Đề khảo sát lần 2 (09-10)

2 Viết phương trình các tiếp tuyến của đồ thị C, biết tiếp tuyến đi qua A2; 4.. Hãy tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị C và tiếp tuyến của C tại A2; 4.. Tính thể tích khối đa

ĐỀ KHẢO SÁT HS KHÁ GIỎI LẦN 2 NĂM 2010

MÔN: TOÁN - LỚP 12 Thời gian làm bài: 150 phút

A/ PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH

Câu I (2 điểm) Cho hàm số: y x 3 3x2 (1)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1)

2) Viết phương trình các tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến đi qua A(2; 4) Hãy tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và tiếp tuyến của (C) tại A(2; 4)

Câu II (3 điểm) Giải các phương trình và hệ phương trình sau:

1) sin 3 cosx x 2sin 3xcos 3 1 sinx  x 2cos3x 0

2)

2 2

2

2 1

xy

x y







3) 3.8x 4.12x 18x 2.27x 0

Câu III (Khối A: 2 điểm; Khối B,D: 3 điểm)

1) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, A’M(ABC) và A’M 3

2

a

 , với M là trung điểm của BC Tính thể tích khối đa diện ABA’B’C theo a và tính góc hợp bởi cạnh bên với đáy ABC

2) Tính tích phân sau: I

1

2

dx





Câu IV (1 điểm) (TS khối B và khối D không phải làm câu này)

Chứng minh bất đẳng thức sau:  2 1

ln 1 1 x lnx

x

    với x 0

B/ PHẦN DÀNH RIÊNG: (Thí sinh chỉ được chọn câu V.a hoặc V.b)

Câu V.a Chương trình chuẩn (2 điểm)

1) Giải phương trình sau: 2log3x 22x 5 log2 x23 2log x29x 5 log2 3x 2

2) Trong không gian Oxyz cho điểm A1;3; 2 ; B9; 4;9 và mặt phẳng (P): 2x y z   1 0 Tìm điểm K trên mặt phẳng (P) để AK + BK nhỏ nhất

Câu V.b Chương trình nâng cao (2 điểm)

1) Cho k n  , *; 1 k n  Chứng minh rằng:

1 1 n 2 12 2 n 1k k n k n n (1)

2) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng a Các điểm M thuộc AD’ và N thuộc DB sao cho AM = DN = k 0k a 2 Bằng Phương pháp tọa độ hãy tìm k để đoạn MN ngắn nhất, khi MN ngắn nhất hãy chứng tỏ rằng MN là đường vuông góc chung của 2 đường thẳng chéo nhau AD’ và DB hãy tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau này theo a

HD: Chọn hệ tọa độ Oxyz sao cho A0;0;0; Ba;0;0; D0; ;0a  và A’0;0; a

Lưu ý: Nếu thí sinh làm cả 2 câu V.a và V.b Thì phần làm riêng sẽ không được chấm.

(Thí sinh không được sử dụng bất cứ tài liệu gì)

Hết

Họ và tên thí sinh: SBD: