Gọi cỏc giao ủiểm của MN với BD, AC theo thứ tự là E, F.. Gọi O là giao ủiểm của AC và BD.. b Gọi I là giao ủiểm của HO và MN.. Tỡm giỏ trị lớn nhất của A=xyz... Do OGHQ là hình bình hàn
Trang 1phòng giáo dục - đào tạo
năm học: 2010-2011
Môn: toán
Thời gian làm bài 150 phút
-
Cõu 1: Phõn tớch ủa thức thành nhõn tử:
2
a x + x−
b x − xy+ y
Cõu 2: a) Tỡm cỏc hằng số a và b sao cho 3
x +ax b+ chia cho x+ 1 thỡ dư 7, chia cho x− 3
thỡ dư − 5
b) Chứng minh rằng với mọi số nguyờn n thỡ phõn số:
3
2
n n
n n
+ + + là phõn số tối giản
Cõu 3: Cho ax by+ + =cz 0 Rỳt gọn biểu thức:
bc y z ca z x ab x y
A
ax by cz
=
Cõu 4: a) Tỡm cỏc số tự nhiờn x, y thoả món: 2
2x+ = 1 y b) Giải phương trỡnh: 2
2 (8x x− 1) (4x− = 1) 9
Cõu 5: Cho hỡnh thang ABCD (AB // CD) Cỏc ủiểm M, N thuộc cỏc cạnh AD, BC sao
cho AM CN
MD = NB Gọi cỏc giao ủiểm của MN với BD, AC theo thứ tự là E, F Qua M kẻ
ủường thẳng song song với AC, cắt DC ở H Gọi O là giao ủiểm của AC và BD
a) Chứng minh rằng: HN // BD
b) Gọi I là giao ủiểm của HO và MN Chứng minh rằng: IE = IF, ME = NF
Cõu 6: a) Cho x, y, z là ba số nguyờn dương nguyờn tố cựng nhau thoả món 1 1 1
x+ =y z Hỏi
x+y cú là số chớnh phương khụng ? Vỡ sao ?
b) Cho x, y, z là cỏc số dương thoả món: z≥ 60;x+ + =y z 100 Tỡm giỏ trị lớn nhất của A=xyz
-
Đề chính thức
Trang 2phòng giáo dục - đào tạo
vĩnh tường
hướng dẫn chấm giao lưu hSG lớp 8
năm học 2010-2011
Môn: toán
3x + 5xư = 2 3x + 6xư ư = +x 2 x 2 3xư 1 1ủ
1
(2ủ)
x ư xy+ y =x ư ưxy xy+ y = ưx y xư y 1ủ a) (1ủ) Ta cú: 3 ( ) ( ) ( ) ( )
x +ax b+ = +x P x + = ưx Q x ư Thay x = -1 và x = 3 vào ủẳng thức trờn ta ủược:
0,5ủ
0,5ủ
2
(2ủ)
b) (1ủ) Gọi
2
2
1
d n n n n
⋮
Vậy phõn số
3
2
n n
n n
+ + + tối giản với mọi số nguyờn n
0,5ủ
0,5ủ
3
(1ủ) Ta cú:
ax by+ + =cz ⇒a x +b y +c z + bcyz+acxz+abxy =
Ta lại cú:
B bc y z ca z x ab x y
bcy bcz caz acx abx aby bcyz acxz abxy
Từ (1) và (2) suy ra
B ax b c by a c cz a b a x b y c z
a x b y c z a b c
Do ủú
bc y z ca z x ab x y
ax by cz
0,5ủ
0,5ủ
Trang 3a) (1ñ) Ta có:
2
1 2
1 2
m
m n n m n n
y
m n y
−
+ =
− =
0,5ñ
0,5ñ
4
(2ñ)
2 (8x x− 1) (4x− = ⇔ 1) 9 8 (8x x− 1) (8x− = 2) 72 Đặt 8x – 1 = y ta có:
1 2 3
1 4
x y
x
=
= −
0,5ñ
0,5ñ
I
H
F E
O
M
N
G
a) (1ñ) Theo ñịnh lí Ta-let ta có: DH DM BN HN / /BD
HC = MA = NC⇒ (theo ñịnh lí Ta-let ñảo)
0,5ñ
0,5ñ
5
(2ñ)
b)(1ñ) Gọi G là giao ñiểm của HM và BD, Q là giao ñiểm của HN và
AC Ta có: MG AO BO NQ GQ/ /MN
GH =OC =OD =QH ⇒
Gọi K là giao ñiểm của HO và GQ
Do OGHQ là hình bình hành nên GK = KQ
Do ñó: IE = IF, IM = IN, ME = NF
0,5ñ
0,5ñ
Trang 4a)( 0,5ñ) Ta có:
z x y xy x z y z z
x+ =y z⇒ + = ⇔ − − =
Gọi d= −(x z y, −z)⇒ z d⋮ ⇒x d⋮ ⇒ y d⋮ ⇒d= 1
Do ñó x – z và y – z ñều là số chính phương
Đặt
( )
2
2 2
2
2
x z k
k m N z km z km
y z m
x y x z y z z k m km k m
− =
Vậy x + y là số chính phương
0,25ñ
0,25ñ
6
(1ñ)
b) (0,5ñ) Ta có
60
4
yz y z
x y z
A xyz x y z
+ + −
(áp dụng bất ñẳng thức Côsi)
Dấu “=” xảy ra khi
60
z
x y
=
⇔
20
z
x y
=
⇔
= =
0,25ñ
0,25ñ