SKKN toán mới - B

Kinh nghiệm thực tế cho thấy rằng, không có phơng pháp chung nhất cho việc vẽ thêm các yếu tố phụ, mà là một sự sáng tạo trong trong khi giải toán, bởi vì việc vẽ thêm các yếu tố phụ cần

Phần I - Đặt vấn đề

Đào tạo thế hệ trẻ trở thành những ngời năng động sáng tạo, độc lập tiếp thu tri thức khoa học kỹ thuật hiện đại, biết vận dụng và thực hiện các giải pháp hợp lý cho những vấn đề trong cuộc sống xã hội và trong thế giới khách quan là một vấn đề mà nhiều nhà giáo dục đã và đang quan tâm.Vấn đề trên không nằm ngoài mục tiêu giáo dục của Đảng và Nhà nớc ta trong giai đoạn lịch sử hiện nay

Trong tập hợp các môn nằm trong chơng trình của giáo dục phổ thông nói chung, trờng THCS nói riêng, môn Toán là một môn khoa học quan trọng,

nó là cầu nối các ngành khoa học với nhau đồng thời nó có tính thực tiễn rất cao trong cuộc sống xã hội và với mỗi cá nhân

Đổi mới phơng pháp dạy học đợc hiểu là tổ chức các hoạt động tích cực cho ngời học, kích thích, thúc đẩy, hớng t duy của ngời học vào vấn đề mà họ cần phải lĩnh hội Từ đó khơi dậy và thúc đẩy lòng ham muốn, phát triển nhu cầu tìm tòi, khám phá, chiếm lĩnh trong tự thân của ngời học từ đó phát triển, phát huy khả năng tự học của họ Đối với học sinh bậc THCS cũng vậy, các

em là những đối tợng ngời học nhạy cảm việc đa phơng pháp học tập theo h-ớng đổi mới là cần thiết và thiết thực Vậy làm gì để khơi dậy và kích thích nhu cầu t duy, khả năng t duy tích cực, chủ động, độc lập, sáng tạo phù hợp với

đặc điểm của môn học đem lại niềm vui hứng thú học tập cho học sinh? Trớc vấn đề đó ngời giáo viên cần phải không ngừng tìm tòi khám phá, khai thác, xây dựng hoạt động, vận dụng, sử dụng phối hợp các phơng pháp dạy học trong các giờ học sao cho phù hợp với từng kiểu bài, từng đối tợng học sinh, xây dựng cho học sinh một hớng t duy chủ động, sáng tạo

Vấn đề nêu trên cũng là khó khăn với không ít giáo viên nhng ngợc lại, giải quyết đợc điều này là góp phần xây dựng trong bản thân mỗi giáo viên một phong cách và phơng pháp dạy học hiện đại giúp cho học sinh có hớng t duy mới trong việc lĩnh hội kiến thức Toán

Phần II - Nội dung đề tài

I/ Những lý do chọn đề tài.

Trong khi tìm phơng pháp giải toán hình học, ta gặp một số bài toán mà nếu không vẽ thêm đờng phụ thì có thể bế tắc Nếu biết vẽ thêm đờng phụ thích hợp tạo ra sự liên hệ giữa các yếu tố đã cho thì việc giải toán trở lên thuận lợi hơn, dễ dàng hơn Thậm chí có bài phải vẽ thêm yếu tố phụ thì mới

tìm ra lời giải Tuy nhiên vẽ thêm yếu tố phụ nh thế nào để có lợi cho việc giải toán là điều khó khăn và phức tạp

Kinh nghiệm thực tế cho thấy rằng, không có phơng pháp chung nhất cho việc vẽ thêm các yếu tố phụ, mà là một sự sáng tạo trong trong khi giải toán, bởi vì việc vẽ thêm các yếu tố phụ cần đạt đợc mục đích là tạo điều kiện

