Bài giảng xác suất

Bài giảng xác suất

Bài giảng số 9 XÁC SLIẤT

+

Mặc dù bài toán về xác suất chưa hề có mặt trong các đẻ thi tuyển sinh vào Đại học, Cao đẳng trong các năm từ 2002 - 2009, nhưng kể từ năm 2009 các bài toán về xác suất là một trong các chủ để có mặt trong chương trình thi môn Toán trong các kì thi tuyên sinh vào Đại học và Cao đẳng do Bộ Giáo dục và Đạo tạo quy định (nó được quy định là một trong các nội dung ra thi ở câu số 7 của đề thi)

Vì lẽ đó có nhiều khả năng các bài toán về xác suất sẽ có mặt trong các đề thi môn Toán vào các trường Đại học và Cao đăng trong những mùa thỉ tới

Bài giáng này đề cập đến các bài toán tìm xác suất của một biến cố ngẫu nhiên theo hai phương pháp chính:

- Tìm xác suật của một biến có nhờ định nghĩa về xác suất

- Tìm xác xuất của một biến cố dựa vào các phép tinh cơ bản của lí thuyết xác suất

§1 TÌM XÁC SUẤT CỦA MỘT BIẾN CỐ NHỜ ĐỊNH

NGHĨA VỀ XÁC SUẤT

Đây là một trong hai phương pháp dé tìm xác suất của một biến cố ngẫu nhiên

Để sử dụng được phương pháp đơn giản này ta cần tính hai đại lượng sau : 1/ |O| là số lượng các phân tử của không gian mẫu

2/ |OA| là số lượng các phần tử của tập hợp các khả năng thuận lợi của biến có

L9 Í

JQ

Chú ý rằng việc tính hai đại lượng trên thực chất là giải hai bài toán về các phép đếm — bài toán quan trọng của lí thuyết của các bài toán tổ hợp (xem bài giang 11)

Thi dul:

Cho một hộp đựng 12 viên bi, trong đó có 7 viên bí màu đỏ, 5 viên bi màu xanh Lấy ngau nhiên một lần 3 viên bi Tính xác suất trong hai trường hợp sau:

1/ Lấy được 3 viên bi màu xanh

2/ Lay duge ít nhất 2 viên bỉ màu xanh

Gọi © là tập hợp tất cả các cách lẫy ra 3 viên bi trong số 12 viên bi Ta có:

|O|=Cạ=220 -

1/ Goi A là biến cố “lấy được 3 viên bi màu xanh” Do có 5 viên bỉ màu xanh nên ta có:

Khi đó xác suất của biến ngẫu nhiên A la: P(A) =

|Oa|=Cš =10

Vậy theo định nghĩa của xác suất, ta eo

_ |

~ [Qh “san” 22°

2/ Goi B la bién có “lây được ít nhất 2 viên bi màu xanh”

Đê lây được ít nhật 2 viên bí màu xanh ta có hai cách: ©

- Hoặc lấy ra cả 3 viên bi xanh Theo câu 1 số cách lấy ra là C¿ =l10

- Hoặc lấy ra 2 viền bi xanh, 1 viên bi đỏ Theo quy tắc nhân ta có số cách lấy

ra la: C2.C} =10.7=70

Theo quy tắc cộng ta có: lO, =70+10=80

Theo định nghĩa của xác suất ta có:

Q

p(p)— el - 80.4

‘ol 220 II

Thi du 2:

Trong 100 vé xô số có I vé trúng 100000đ, 5 vé trúng 50000đ, và 10 vé trúng 10000đ Một người mua ngẫu nhiên ba vé

1/ Tìm xác suất để người mua trúng thưởng 300004

2/ Tìm xác suất để người mua trúng thưởng 200000đ

Giải

Gọi 2 1a tap hợp tất cả các cách mua 3 vé trong 100 vé Ta có:

|Q| = Cioo- 1/ Gọi A là biến cố “người mua trúng thưởng 30000đ”

Để trúng thưởng 300004, thì cả ba vé đều trúng thưởng và mỗi vé trúng

|ôal = Cio-

|ĐA|_ Cụ _ 2_-

JQ) ae 2695

2/ Gọi B là biến cố “người mua trúng thưởng 200000đ”

Đề trúng thưởng 200000đ thì do chỉ có I vé trúng 100000đ nên cả 3 vé người mua đều trúng thưởng, trong đó I vé trúng thưởng 100000đ và 2 vé trúng mỗi vé 50000đ Theo quy tắc nhân ta có:

