đề và đáp án HSG tỉnh nghệ ạn 2010-2011

Chứng minh A không phải là số chính phương Câu 2 4,5 điểm.. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn O, H là trực tâm của tam giác.. Gọi M là một điểm trên cung BC không chứa

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 THCS NGHỆ AN NĂM HỌC 2010 – 2011

ĐỀ CHÍNH THỨC

Môn thi: TOÁN – BẢNG A Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1 (4,0 điểm).

a) Cho các số nguyên a1, a2, a3, , an Đặt S = 3

1

a + 3

2

a + + 3

n

a

và P = a1 + a2 + + an

Chứng minh rằng: S chia hết cho 6 khi và chỉ khi P chia hết cho 6

b) Cho A = n6 – n4 + 2n3 + 2n2 ( với n N, n > 1) Chứng minh A không phải là số chính phương

Câu 2 (4,5 điểm).

a) Giải phương trình: 10 x3 1 3x26

b) Giải hệ phương trinh:

1

y 1

z 1

x



 







 







 





Câu 3 (4,5 điểm).

a) Cho x > 0, y > 0, z > 0 và 1 1 1 4

x y z  Chứng minh rằng: 1 1 1 1

2x y z  x 2y z   x y 2z   b) Cho x > 0, y > 0, z > 0 thỏa mãn x2011y2011z20113

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: M = x2 + y2 + z2

Câu 4 (4,5 điểm).

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O), H là trực tâm của tam giác Gọi M là một điểm trên cung BC không chứa điểm A (M không trùng với B và C) Gọi N là P lần lượt là điểm đối xứng của M qua các đường thẳng AB và AC

a) Chứng minh N, H, P thẳng hàng

b) Khi  0

BOC 120 , xác định vị trí của điểm M để 1 1

MB MC đạt giá trị nhỏ nhất.

Câu 5 (2,5 điểm).

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, một điểm I chuyển động trên cung BC không chứa điểm A (I không trùng với B và C) Đường thẳng vuông góc với IB tại I cắt đường thẳng AC tại E, đường thẳng vuông góc với IC cắt đường thẳng AB tại F Chứng minh rằng đường thẳng EF luôn đi qua một điểm cố định

-

Họ và tên thí sinh: Số báo danh:

SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 THCS

NĂM HỌC 2010 - 2011

ĐÁP ÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN - Bảng A

1.

Với aZ thì a3  a  (a  1)a(a  1) là tích 3 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2 và 3 Mà (2.3)=1

3

a a 6

Vậy S 6  P 6

n  n  2n  2n  n (n  1) (n  2n  2) với nN, n > 1 thì n2  2n   2 (n 1)  2  1 > (n 1)  2

và n2  2n   2 n2  2(n 1)  < n2

Vậy (n 1)  2<n2  2n2<n2  n2  2n  2 không là số chính phương

 đpcm

2.

10 x   1 3(x  2)

      điều kiện x1

Đặt x   1 a (a0)

x2  x   1 b (b>0)

Ta có: 10ab = 3a2 3b2

a = 3b (a 3b)(3a-b) = 0

b 3a



 Trường hợp1: a = 3b

Ta có: x   1 3 x2  x  1 (1)

 9x2  9x+9=x+1

 9x2  10x+8 = 0

'

25 9.8

   < 0  phương trình (1) vô nghiệm Trường hợp 2: b = 3a

Ta có: 3 x   1 x2  x  1

2

x 10x-8 = 0

1

2

 

 



Vậy phương trình có 2 nghiệm x   5 33

1

y 1

z 1

x



















Từ (3)

3x-1 z

x

thay vào (2) 3xy+3 = 8x+y (4)

Từ (1)  xy   1 3y  3xy+3 = 9y (5)

Từ (4) và (5)  8x+y = 9y  x  y

Chứng minh tương tự : y = z

Từ đó  x y z

Thay vào (1)

2

1

x

x

2



 hệ có 2 nghiệm

2



  

3.

Áp dụng bất đẳng thức

x  y  x  y (với x,y > 0)

Ta có:

2x+y+z  4 2x  y  z ;

y  z  4y  4z

Suy ra:

2x+y+z  4 2x  4y  4z (1)

Tương tự:

x+2y+z  4 4x  2y  4z (2)

x+y+2z  4 4x  4y  2z (3)

Từ (1),(2),(3)

1

Dấu "=" xảy ra

3

4

Áp dụng bất đẳng thức CôSy cho x2011,x2011 và 2009 số 1 ta có:

x  x    1 1 1 2011   (x ) 2009

2x 2009 2011x

Tương tự: 2y2011  2009  2011y2 (2)

2z2011 20092011z2 (3)

Từ (1), (2), (3)

2011 2011 2011

2011

 x2  y2  z2  3

Giá trị lớn nhất của M là 3 khi và chỉ khi x = y = z = 1

4.

H

P

M

N

F

E I

O

C B

A

Gọi giao điểm của BH với AC là E

AH với BC là F, CH với AB là I

 HECF là tứ giác nội tiếp

 AHE   ACB  (1)

Mà ACB   AMB  ( góc nội tiếp cùng chắn một cung)

Ta có: AMB   ANB  (Do M, N đối xứng AB) (2)

Từ (1), (2)  AHBN là tứ giác nội tiếp

 NAB   NHB  (*)

Mà NAB   MAB  (Do M, N đối xứng qua AB (**)

Từ (*), (**)  NHB   BAM 

Chứng minh tương tự: PHC   MAC 

 NHB   PHC   BAM   MAC   BAC 

Mà BAC   IHE   1800

   0

    ( vì IHE   BHC  )

 N, H, P thẳng hàng Gọi J là điểm chính giữa của cung lớn BC

BOC  120  BJC đều

Trên đoạn JM lấy K sao cho MK = MB

  

O

K B

M

C J

BM  MC  BM  MC

JM lớn nhất  JM là đường kính (O) lúc đó M là điểm chính giữa của cung nhỏ

BC

Vậy

BM  MC nhỏ nhất  M là điểm chính giữa cung nhỏ BC

5.

+ Khi BAC   900  BIC   900

 F trùng với B, E trùng với C lúc đó EF là đường kính

 EF đi qua điểm O cố định

F

E

O

A

B

C

I

+ Khi BAC< 900  BIC > 900

Gọi K là điểm đối xứng của I qua EF

  (cùng bù BIC)

EKF  EIF (Do I và K đối xứng qua EF)

AKFE

 nội tiếp

  (cùng chắn KF) (1)

IEF  KEF (Do K và I đối xứng qua EF) (2)

IEF  BIK ( cùng phụ KIE ) (3)

Từ (1), (2), (3)  KAB   BIK 

 AKBI là tứ giác nội tiếp

 K(O)

Mà EF là đường trung trực của KI  E, O, F thẳng hàng + Khi BAC > 900  BIC < 900 chứng minh tương tự

Vậy đường thẳng EF luôn đi qua điểm O cố định

Hết