Giải các phơng trình.. Tiếp tuyến chung trong tại A của hai nửa đờng tròn cắt TT’ ở M a Tính độ dài AM theo các bán kính của hai đờng tròn O và O’... Do đó đờng tròn ngoại tiếp ∆TAT’ t
Trang 1Phòng gd&Đt quan sơn
đề thi học sinh giỏi cấp huyện
Môn : Toán - Lớp 9 Thời gian: 150 phút
Giáo viên ra đề: Hà Văn Phơng - Trờng THCS Na Mèo
Đề bài Bài 1( 4đ) Giải các phơng trình.
a)
3 4
1
2
+ + x
5
1 63 16
1 35
12
1 15
8
1
2 2
+ +
+ + +
+ +
x
b) x+ 6−4 x+ 2 + x+11−6 x+ 2 =1
Bài 2:(3 điểm)
a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của n ta luôn có:
(n 1) n n n 1 = n − n 1
b) Tính tổng
2 2 3 2 2 3 4 3 3 4 100 99 99 100
Bài 3 :(5 điểm)
a) Cho x, y thỏa mãn:
2 2 2
2 4 3 0
2 0
x x y y
Tính Q x= 2 +y2
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
= + ữ + + ữ
với u + v = 1 và u > 0; v > 0
Bài 4: (2 điểm) Cho hai số xy sao cho x > y; xy = 1
Chứng minh rằng: A= ( 2 2 22) 8
( )
x y
x y
−
Bài 5:(6 điểm)
Cho hai nửa đờng tròn ( O ) và ( O’ ) tiếp xúc ngoài ở A Tiếp tuyến chung ngoài TT’có tiếp điểm với đờng tròn ( O ) ở T với đờng tròn ( O’ ) ở T’, Cắt đờng tròn nối tâm OO’ ở S Tiếp tuyến chung trong tại A của hai nửa đờng tròn cắt TT’ ở M
a) Tính độ dài AM theo các bán kính của hai đờng tròn ( O )và ( O’ )
b) Chứng minh: SO.SO’ = SM2
ST.ST’ = SA2
c) Chứng minh rằng đờng tròn ngoại tiếp ∆TAT’ tiếp xúc với OO’ tại A và đ-ờng tròn ngoại tiếp∆OMO’tiếp xúc với SM tại M
h ớng dẫn chấm và đáp án Bài 1: 4 điểm ( mỗi câu 2 điểm).
a) x2 + 4x + 3 = ( x + 1)( x+ 3)
x2 + 8x + 15 = ( x +3)(x+5)
x2 + 12x + 35 = ( x +5)( x + 7)
x2 + 16x + 63 = ( x + 7)( x + 9)
Trang 2⇒ ĐKXĐ : x ≠ -1; x ≠ -3; x ≠ -5; x ≠ -7; x ≠ -9 ( 0,5đ)
pt ⇔ (x+1)(1x+3) +(x+3)(1x+5) +(x+5)(1x+7)+(x+7)(1x+9) = 51
⇔
5
1 ) 9
1 7
1 7
1 5
1 5
1 3
1 3
1 1
1 ( 2
+
− +
+ +
− +
+ +
− +
+ +
−
x
⇔
5
1 ) 9
1 1
1 ( 2
+
−
x
⇒ 5( x + 9 - x -1) = 2( x+1)( x+9)
⇔ 2x2 + 20x + 18 - 40 = 0 ⇔ x2 + 10x - 11 = 0
Phơng trình có dạng a + b + c = 0 ⇒ x1 = 1; x2 = -11 (1,0đ)
x1; x2 thỏa mãn ĐKXĐ
Vậy tập nghiệm của phơng trình là : S = { − 11 ; 1 } ( 0,5đ)
b) ĐKXĐ: x ≥ -2 ( 0,5 điểm)
Pt ⇔ ( x+ 2 − 2 )2 + ( x+ 2 − 3 )2 = 1
⇔ | x+ 2 − 2 | + | x+ 2 -3| = 1
⇔ | x+ 2 − 2 | + | 3 - x+ 2| = 1
áp dụng BĐT |A|+ |B| ≥| A + B| ta có : | x+ 2 − 2 | + | 3 - x+ 2| ≥ 1 ( 0,5đ) Dấu "=" xảy ra khi : ( x+2−2)( 3 - x+2) ≥ 0 ( 0,5đ)
⇔ 2 ≤ x+ 2≤ 3 ⇔ 2≤ x ≤ 7
Vậy tập nghiệm của phơng trình là : S = {x/ 2 ≤ x≤ 7} ( 0,5đ)
Bài 2:
a) Ta có: ( 1) 1 1 (( 1) ( 1) 1 ()( 1) 1 1)
=
b) áp dụng đẳng thức ở câu a lần lợt với n = 1, 2, 3, , 99
2 2 3 2 2 3 4 3 3 4 100 99 99 100
1 1 1 1 1 1 1 1
10 100
= − = (1,0 đ)
Bài 3:
a) (2 điểm)
Ta có x3 + 2y2 − 4y+ = ⇒ 3 0 x3 = − − 1 2(y− 1) 2 ≤ − 1
Từ x2 +x y2 2 − 2y= 0 có 2
2
2 1 1
y x
y
+ ⇒x2 ≤1hay− ≤ ≤1 x 1 (2) ( 0,5đ)
2
b) (3 điểm)
Ta có A u 1 2 v 1 2
= + ữ + + ữ
( 0,5đ)
Theo BĐT Bunhiacovski ta có
1 ( = +u v) ≤ (1 + 1 )(u +v ) 2( = u +v ) hay 2 2 1
2
Trang 3Mặt khác: 2
(u v+ ) ≥ 4uv nên 1 4 2 21 16
Do vậy 1(1 16) 4 25
A≥ + + = Dấu đẳng thức sảy ra khi 1
2
u v= = ( 0,5đ) Vậy min 25
2
2
Bài 4: (2 điểm)
Đặt x2 = a ; y2 = b ; ⇒ab= 1;(a≥ 0;b≥ 0) ( 0,5đ) theo bất đẳng thức côsi ta có:
a + b ≥2 ab⇒ + − ≥a b 2 0 vì x > y ⇒ + − >a b 2 0 ( 0,5đ)
Vì (a b+ − 4) 2 ≥ 0; a b+ − > 2 0
Vậy suy ra điều phải chứng minh (1) ( 2 2 22) 8
( )
x y
x y
Bài 5: (6 điểm )
a) MO, MO’ lần lợt là tia phân giác của hai góc kề bù: AMT và AMT’ nên góc OMO’=90o
Tam giác OMO’ vuông ở M có MA OO’ nên:
MA2 = OA.OA’, Suy ra:
b) Chứng minh: ∆SO’M ~ ∆SMO suy ra: SO' SM 2
hay SO.SO '= SM
điểm )
hay ST.ST' = SA
c) MA = MT = MT’ nên MA là bán kính đờng tròn ngoại tiếp ∆TAT’ và
OO’ MA tại A
Do đó đờng tròn ngoại tiếp ∆TAT’ tiếp xúc với OO’ tại A ( 1,0 điểm )
Gọi M’ là trung điểm của OO’ thì M’M // OT ⇒SM M’M ở M mà M’M là bán kính đờng tròn ngoại tiếp ∆OMO’
Do đó đờng tròn ngoại tiếp ∆OMO’ tiếp xúc với SM tại M ( 1,0điểm )
T
M
’
’ O’
S T’