để giải đợc bài toán một cách ngắn gọn chứ không phải là một công việc tuỳ tiện Hơn nữa, việc vẽ thêm các yếu tố phụ phải tuân theo các phép dựng hình cơ bản và các bài toán dựng hình cơ bản, nhiều khi ngời giáo viên đã tìm ra cách vẽ thêm yếu tố phụ nhng không thể giải thích rõ cho học sinh hiểu đợc vì sao lại phải vẽ nh vậy, khi học sinh hỏi giáo viên: Tại sao cô (thầy) lại nghĩ ra

đợc cách vẽ đờng phụ nh vậy, ngoài cách vẽ này còn có cách nào khác không? hay: tại sao chỉ vẽ thêm nh vậy mới giải đợc bài toán? gặp phải tình…

huống nh vậy, quả thật ngời giáo viên cũng phải rất vất vả để giải thích mà có khi hiệu quả cũng không cao, học sinh không nghĩ đợc cách làm khi gặp bài toán tơng tự vì các em cha biết các căn cứ cho việc vẽ thêm yếu tố phụ Từ thực tế giảng dạy tôi thấy rằng: để giải quyết vấn đề này một cách triệt để, mặt khác lại nâng cao năng lực giải toán và bồi dỡng khả năng t duy tổng quát cho học sinh, tốt nhất ta nên trang bị cho các em nhng cơ sở của việc vẽ thêm đ-ờng phụ và một số phơng pháp thđ-ờng dùng khi vẽ thêm yếu tố phụ, cách nhận biết một bài toán hình học cần phải vẽ thêm yếu tố phụ, từ đó khi các em tiếp xúc với một bài toán, các em có thể chủ động đợc cách giải, chủ động t duy tìm hớng giải quyết cho bài toán, nh vậy hiệu quả sẽ cao hơn

ii/ Những cơ sở của việc vẽ thêm yếu tố phụ.

I - Cơ sở lý luận.

Việc vẽ thêm các yếu tố phụ phải tuân theo các phép dựng hình cơ bản và một số bài toán dựng hình cơ bản Sau đây là một số bài toán dựng hình cơ bản trong chơng trình THCS:

Bài toán 1: Dựng một tam giác biết độ dài ba cạnh của nó là a; b; c.

Giải:

Cách dựng:

- Dựng tia Ax

- Dựng đờng tròn(A; b) Gọi C là giao điểm của đờng tròn ( A; b) với tia Ax Đỗ Thị Thu Hiền THCS CHí Tân – Khoái Châu – Hng Yên

c b a

B

b

a c

- dựng đờng tròn (A; c) và đờng tròn (C; a), gọi B là giao điểm của chúng Tam giác ABC là tam giác phải dựng vì có AB = c; AC = b; BC = a

Bài toán 2: Dựng một góc bằng góc cho trớc.

Cách dựng:

- Gọi xOy là góc cho trớc Dựng đờng tròn (O; r) cắt Ox ở A và cắt Oy ở B ta

đ-ợc ∆OAB

- Dựng ∆O A B = ’ ’ ’ ∆OAB ( c- c- c) nh bài toán 1, ta đợc Oˆ ' = Oˆ

Bài toán 3: Dựng tia phân giác của một góc xAy cho trớc.

Cách dựng:

- Dựng đờng tròn ( A; r) cắt Ax ở B và cắt Ay ở C

- Dợng các đờng tròn ( B; r) và ( C; r) chúng cắt nnhau ở D Tia AD là tia phân giác của xAy

Thật vậy: ∆ABD = ∆ACD ( c- c- c) ⇒ Aˆ 1 = Aˆ 2

Bài toán 4: Dựng trung điểm của đoạn thẳng AB cho trớc.

Cách dựng:

- Dựng hai đờng tròn ( A; r ) và ( B; r ) ( AB< r < AB )chúng cắt nhau tại C,

D Giao điểm của CD và AB là trung điểm của AB

y

x

O

A

x

O

A

A’

B’

x

y

z A

B

C

D r

r 1

2 C

B A

*Chú ý: đây cũng là cách dựng đờng trung trực của đoạn thẳng cho trớc.

Bài toán 5: Qua điểm O cho trớc, dựng đờng thẳng vuông góc với đờng thẳng

a cho trớc.