— =10

|Oa| _ 1

ja} a ~ 156200

Theo định nghĩa của xác suất, thì: P(A)=

Từ đó: P(B)=

Thi du 3

1/ Gieo đồng thời hai con xúc sắc Tính xác suất đề:

a/ Tổng số chấm xuất hiện trên hai con là 9

b/ Số chấm xuất hiện trên hai con hơn kém nhau 2

2/ Gieo đồng thời ba con xúc sắc Tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên ba con là 10

Giải 1/ Gọi © là tập hợp tất cả các khả năng xảy ra Ở đây có hai con xúc sắc, mỗi con có 6 khả năng xuất hiện, vậy |O| = 6.6=36

a/ Gọi A là biến cố “tổng các chấm xuất hiện trên 2 con là 9” Các khả năng thuận lợi là: (3;6), (4;5), (6:3), (5:4) Vậy |ĐAl=4

Từ đó:

P(A )= |Đạ| _ =

ja 55 “5:

b/ Gọi B là biến cố “tổng số chấm xuất hién trén hai con hon kém nhau 2” Các khả năng thuận lợi là: (1;3), (2;4), (3;5), (4;6), (3; 1), (4;2), (6;4) Vậy

lai = 8

|Oạ| 8 _2

ja} 36 9“

2/ Goi Q là tập hợp tat cả các khả năng xảy ra Lập luận như trong phần 1/ta có: |Q| = 6.6.6=216

Gọi C là biến cỗ “tổng số chấm xuất hiện trên ba con là 10” Các khả năng thuận lợi của C chính là tổ hợp có tổng bằng 10 sau đây:

(1;3;6), (13435), (2;2;6), (2;3;5), (3;3;4) và các hoán vị có thể của các tổ hợp

ay Do vay

Tir dé: P(B) =

IQ] =6+64+3+64+3= 24

(Dé y rang (13336), (13435), (2;3;5) môi cái có 6 hoán vị nhưng (2;2;6) và (3;3;4) môi cái chỉ có ba hoán vi)

Từ đó suy ra:

Q

P(C)= [Se] _ 24 _ 1,

J9| “ng 9

Trong thí dụ trên, đề tinh |Qal, |Qpg),,Qc| ta da str dung phép ligt ké cac phan tir của tập hợp

Thí dụ 4 :

Có 9 tắm thẻ đánh số từ 1 đến 10 Chọn ngẫu nhiên ra hai tắm thẻ Tính xác

suất để tích của hai số trên hai tắm thẻ là một số chăn

Giải Gọi © là tập hợp tất cả các cách chọn 2 tắm thẻ trong số 9 tắm thẻ Ta có:

|O|= Cỷj= 36

Gọi A là biến cố “tích của hai số trên hai tam thẻ là một số chẵn”

Có hai cách chọn thỏa mãn yêu cầu trên

- Hoặc là cả hai tắm thẻ mang số chẵn Vì có 4 số chẵn trong khoảng từ 1 đến

9, nên số cách chọn ở khả năng này là:

C? =6

- Hoặc là chọn một tắm thẻ mang số chẫn, một tắm thẻ mang số lẻ Theo quy tắc nhân số cách chọn là:

CỊ.C¡ =20

Từ đó theo quy tắc cộng ta có:

_—_ |ĐA|=6+20=26

Theo định nghĩa xác suât suy ra:

|ĐA| _ 26 _ 13

P(A (A)= ‘Jol 36 18

Thí dụ 5

Có 30 tắm thẻ đánh số tir | dén 30 Chọn ngẫu nhiên ra 10 tắm thẻ Tìm xác suất để có 5 tắm thẻ mang số lẻ, 5 tắm thẻ mang số chăn trong đó chỉ có đúng I tắm thẻ mang số chia hết cho 10

Giải Goi Q là tập hợp các cách chọn 10 tâm tâm thẻ trong 30 tắm thẻ Ta có

|O|=Cạo

Trong 30 tắm thẻ có 15 tắm thẻ mang số chăn, 15 tắm thẻ mang số lẻ, 3 tam thẻ mang số chia hết cho 10

Goi A là biển cố “có 5 tắm thẻ mang số lẻ, 5 tấm thẻ mang số chẵn trong đó chỉ có đúng | tam thé chia hết cho 10”

