀM SỐ PHÂN THỨC

đa thức)

§1 BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN VỚI HÀM SỐ PHÂN THỨC

Cấu trúc của bài giảng này tương tự như cấu trúc của bài giảng số 16 (hàm số

_ Kiến thức cơ bản xin xem trong tiết I — bài giảng số 16 Sau đây xét các dạng

toán cơ bản

Loại 1: Tiếp tuyến tại một điểm cho trước trên đường cong

Phương pháp giải như đã trình bày trong loại 1, §1 bai giang 16

Thí dụ 1: (Đề thi tuyến sinh Đại học khối D — 2007)

Cho đường cong y = 2x (C)

x+]

Tìm điểm M e (C) sao cho tiếp tuyến tại M của (C) cắt Ox, Oy tại A, B sao

cho diện tích tam giác OAB bằng 7 ở đây O là gốc toạ độ

Giải

Gọi MỊ xạ; e (€) là điểm cân tìm Ta có y (xo) =————

Xọ +1 (xo + 1)

Do đó phương trình tiếp tuyến với (C) tai M là:

2

— 2Xp _ 2 (x-xy)@y= 2 x+ 2X§

2 2

Từ (1) suy ra Á =(—xạ”; 0) và B le]

(xo +1

Ta ä CÓ: có:S 5oAB =—OA.OB 2 = 2 |-x9 | (xo + 1) —|— =———> (xq + iy

Từ (2) suy ra: ŠoAB =2 cod (e+e =2

0 Giải (3) ta được xạ= l hoặc ae

Như vay M,(1; 1) và Mạ( ta :~2) là hai điểm cần tìm trên (C)

303

Thí dụ 2: (Dé thi tuyển sinh Đại học khối B — 2006)

2

Cho đường cong y = —_— (C) Việt phương trình tiệp tuyên với (C) biết

x+

rằng tiếp tuyến vuông góc với tiệm cận xiên của (C)

Giải

Dễ thấy y=x-llà tiệm cận xiên của (C) (bạn đọc tự nghiệm lại)

Khi đó tiếp tuyến (đ) cần tìm do vuông góc với tiệm cận xiên nên có hệ SỐ góc:

bằng —1 Gọi xạ là hoành độ tiếp điểm, ta có:

(xp +2)

Dé dang giải (1) va ta có: Xo = ae

Áp dụng công thức Y— Yo= Y (XoXX ~ Xo) ta suy ra có hai tiếp tuyến cần tìm

là: y = -x +2J2 —5 vay= -x—2/2~5

Thí dụ 3:

2 Cho đường cong y = ——= (C)

x —

Tim diém Me(C) dé tiép tuyén cat Ox, Oy tương ứng tai A, B sao cho OAB

là tam giác vuông can

Goi M e (€) là điểm cần tìm

Dễ thấy tiếp tuyến với (C) tại M có đạng:

Xã + Xe +Ï Xã —2Xg —2

An ằẶằ (xx)

xạ -Ï (xo - 1)"

Bằng cách lần lượt cho y =0 (cho x=0) trong (1), ta đễ dàng suy ra:

Sapa

Tam giác OAB vuông cân khi và chỉ khi:

2% +2x, =1| _|2xj +2x, - || >0 @)

“42% +2) [ (=1 |

2+V6

(1)

OA =OB>0<

Giải (2) và thu được xạ =

Vậy trên (C) có hai điểm cần tìm là Mạ, M; với hoành độ tương ứng là

;ÄX2” `

304

Thi du 4: Cho duong cong y = 2x

Viét phuong trinh tiếp tuyến với sO biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng

d: y = 2x + 1 một góc 43°

Giai Goi ay là hệ số góc của tiếp tuyến Vì tiếp tuyến tạo với d một góc 45° và do d

có hệ số góc bằng 2, nên ta có:

ay ~ 2 = a =-3 =—

` ` a > Ã ok z ` 3

Gọi xo là hoành độ của tiếp điểm, ta có ay = y(Xo)= — [> >0

(xy +2)