Cách dựng:

- Dựng đờng tròn ( O; r) cắt a tại A, B

- Dựng đờng trung trực của AB

Trên đây là các bài toán dựng hình cơ bản, khi cần thì sử dụng mà không cần nhắc lại cách dựng

Khi cần vẽ thêm đờng phụ để chứng minh thì cũng phải căn cứ vào những đ-ờng cơ bản đã dựng để vẽ thêm không nên vẽ một cách tuỳ tiện

I - Cơ sở thực tế

Ta đã biết nếu hai tam giác bằng nhau thì suy ra đợc các cặp cạnh tơng ứng bằng nhau, các cặp góc tơng ứng bằng nhau Đó chính là lợi ích của việc chứng minh hai tam giác bằng nhau

Vì vậy muốn chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau (hay hai góc bằng nhau) ta thờng làm theo các bớc sau:

Bớc 1: Xét xem hai đoạn thẳng( hay hai góc) đó là hai cạnh (hay hai góc) thuộc hai tam giác nào?

Bớc 2: Chứng minh hai tam giác đó bằng nhau

Bớc 3: Từ hai tam giác bằng nhau, suy ra cặp cạnh ( hay cặp góc) tơng ứng bằng nhau

Tuy nhiên trong thực tế giải toán thì không phải lúc nào hai tam giác cần có cũng đợc cho ngay ở đề bài mà nhiều khi phải tạo thêm các yếu tố phụ mới xuất hiện đợc các tam giác cần thiết và có lợi cho việc giải toán Vì vậy yêu cầu đặt ra là làm thế nào học sinh có thể nhận biết cách vẽ thêm đợc các yếu

tố phụ để giải toán hình học nói chung và toán hình học 7 nói riêng Qua thực Đỗ Thị Thu Hiền THCS CHí Tân – Khoái Châu – Hng Yên

O

D

B A

tế giảng dạy tôi đã tích luỹ đợc một số cách vẽ yếu tố phụ đơn giản và thiết thực, khi hớng dẫn học sinh thực hiện giải toán đã có kết quả tốt

phần III: một số phơng pháp vẽ yêú tố phụ.

Bây giờ chúng ta cùng nghiên cứu một số cách đơn giản nhất, thông dụng nhất để vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán Hình học 7:

Cách 1: Vẽ trung điểm của một đoạn thẳng, vẽ tia phân giác của một góc

Bài toán 1: Cho tam giác ABC có AB = 10 cm; BC = 12 cm, D là trung điểm của cạnh AB Vẽ DH vuông góc với BC( H ∈ BC) sao cho DH = 4cm

Chứng minh rằng tam giác ABC cân tại A

1) Phân tích bài toán:

Bài cho tam giác ABC có AB = 10 cm; BC = 12 cm, D là trung điểm của cạnh

AB Vẽ DH vuông góc với BC( H ∈ BC) và DH = 4cm

Yêu cầu chứng minh tam giác ABC cân tại A

2) Hớng suy nghĩ:

∆ABC cân tại A ⇔ AB = AC Ta nghĩ đến điểm phụ K là trung điểm của BC Vậy yếu tố phụ cần vẽ là trung điểm của BC

3) Chứng minh:

Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng BC,

ta có: BK = KC = BC 6

2

1

= cm

Lại có: BD = AB

2

1 = 5 cm ( do D là trung

điểm của AB) Xét ∆ HBD có: BHD = 900 ( gt), theo định lí Pitago ta có:DH2 + BH2 = BD2

⇒ BH2 = BD2 - DH2 = 52 – 42 = 9 ⇒ BH = 3 ( cm)

Từ đó: BD = DA; BH = HK ( = 3 cm)

⇒ DH // AK ( đờng nối trung điểm 2 cạnh của tam giác thì song song với cạnh thứ 3)

Ta có: DH ⊥ BC, DH // AK ⇒ AK ⊥ BC

Xét ∆ ABK và ∆ACK có:

• BK = KC ( theo cách lấy điểm K)

• AKB = AKC = 900

• AK là cạnh chung

GT

∆ABC; AB = 10cm;

BC = 12 cm;

AB 2

1 DB

DA = = ; DH ⊥ BC

DH = 4 cm

KL ∆ ABC cân tại A

AA

D

⇒ ∆ ABK = ∆ACK (c – g – c)

⇒ AB = AC ⇒∆ ABC cân tại A

4) Nhận xét:

Trong cách giải bài toán trên ta đã chứng minh AB = AC bằng cách tạo ra hai tam giác bằng nhau chứa hai cạnh AB và AC từ việc kẻ thêm trung tuyến AK, việc chứng minh còn sử dụng thêm một bài toán phụ là: Trong một tam giác ,

đờng thẳng đi qua trung điểm cạnh thứ nhất và cạnh thứ hai thì song song với cạnh thứ ba, kiến thức về đờng trung bình này học sinh sẽ đợc nghiên cứu trong chơng trình toán 8 nhng ở phạm vi kiến thức lớp 7 vẫn có thể chứng minh

đợc, việc chứng minh dành cho học sinh khá giỏi, trong bài này có sử dụng kết quả của bài toán mà không chứng minh lại vì chỉ muốn nhấn mạnh vào việc vẽ thêm yếu tố phụ

Bài toán 2: Cho tam giác ABC có Bˆ=Cˆ; chứng minh rằng: AB = AC?( Giải bằng cách vận dụng trờng hợp bằng nhau góc – cạnh – góc của hai tam giác)

!) Phân tích bài toán:

Bài cho: tam giác ABC có Bˆ = Cˆ; Yêu cầu: chứng minh rằng: AB = AC

2) Hớng suy nghĩ:

Đờng phụ cần vẽ thêm là tia phân giác AI của BAC (I∈ BC)

3) Chứng minh:

GT ∆ABC; Bˆ =Cˆ

Vẽ tia phân giác AI của BAC (I∈ BC)

2

1

Aˆ

Aˆ1= 2= (1) Mà Bˆ =Cˆ ( gt)

⇒ I1 =I2 (2)

Xét ∆ ABI và ∆ ACI ta có:

• I1=I2 ( theo (2))

• Cạnh AI chung

• Aˆ 1 = Aˆ 2 ( theo (1))

⇒ ∆ ABI = ∆ ACI ( g – c – g)

⇒ AB = AC (2 cạnh tơng ứng)

4) Nhận xét:

Đỗ Thị Thu Hiền THCS CHí Tân – Khoái Châu – Hng Yên

A

I

1 2 1

Trong cách giải trên, ta phải chứng minh AB = AC bằng cách kẻ thêm đoạn thẳng AI là tia phân giác của góc BAC để tạo ra hai tam giác bằng nhau.Tơng

tự ta có thể chứng minh AB = AC bằng cách kẻ thêm đoạn thẳng AI là đuờng cao để tạo ra hai tam giác bằng nhau

Cách 2: Trên một tia cho trớc, đặt một đoạn thẳng bằng đoạn thẳng cho tr-ớc.

Bài toán 3: Chứng minh định lí: Trong tam giác vuông, trung tuyến thuộc cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền ( Bài 25/ 67- SGK toán 7 tập 2)

1) Phân tích bài toán:

Bài cho Tam giác ABC vuông tại A, AM là đờng trung tuyến ứng với cạng

huyền, yêu cầu chứng minh: BC 2 AM BC

2

1

2) Hớng suy nghĩ:

Ta cần tạo ra đoạn thẳng bằng 2.AM rồi tìm cách chứng minh BC bằng đoạn thẳng đó Nh vậy dễ nhận ra rằng, yếu tố phụ cần vẽ thêm là điểm D sao cho

M là trung điểm của AD

3) Chứng minh:

GT ∆ABC; Aˆ = 90 0 ;

AM là trung tuyến

2

1

AM =

Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho: MD = MA

Xét ∆ MAC và ∆ MDB ta có:

• MA = MD ( theo cách lấy điểm D)

• M1 = M2 ( vì đối đỉnh)

• MB = MC ( Theo gt)

⇒ ∆ MAC = ∆ MDB ( c - g - c)

B

A

C M

D 1

1

2

⇒ AB = CD (2 cạnh tơng ứng) (1)

và Aˆ1 = Dˆ (2 góc tơng ứng)

⇒ AB // CD ( vì có cặp góc so le trong bằng nhau)

Lại có: AC ⊥ AB ( gt)

⇒ AC ⊥CD (Quan hệ giữa tính song song và vuông góc) hay Aˆ = Cˆ = 90 0 (2) Xét ∆ ABC và ∆ CDA có:

• AB = CD ( Theo (1))

• Aˆ = Cˆ = 90 0( Theo (2))

• AC là cạnh chung

⇒ ∆ ABC = ∆ CDA ( c – g – c)

⇒ BC = AD (2 cạnh tơng ứng) Mà AD

2

1

2

1

AM =

4) Nhận xét: Trong cách giải của bài tập trên, để chứng minh BC

2

1

đã vẽ thêm đoạn thẳng MD sao cho MD = MA, do đó AD

2

1

AM = Nh vậy chỉ còn phải chứng minh AD = BC Trên một tia cho trớc, đặt một đoạn thẳng bằng một đoạn thẳng khác là một trong những cách vẽ đờng phụ để vận dụng trờng hợp bằng nhau của tam giác

Bài toán 4: Cho tam giác ABC có AB < AC Gọi M là trung điểm của BC So sánh BAM và MAC ?( Bài 7/ 24 SBT toán 7 tập 2)

1) Phân tích bài toán:

Bài cho tam giác ABC có AB < AC, M là trung điểm của BC

Yêu cầu : So sánh BAM và MAC?

2) Hớng suy nghĩ:

Hai góc BAM và MAC không thuộc về một tam giác Do vậy ta tìm một tam giác có hai góc bằng hai góc BAM và MAC và liên quan đến AB, AC vì đã có

AB < AC Từ đó dẫn đến việc lấy điểm D trên tia đối của tia MA sao cho

MD = MA Điểm D là yếu tố phụ cần vẽ thêm để giải đợc bài toán này

3) Lời giải:

GT ∆ABC; AB < AC

M là trung điểm BC

Đỗ Thị Thu Hiền THCS CHí Tân – Khoái Châu – Hng Yên

B

A

C

D

1

1 2

KL So sánh BAM và MAC?

Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho: MD = MA

Xét ∆ MAB và ∆ MDC ta có:

• MA = MD ( theo cách lấy điểm D)

• M1 = M2 ( vì đối đỉnh)

• MB = MC ( Theo gt)

⇒ ∆ MAB = ∆ MDC ( c - g - c)

⇒ AB = CD (2 cạnh tơng ứng) (1)

và Aˆ1 = Dˆ (2 góc tơng ứng) (2)

Ta có: AB = CD ( Theo (1)), mà AB < AC ( gt) ⇒CD < AC (3) Xét ∆ACD có:

CD < AC ( theo (3))

⇒ Aˆ 2 < Dˆ (Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác)

⇒ Mà Aˆ1 = Dˆ ( theo (2))

1

2 Aˆ

Aˆ < hay BAM < MAC

4) Nhận xét:

Trong cách giải của bài tập trên, ta phải so sánh hai góc không phải trong cùng một tam giác nên không vận dụng đợc định lí về quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác Ta đã chuyển A1 và A2 về cùng một tam giác bằng cách vẽ đờng phụ nh trong bài giải, lúc đó A1 = D, ta chỉ còn phải so sánh D và A2 ở trong cùng một tam giác ADC

Cách 3: Nối hai điểm có sẵn trong hình hoặc vẽ thêm giao điểm của hai đờng thẳng.