Để tính A ta làm như Sau: Đầu tiên chọn 5 tắm trong 15 tắm mang số lẻ, chọn

4 tam trong 12 tam mang số chăn nhưng không chia hết cho 10, sau cùng chọn l trong 3 tắm mang số chia hết cho 10 Theo quy tắc nhân, ta có:

|Oa|= — C;CpC; *

|lÔ.| Cÿ.CÿC) 99

Vay: P(A) =A} = ee

ay: P(A) |Q| CY 667

Thi du 6:

Một đoàn tàu có 4 toa đỗ ở sân ga Có 4 hành khách từ sân ga lên tàu, mỗi người độc lập với nhau chọn ngẫu nhiên một toa

1/ Tìm xác suất để mỗi toa có đúng 1 người lên tau

2/ Tìm xác suất để I toa có 3 người, một toa có 1 người và hai toa không

có người

Giải Xét dãy số (Xị, Xa, Xạ, X4), trong đó x¡ chỉ số toa mà người ¡ lên tàu

(thí du day 2, 1, 2, 3) chỉ răng người thứ 1 lên toa số 2, người thứ hai lên toa

số l, người thứ ba lên toa số 2, rigười thứ tư lên toa số 3)

Gọi Q là tập hợp tất cả các day (x), X2, X3, X4) tức là tập hợp tất cả các khả

năng lên tàu của 4 hành khách)

Do méi x; € {1, 2, 3, 4} tức là mdi x; đều có 4 khả năng lựa chọn, vậy

|O| = 4* = 256

1/ Gọi A là biến cố “mỗi toa tàu có đúng ! người lên tàu” Để ý rằng một cách khách lên tàu tương ứng một — một với cách chon day (x), X2, X3, X4), trong do xi, x; đôi một khác nhau Số dãy như vậy là 4!, ph vay:

Qa] = 4! = 24

fe) “ác 32”

Từ đó: P(A)=

2/ Gọi B là biến cố “ có 1 toa tàu có 3 người lên, l toa có l người lên, 2 toa không có người” Đề tính |QOp| ta sử dụng quy tắc nhân như sau:

- Chon | toa trong 4 toa để có 3 khách lên, số cách chọn: n,=C¿ =4

- Chon | toa con lai trong 3 toa để có 1 khách lên, số cách chọn: ny = C3 =3

- Với toa có 3 khách lên chọn 3 khách trong 4 khách ngôi toa đó: Số cách

chon n, =C; =4

- Nguoi con lại cho vào toa có |} khach, số cách chon ng=1

Theo quy tắc nhân ta có:

JOsl ~ Tt¡nan:Ha — 48

Q,|

Tirdé: p(B) = (28! 48 3

JQ] 256 16

Một người bỏ ngầu nhiên ba lá thư vào ba chiệc phong bì đã ghi địa chỉ Tính xác suât đê ít nhât có một lá thư bỏ đúng phong bì của nó

Giải

Xét các dãy số (Xi, X2, X3), trong d6 (x1, X2, Xạ) là một hoán vị của ba s6 1, 2, 3,

6 day x; =i tic la la thư thứ ¡ đã bỏ đúng địa chỉ

Gọi Ó là tập hợp tât cả các khả năng bỏ 3 lá thứ vào 3 phong bì Ta có ngay:

(QL

Gọi A là biên cô “có it nhật một lá thư bỏ đúng phong bì” Cac khả năng thuận lợi của A là: (1,2,3); (1,3,2); an (1,3) ,

la} 6 3 Nhận xét:

Ở đây ta đã sử dụng phương pháp liệt kê mọi phần tử của Qa dé tính |OẠ|

§2 TÌM XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ BẰNG CÁCH SỬ DỤNG

CÁC PHÉP TÍNH XÁC SUẤT

Để giải các bài toán bằng phương pháp sử dụng các phép tính xác suất ngoài việc dùng định nghĩa của xác suất, chúng ta còn phải sử dụng thành thạo các quy

tắc cộng xác suất, nhân xác suất và xác suất của biến cô đối

Thi dul

Gieo một cặp hai con xúc sắc 10 lần Tìm xác suất để ít nhất có 1 lần có hai con đều ra mặt “ngũ”

Gọi A; là biến cố “lần thứ ¡ không xuất hiện hai con xúc sắc ra mặt ngũ” Dễ

thấy theo quy tắc nhân

P =—.-=—: 1=1,10 (A) 66 36

Vậy biến cố A; Lần thứ ¡ không xuất hiện có hai con ra mặt “ngũ” có xác

suất:

1 35 P(A; }=1-—P(A, )=1-— =— , Gọi A là biến cố “Có ít nhất một lần có hai mặt ngũ thì A là biến cố “cả 10 lần, không có lần nào có hai con ra mặt ngữ”

Ta có: A= Ay A> cu *n Alo

Theo quy tắc nhân xác suất (để ý rằng A, ,Ao là các biến cố độc lập với nhau) thì

P(A)=P(Ai)P(Ã;)-.P(Aio) = (=

Vậy theo công thức tính xác suất của biến có đối, thì

10

P(A) = 1- P(A) = 1 — | — Wy r-rye-(2

Thí dụ 2:

Một sọt cam rất lớn được phân loại theo cách sau: Chọn ngẫu nhiên 20 quả cam làm mẫu đại diện Nếu mẫu không có quả cam hỏng nào thì sọt cam được xếp loai 1; nếu mẫu có 1 hoặc 2 quả cam hỏng thi sot cam được xếp loại 2, còn lại được xếp loại 3 Giả sử tỉ lệ cam hỏng là 32 Hãy tính xác suất dé:

1/ Sọt cam được xếp loại 1

2/ Sọt cam được xếp loại 2

3/ Sọt cam được xếp loại 3

Giải

Ti lệ cam hỏng là 3%, tức là xác suât lấy ra quả cam hỏng là 0,03; còn xác suất lấy ra 1 quả cam tốt là 0,97

1/ Giả thiết sọt cam rất lớn có nghĩa là phép lấy các quả cam ra là các biến cố độc lập

Goi A là biến cố “sọt cam xếp loại 1” Theo quy tắc nhân, ta có:

P(A) = (0,97)”

2/ Gọi B là biến có “sot cam xếp loại 2”

Gọi Bị là biến cố “trong 20 quả cam lay ra một quả cam hỏng”

Gọi B; là biến cố “trong 20 quả cam lấy ra hai quả cam hỏng”

Khi do B = B, U By, trong dé By, By la hai biến cố xung khắc Theo quy tắc cộng xác suất ta có:

P(Œ)=P(B)+P(B).() Trong 20 quả cam lây ra có 1 quả hỏng, tức là có 1 lân lây ra quả cam hỏng và

19 lần lấy ra quả cam tốt; 20 quá cam hỏng có thê lây ra theo Cj, cách Vậy theo quy tắc nhân ta có:

P(B,)=Cjo(0,03)(0,97)” (2)

Tương tự ta có:

Thay (2) (3) vao (1) ta có:

P(B) = C1 (0,03)(0,97)” + C?a (0,03) (0,97)

3/ Gọi C là biến cố “sọt cam xếp loại 3”, thì C là biến cỗ đối của biến cố

A UB vay P(C) = I- P(A U B) (4)

Do A, B là hai biến cố xung khắc, nên theo quy tắc cộng, ta có:

P(A UB) = P(A) + P(B) (5) Thay (5) vào (4), ta có :

=1~(0,57)”” -C1a(0,03)(0,97) + C?a (0;03)” (0,97)

Nhận xét:

Trong thí dụ trên ta đã sử dụng xen kế quy tắc cộng, quy tắc nhân xác suất và quy tắc tính xác suất của biến có đối

Thí dụ 3:

Một máy bay có 5 động cơ, trong đó 3 động cơ ở cánh phải và 2 động cơ ở cánh trái Mỗi động cơ ở cánh phải có xác suất bị hỏng là 0,1 Còn mỗi động cơ ở cánh trái có xác suất bị hỏng là 0,05, các động cơ hoạt động độc lập Tìm xác suất

để máy bay thực hiện chuyến bay an toàn trong các trường hợp sau đây:

1/ Máy bay chỉ bay được nếu có ít nhất 3 động cơ làm việc

2/ Máy bay chỉ bay được nếu trên mỗi cánh của máy bay có ít nhất một động

cơ làm việc

Giải 1/ Xét trường hợp máy bay thực hiện chuyến bay an toàn nếu như có ít nhất hai động cơ làm việc

Gọi A là biến cố “máy bay thực hiện chuyến bay an toàn”, thì biến cố A là máy bay bay không an toàn Theo quy tắc biến có đối, ta có:

Máy bay không an toàn nêu:

- Hoặc là cả 5 động cơ bị hỏng Theo quy tắc nhân xác suất dé điều này xảy ra với xác suất:

(0,1)°(0,05)’

- Hoặc là chỉ có một động cơ ở cánh phải làm việc, còn lại mọi động cơ bị hỏng Theo quy tắc cộng và nhân xác suất điều này xây ra với xác suất

C3 (0,05)(0,95)(0, y

Theo quy tắc cộng xác suất ta có:

P(A) =(0,1)' (0,05)° +C5(0,1)" (0,9)(0,05)° +C} (0,05)(0,95)(0,1)"

Thay (2) vao (1) ta cé:

P(A) = 1— 0,00016 = 0,99984

2/ Xét trường hợp máy bay thực hiện chuyến bay an toàn nếu như ở mỗi cánh

it nhất có ] động cơ hoạt động Gọi B là biến có “may bay thực hiện chuyến bay an toản”, thì

Máy bay bay không an toàn nêu:

- Hoặc là cả ba động cơ bên phải bị hỏng Điều này xảy ra có xác suất (0,1

- Hoặc là cả hai động cơ bên trái bị hỏng Điều này xảy ra với xác suất (0,05

Theo quy tắc cộng ta có: P(B )= (0 1)’ +(0, 05) =0,0035 (4)

Thay (4) vào (3) ta có P(B) = | — 0,0035 = = 0,9965

Nhận xét:

Qua thi dy nay ta thay rõ vai trò của phương pháp tính P(A) qua P( A) (sử

dụng xác suất của biến cố đối)

Một vận động viên băn súng, băn ba viên đạn Xác suât đề trúng cả ba viên

vòng 10 là 0,0008, xác suất đề 1 viên trúng vòng 8 là 0,15 và xác suat dé | vién trúng vòng dưới 8 là 0,4 Biết rằng các lần bắn là độc lập với nhau Tìm xác suất dé vận động viên đạt ít nhất 28 điểm

Goi A Ia bién co “1 vién tring vòng 10” Khi đó từ giả thiết, ta có:

củ 0,0008 = (P(A))’ => P(A) = 0,2 (1)

Goi B la bien co “1 vién tring vong 9”

C la bién cé “1 vién tring vong 8” va D Ia bién cé “1 vién tring vong dưới 8” Theo giả thiết ta có: P(C) = 0,15; P(D) = 0,4 (2)

R6 rang A, B,C, D 1a 4 biến cố đôi một xung khắc với nhau, nên ta có:

1=P(AUBUC UD)=P(A)+ P(B)+ P(C)+ P(D) 3)

Từ (1), (2), (3) suy ra P(B) = 1 — (0,2+0,15+0,4) = 0,25 (4)

Goi X là biến cố “vận động viên đạt ít nhất 28 điểm”

- Hoặc là 2 viên trúng vòng 10; l viên trúng vòng 8 Theo quy tắc cộng và nhân xác suất, điều này xảy ra VỚI xác suất Cc} (0,2) (0,1 5)

- Hoặc là hai viên trúng vòng 9; 1 viên trúng vòng 10 Theo quy tắc cộng và

nhân xác suất, điều này xảy ra với xác suất Cỷ (0, 25)” (0.2)

- Hoặc là hai viên trúng vòng 10, l viên trúng vòng 9 Ta có điều này xảy ra

với xác suất

C3 (0,2) (0,25)

- Hoặc cả ba viên trúng vòng l0 với xác suất theo giả thiết 0,008

Theo quy tắc cộng xác suất của các biến cố xung khắc, ta có:

P(X) = C; ?(0,2} (0,15) +C; (0,25) (0,2)+C; (0,2) (0,25) + 0,008

=0,018 + 0,0357 + 0,03 + 0,008 = 0,0935 ; Vậy vận động viên ban sung dat it nhat 28 diém vdi xac suat la 0,0935

Nhận xét:

Đây là một thí dụ thuần túy sử dụng quy tắc cộng và nhân xác suất

Thi du 5:

Trong 1 lớp học có 6 bóng đèn, mỗi bóng có xác suất bị cháy là Lớp học đủ ánh sáng nếu có ít nhất 4 bóng đèn sáng Tìm xác suất để lớp học có đủ ánh sáng