Ta coé a, = —3 bi loai, con ay= — <> == O

(xo + 2Ÿ 3 Xo = =-—5

Từ đó áp dụng công thức y ~ yạ = y’(Xo)(X — Xo) suy ra có hai tiếp tuyến cần

tim la: y= —x+— vay=—x+—

weg tg 27 xa

Chú ý: Ta đã sử dụng công thức quen biết sau: dị, d; là hai đường thắng có hệ

số góc lần lượt là kị, k› Khi đó nếu gọi ơ là góc giữa dị và d; thì

—k,

tanŒœ =i————<^-

1+k)k,

(dĩ nhiên không xét khi dị L d›)

Thi du 5: Cho duong cong y = SS (C) va M là một điểm bắt kì trên (C)

Goi I la giao điểm của hai tiệm cận Tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại A, B

1/ Chứng mình M là trung điểm của AB

2/ Chứng mỉnh tiếp tuyến tại M khong di qua I

Giải Giả sử M e (C) và có hoành độ xạ ọ Ap dụng công thức viết phương trình tiếp

tuyến ta có phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm M là:

Y=————z(xX~Xạ)+ x3 (1)

(xo ~3)

1/ Rõ rang x =3 va y= 3 lần lượt là tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của (C)

Gọi A, B tương ứng là giao điểm của tiếp tuyến (1) với tiệm cận đứng và tiệm cận

2 5} B= (2xạ -3;3)

ngang Khi đó dễ thấy Aclaa +

XQ

305

_ Tit dO: Xq + Xp = 2X = 2xm Mat khác A, M, B thắng hàng, nên M là trung

2/ Dễ thây I(3; 3) Thay x =3 vào về phải của (1) ta có

-(3- Xo) +1 _ 3x9 +2

- Điều đó chứng tỏ rang I không vim trên tiếp tuyến (1) = đpcm

Loại 2: Tiếp tuyến đi qua một điểm cho trước trên đường cong:

Phương pháp giải như phương pháp sử dụng đối với loại 2, §1, bài giảng l6

Thi dul:

Cho đường cong (C): y = x2 và diém A(6; 4) Viét phuong trinh tiép

tuyến với (C) biết rằng tiếp tuyến đi qua A

Giải Tiếp tuyến với C di qua A có dạng: y = y=k(x—6)+ 4(vì x= 6 không thê là tiếp

x? —4x 43

(x-2)

Gọi xạ là hoành độ tiếp điểm, ta có hệ sau:

tuyến của (C)) Ta có: y'=

Xaã—2Xa +ÌÏ "—

Xổ -4Xo T3 _y (2) (x-2}

Thay (2) vào (1) rồi rút gọn (dé y rang cần có điều kiện xạ # 2), ta di đến:

2X¿ — 6xạ= 0 <© xạ= 0 hoặc xạ= 3

+ Khi xạ=0, thì k 1 Tiếp tuyên là y 1 x 2

+ Khi x¿= 3= k= 0 Tiếp tuyến là y = 4

Thí dụ 2:

x+

Cho y = = (C) Tim các diem M trén dudng thang y = 2x+1, sao cho từ M

vẽ được một tiếp "tuyến đến (C)

Giải Goi M(a;2a +1) là điểm cần tìm Đường thắng đi qua M và là tiếp tuyến của

(C) có dạng: y = k(x- ơ) + 2œ +]

Gọi xo là hoành độ tiếp điểm, ta có hệ sau:

Xạ+3

=k(xp-a)+2a+1 (1)

Xạ —Ì

(Xo — 1) VGi diéu kién xo 1, thay (2) vao (1) rồi rút gọn, ta có:

-306

0Xgˆ— 2xo(œ +2)+3aœ+2=0@) Bài toán trở thành tim a dé (3) có đúng một nghiệm khác ]

— Nếu ơ =0, thì (3) có dạng —4xọ + 2 = © xạ= 2

~ Nếu ơ # 0, thì (3) có duy nhất nghiệm và nghiệm này khác † khi:

A'=0

œ Nếu @ #0 thi (3) có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm bằng 1 khi

xo = l là một nghiệm của 2œ-2=0

Tom lai M,(0;1), Mo(—1; -1), M3(1;3), M4(2;5) là bốn điểm cần tìm

Thi du 3:

a=l

2 Cho đường cong y 20 Tìm trên trục Oy các điểm có thể kẻ

x+

đến (C) hai tiếp tuyến vuông góc với nhau

Giải Gia sử M(0;o) là điểm cần tìm Tiếp tuyến với (C) kẻ từ M có đạng: y = kxtơ (l)

Gọi xọ là hoành độ tiếp điểm, có hệ sau:

2x2 +Xq +1 =kxy +0 (1)

Xo +l

2

(xo +1)

Thay (2) vao (1) (voi điều kiện xạ 4-1) rồi rút gọn, ta có

(œ + 1)xạ”+ 2(œ— l)xe+œơ—l1=0 (3)

Bài toán trở thành: Tim a dé (3) có hai nghiệm phân biệt tị, tạ # —1 thỏa mãn

điều kiện

2t +4t; 3: +4 _

(4)

-(h+ŸW ‘(ty +1)"

Ta có (4) c A(tyty)? +8tyty (ty tte) + 16h =-I (8)

[ tity + (ty +t) +1]

Thay tị +tạ= 20 =8) tụ =o! vào (5) rồi rút gọn ta có:

a+ 6a-6=0 Sa=-34VI5 (6)

(Chú ý rằng khi thỏa mãn (6) thì œ+1 # 0, và A'=2(œ-1)>0)

Vậy trên đoạn Oy có hai điểm cần tìm M; (0;-3 + vis) và Mạ (0: ~3— vis)

307

§2 CUC TRI CUA HAM PHAN THUC

P(x)

Q(x)

ax? +bx +c

1/ Với lớp hàm y=———————— (a £ 0, a” # 0) có cực đại, cực tiểu khi và chỉ

a'x+b'

ta luôn sử dụng hai kết qua sau:

Với lớp hàm phân thức y =

khi phương trình y” = 0 có hai nghiệm phân biệt khác -—

a

P(x), _ P(x) _ P'(%o)

c6 cuc tri tal x = Xo khi do ta cd: y(xXg) = =

Xét các thí dụ sau:

Thi du 1: (Dé thi (uyên sinh Dai hoc khôi A -2007)

x?+ 2(m+l)x+ m? +4m

Cho ham sé y= (C,,) Tim m dé hàm số có cực

x+2

đại, cực tiểu cùng với gốc tọa độ O tạo thành tam giác vuông tại Ô

Đường cong (C„) có cực trị khi và chỉ khí phương trình

x? +4x—m? +4

y=——————-=0 (l) có hai nghiệm phân biệt khác -2 Điều này xảy

(x+2}

ra khi và chỉ khi: 3 > <= mF#0(2)

4—-8—-m* +420 m2 +0

Khi thỏa mãn (2), (C„) có cực trị tại hai điểm A(-2-m; -2); B(—2 + m; 4m-2)

Vì thế OAB là tam giác vuông khi:

OA?+ OB?= AB? ©(2+m)ˆ+4+(m-— 2) + (4m - 2)’= (2m) + (4my

©>mˆ+ §m— 8=0 m= -4+2J6 6 (3)

Rõ ràng (3) thỏa mãn (2), nên là các giá trị cần tìm của m

Thi du 2: (Đề thi tuyển sinh Đại học khối B — 2005)

x?+(m+l)x+m+l Goi (Cm) là đồ thị của hàm số y = —— Chứng minh rằng

“x41

voi m bat kì, đồ thị (Ca) luôn luôn có điểm cực đại, cực tiểu và khoảng cách giữa

hai điểm đó bằng V20

Giải

2

Ta có y *= ` +x

(x +1)

và có bảng biến thiên sau:

308

Vay voi moi m, (Cin) !udn c6 cuc dai A(—2;m — 3) và cực tiểu tại B(0; m + 1)

Tacé AB= V2? +4? =/20 => dpcm

Thi du 3: (Dé thi tuyén sinh Dai hoc khéi A — 2005)

* ` A : a A ] ` A ` + A , : ` 2

Goi (C,,) la d6 thi ham so y = mx +— Tim m dé ham số có cực trị và khoảng

x

, ` ok 4 » 4 on ˆ tA 2 * I

cách từ điềm cực tiêu của (C„) đền tiệm cận xién cua (C,,) bang ye

Giai

>

mx* -1

Ta có y'= 0 © x2 =0

Vay (Cy) 66 cực trị khi và chỉ khi phvong trinh mx’-1=0 cé hai nghiém phan

biệt khác 0, tức là khi và chỉ khi m>0

Lúc đó ta có bảng biến thiên sau:

Như thê m>0, hàm số có cực tiêu tại điểm A ——;2Vm

Jim

Dé thay A: y =mx <> mx—y=0 là tiệm cận xiên của (Cm) Từ đó:

| In -2/m

Rõ ràng m = 1 thoả mãn điều kiện m> 0 nên là giá trị cần tìm của m

Thí dụ 4:

2

Cho hàm số y = (Cm) Tìm m đề hàm số có cực đại, cực tiêu và

khoảng cách giữa chúng bằng 10

-x?+3x+m

Ta có y'= ( š Lập luận như các thí dụ trên ta thấy (Cm) có cực frị

l—x

Khi thoả mãn (1) thi (C,,) dat cyc tri tại xị, x;, ở đây xị và xạ là hai nghiệm

Ap dung công thức tính giá trị cực đại và cực tiêu với hàm phân thức, ta có:

yt = y(X1) = 2X) + M; Yo = y(X2) = 2x2+ m

309

Taco:

AB = 10 (x.—x1)'+ (y2— yi) = 100

© (x:~ xi)“= 20 © (xì + x;)”— 4xixạ = 20 (3)

Ap dụng định lí Viet ta có xị + x;= 2; x)xX =—m

Thay vào (3) ta được 4m + 4= 20 © m = 4 (4)

Rõ ràng (4) thỏa mãn (1), nên m = 4 là giá trị duy nhất cần tìm của m

Thi du 5:

Cho hàm sô y =—————— (C,,) Tim m đề (C„) có cực đại, cực

tiểu năm về cùng một phía của trục Ox

Giải

x?—2mx -(m? + 1)

(x-m)

Làm như các thí dụ trên, suy ra (C„) có cực đại, cực tiểu với mọi m

Khi đó (Cm) đạt cực trị tai x), x2, trong d6 x), X; là các nghiệm của

Cực đại, cực tiểu nằm về cùng một phía của trục Ôx, nếu như:

y(X1)- Y(X2) > 0 <> [2x1 + (m + 1)][2x.+ (m+ D)Ị>0

Ta có: y'=

, <> 4xix¿ + 2(m + IXxi + x:) † (m + 1)>0 (2)

Ap dụng định lí Viet, ta có xị + x:= 2m; xiX›= —m”—l

m>-3+243 Thay vào (2) và có m”+ 6m - 3 >0

m<-3—24/3

Nhận xét:

1/ Nếu đòi hỏi cực đại, cực tiểu năm về hai phía của trục tung thì điều kiện là

xị <0 <x¿

2/ Trong các thí dụ 3, 4, việc tính giá trị cực đại cực tiểu y(xị), y(¿) là khó

khăn (không như các thí dy 1, 2) vi thé ta áp dụng công thức

_ P(x) _ P (xo)

(80) = S65) Oey) đã trình bày ở phần mở đầu

Thí dụ 6:

Tìm m đề đường cong ÿ =———————————— (Cm) có cực đại, cực tiêu tại xị, X; SaO

x-m

cho ly(x2)- y(x;)|> 16

Giải

ca 2x” -4mx +2m

Ta có y =——

(x-m)

Dễ thấy (Cm) có cực trị tại xị, x› khi m<0 hoặc m>] (1)

Khi đó (Ca) đạt cực trị tại xị,X›, ở đây xị, xạ là hai nghiệm của phương trình

310

Ta có: |y(xị)— y(x;)|>16 < |4xị -3—4x¿ +3|>16 « |xị =x;| >4

> (X)~X2) >16 <> (xị+x;)“— 4x¡x;>l6 (3)

Ap dụng định lí Viet với (2), ta có x¡†+xạ = 2m; X¡X› = m

Thay vao (3) va c6 m’— m —4>0 <>

m>l +17

Rõ ràng (4) thỏa mãn (1), nên là các giá trị cần tìm của m

(4)

§3 BÀI TOÁN VỀ SỰ TƯƠNG GIAO CỦA ĐỒ THỊ HÀM PHÂN THỨC

Phương pháp giải như phương pháp đã sử dụng trong tiết §3 — bài giảng 16

Thi du 1 (Dé thi tuyén sinh Dai hoc khối A — 2004)

~x? +3x-3 2(x — 1) tại hai điểm A, B sao cho AB = I

Cho đường cong y = (C„) Tìm m đề đường thắng y = m cắt (C)

Giải Trước hết tìm điều kiện để y =m và (C) cắt nhau tại hai điểm phân biệt

Điều này xảy ra khi phương trình

-x? +3x-3

2(x-!) =m (l) có hai nghiệm phân biệt # 1 Ta thay

6e J0) X +( m 3)x+3 2m=0

x#+l

Vậy dé y=m và (Cn) cắt nhau tại hai điểm phân biệt ta cần có

m>Š

©> 4m” -4m -3>0> (2)

tầm -4m~3>0

m<——

2 f()=1z0

Khi thỏa man (2), y = m va (C,,) cắt nhau tại A, B có hoành độ tương ứng là

X1, X2, O day x1, Xz là hai nghiệm của phương trình:

x’ + (2m - 3)x + 3 - 2m = 0 @)

Vì A, B nằm trên đường thẳng y = m, nên

AB=1 © |x; —x¡|=l ©(Œ&›-x)=l© (x1 + x9)’ — 4x)x2 = 1

1+ J5

2

Dé thay (4) thỏa mãn (2), nên là các giá trị cần tìm của m

311

Chú ý: Ta có bài toán hoàn toàn tương tự (Đề rhỉ Đại học khối B—2009)

2

Tim m dé đường thang y = —x + m và đường cong y = cat nhau tai hai

diém phan biét A, B sao cho AB = 4

Giải hoàn toàn tương tự Đáp số m = +26

Thí dụ 2: (Đề thi tuyén sinh Dai hoc khéi A -2003)

Cho duong cong y = — (Cm) Tim m để (C„) cắt trục hoành tại hai

điểm phân biệt có hoành độ đương

Giải (Cm„) cắt trục hoành tại hai điểm phan: biệt có hoành độ dương khi và chỉ khi

phương trình:

mx? +x+m

x-I

có hai nghiệm phân biệt Điều này xảy ra khi và chỉ khi

=0

A=l-4m? >0

P=l>0 -{ <-—<m<0

m 2m+lz0

C?ú ý: Bài toán tương tự (ĐỀ thủ tuyển sinh đại học khối D — 23) có dạng sau

Tìm m để đường thắng y.= mx + 2 ~ 2m cắt đồ thịy -—- Xe tại hai

điểm phân biệt

Với lời giải hoàn toàn tương tự, ta có đáp : số: m>]

Thi du 3: (Dé thi tuyén sinh Dai hoc khối D — 2009)

2 Tìm m để đường thẳng y = -2x + m cắt đường cong y = xixnI (C) tại hai

x điểm phân biệt A, B sao cho trung điểm của AB nằm trên trục tung

Duang cong (Cm) và đường thang đã cho cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B

2

điêu kiện cần và đủ là phương trình : -2x + m = xtx lu

xX phai co hai nghiém phan biét Do khi x = 0, thix’+x +10 nén

(1) ©x(-2x +m) =x”+x— I©3x”/+(I —m)x—- I=0(2)

Vi ~=— <0, nén vdi mọi m thì (2) luôn có hai nghiệm phân biệt

a

Đề trung điểm I của A, B năm trên trục tung cân có xị = 0 Ta có:

~

=0 <©

312