Bài toán 5: Cho hình vẽ, biết AB // CD; AC // BD CMR: AB = CD, AC = BD? (

A

( Bài toán còn đợc phát biểu dới dạng: Chứng minh định lí: Hai đoạn thẳng song song bị chắn giữa hai đờng thẳng song song thì bằng nhau)

1) Phân tích bài toán:

Bài cho hình vẽ, biết AB // CD; AC // BD

Yêu cầu chứng minh: AB = CD, AC = BD

2) Hớng suy nghĩ:

để chứng minh AB = CD, AC = BD cần tạo ra tam giác chứa các cặp cạnh trên, yếu tố phụ cần vẽ là nối B với C hoặc nối A với D

3) Chứng minh:

GT AB // CD; AC // BD

KL AB = CD; AC = BD

Xét ∆ ABD và ∆ DCA có:

• BAD = CDA ( so le trong AB // CD)

• AD là cạnh chung

• ADB = DAC( so le trong AC // BD)

⇒ ∆ ABD = ∆ DCA ( g – c – g)

⇒ AB = CD; AC = BD ( các cạnh tơng ứng)

4) Nhận xét: Việc nối AD làm xuất hiện trong hình vẽ hai tam giác có một cạnh chung là AD, muốn chứng minh AB = CD; AC = BD ta chỉ cầnm chứng minh ∆ ABD = ∆ DCA Do hai tam giác này đã có một cạnh bằng nhau( cạnh chung) nên chỉ cần chứng minh hai cặp góc kề cạnh đó bằng nhau là vận dụng đợc trờng hợp bằng nhau góc – cạnh – góc Điều này thực hiện đợc nhờ vận dụng tính chất của hai đờng thẳng song song

Cách 4: Từ một điểm cho trớc, vẽ một đờng thẳng song song hay vuông góc với một đờng thẳng

Bài toán 6: Tam giác ABC có đờng cao AH và trung tuyến AM chia góc A thành

ba góc bằng nhau

Chứng minh rằng ∆ ABC là tam giác vuông và ∆ ABM là tam giác đều?

1) Phân tích bài toán:

Đỗ Thị Thu Hiền THCS CHí Tân – Khoái Châu – Hng Yên

B A

Bài cho ∆ ABC có đờng cao AH và trung tuyến AM chia góc A thành ba góc bằng nhau Yêu cầu ta chứng minh ∆ ABC là tam giác vuông và ∆ ABM là tam giác đều

2)Hớng suy nghĩ:

Muốn chứng minh tam giác ABC vuông tại A ta cần kẻ thêm đờng thẳng vuông góc với AC và chứng minh đờng thẳng đó song song với AB, từ đó suy suy ra

AB ⊥ AC và suy ra A = 900

3) Chứng minh:

Vẽ MI ⊥ AC ( I ∈ AC) Xét ∆ MAI và ∆ MAH có:

• Hˆ = Iˆ = 90 0( gt)

• AM là cạnh chung) ⇒ ∆ MAI = ∆ MAH ( cạnh huyền – góc nhọn)

• Aˆ 2 = Aˆ 3 (gt) ⇒ MI = MH ( 2 cạnh tơng ứng) (1) Xét ∆ ABH và ∆ AMH có:

2

1 Hˆ 90

Hˆ = = ( gt)

• AH là cạnh chung ⇒∆ ABH = ∆ AMH ( g – c - g)

• Aˆ1 = Aˆ 2 ( gt) ⇒ BH = MH ( 2 cạnh tơng ứng) (2)

2

1 MI CM

2

1 BM 2

1 MH

Xét ∆ vuông MIC có: CM

2

1

MI = nên Cˆ = 30 0 từ đó suy ra: HAC = 600

2

3 HAC 2

3

Vậy ∆ ABC vuông tại A

Vì Cˆ = 30 0 ⇒ Bˆ = 60 0 ;

2

1

MB = ( tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông)

∆ ABM cân và có 1 góc bằng 600 nên nó là tam giác đều

4) Nhận xét:

GT

∆ ABC; AH ⊥BC;

trung tuyến AM;

3 2

1 Aˆ Aˆ

Aˆ = =

KL ∆ ABC vuông ;

∆ ABM đều

I A

1 2 3

2 1