Giải

, oe HT) cày £ £ ` TS 33 cope £

Gọi A, B, C tương ứng là các biên cô “lớp có 6 bóng đèn sáng”, “lớp cd 5 bóng đèn sáng” và “lớp có 4 bóng đèn sáng”

Mỗi bóng có xác suất sáng là - Theo quy tắc cộng và nhân xác suất, ta có:

P(A)=| — | ;P(B)=Ce} —] | —

47,\2

3 I

P(C)=C¿|—||—]

Gọi X là biến cố “lớp học đủ ánh sáng” Ta có:

P(X)=P(A)+P(B)+ P(C)=0,8305

Thí dụ 6:

Một bài thi trắc nghiệm gồm 12 câu hỏi, mỗi câu hỏi có 5 phương án trả lời, nhưng chỉ có I phương án đúng Mỗi câu trả lời đúng được 4 điểm và mỗi câu trả lời sai bị trừ đi I điểm Một học sinh kém làm bài bằng cách chọn hú họa một câu

trả lời Tìm xác suất dé:

1/ Học sinh đó được 13 điểm 2/ Học sinh đó bị điểm âm

1/Gọi x là số câu trả lời đúng, 12—x là số câu trả lời sai

Đề được 13 điểm ta cần có:

4x — (12-x)=13

@x=5

Bài toán trở thành: Tìm xác suất để học sinh đó có 5 câu trả lời đúng

Xác suất để có câu trả lời đúng là 5 (va sai la =), Theo quy tắc cộng và nhân

xác suất để học sinh đó được 13 điểm là:

yay

P =C), B B ~ 0,0532

5) \5 2/ Anh ta bị điểm âm khi

4x-(12-x)<0 © x< $ «©x=0,I,2 (do x nguyên)

Gọi A là biến cố “trả lời sai toàn bộ”, B là biến cố “trả lời đúng 1 câu”, C là biến có “trả lời đúng 2 câu” Lập luận như phần 1/ ta có:

4 12 14 1

P(A)=|Š) ~0,0687; »(B)=cl,{ +2) ~ 0,2064 ;

2 (1 2 4 10

P(C)=Ci, s} ls ~ 0,2835

Goi X la biến cé “bi diém 4m”, thi X = AU BU C, trong dé ré rang A, B, C

là các biến cố đôi một xung khắc Theo quy tắc cộng xác suất, ta có:

P(X) = P(A) + P(B)+ P(C)= 0,5583 , Thí dụ 7:

Một người say rượu bước 8 bước Mỗi bước anh ta tiễn lên phía trước Im

hoặc lùi lại phía sau Im với xác suất như nhau Tìm xác suất để

1/ Anh ta trở lại điểm xuất phát

2/ Anh ta cách điểm xuất phát hơn 4m

1/ Anh ta quay lai diém xuat phát nêu nhu trong 8 budc cé 4 bước tiến, 4 bước

lùi Theo quy tắc cộng và nhân xác suất, xác suất xây ra trong trường hợp này là:

4 4 8

roci(} (LY) -ac(t)- 2

2/ Goi x la số bước tiến lên và 8—x sẽ là số bước lùi Khoảng cách giữa anh

say rượu và điểm xuất phát là:

, |x —(8 — x)} = [2x — 8] ©

Từ đó theo giả thiết ta có: _

x>6 J2x-8|>4©

x<2

©x=0,1;7;8 (do x nguyên)

Vì thế áp dụng các quy tắc cộng và nhân xác suất, thì xác suất trong trường hợp này là:

°=q(2) :dD) ]*5)|s) vel) max 2 27 \2 2/2 2 128 Nhận xét:

Qua 7 thí dụ trên các bạn đã thấy rõ tính hiệu quả của phương pháp sử dụng

“các định lí về phép tính xác suất” để tìm xác suất của một biển cô

Thí dụ 8: (Thí dụ sử dụng công thức “Cộng suy rộng”

P(A UB) = P(A)+P(B) —P(AB)

Chon ngau nhiên một vé xổ số có 5 chữ số Tìm xác suất để số của vé ấy không có chữ số 1 hoặc không có chữ số 5

Giải

Gọi A là biến cố “vé không có chữ số l” Ta có ngay theo định nghĩa của xác suất và quy tắc nhân xác suất

9 \5 P(A) (=)

Goi B là biến cố “vé không có chữ số 5”, thì ta cũng có: