Gọi các giao điểm của MN với BD, AC theo thứ tự là E, F.. Gọi O là giao điểm của AC và BD.. b Gọi I là giao điểm của HO và MN.. Ghi chú: Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.. ĐỀ CH
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC- ĐÀO TẠO
VĨNH TƯỜNG
ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI THCS
NĂM HỌC 2010 - 2011 MÔN: TOÁN LỚP 8
(Thời gian làm bài: 150 phút)
Câu 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:
2
a x + x−
b x − xy+ y
Câu 2: a) Tìm các hằng số a và b sao cho 3
x +ax b+ chia cho x+ 1 thì dư 7, chia cho x− 3
thì dư − 5
b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì phân số: 4 3 22
+ + + là phân số tối giản.
Câu 3: Cho ax by cz+ + = 0 Rút gọn biểu thức:
bc y z ca z x ab x y
A
ax by cz
=
Câu 4: a) Tìm các số tự nhiên x, y thoả mãn: 2x+ = 1 y2
b) Giải phương trình: 2 (8x x− 1) (4 2 x− = 1) 9
Câu 5: Cho hình thang ABCD (AB // CD) Các điểm M, N thuộc các cạnh AD, BC sao
cho AM CN
MD = NB Gọi các giao điểm của MN với BD, AC theo thứ tự là E, F Qua M kẻ
đường thẳng song song với AC, cắt DC ở H Gọi O là giao điểm của AC và BD
a) Chứng minh rằng: HN // BD
b) Gọi I là giao điểm của HO và MN Chứng minh rằng: IE = IF, ME = NF
Câu 6: a) Cho x, y, z là ba số nguyên dương nguyên tố cùng nhau thoả mãn 1 1x+ =y 1z Hỏi
x y+ có là số chính phương không ? Vì sao ?
b) Cho x, y, z là các số dương thoả mãn: z≥ 60;x y z+ + = 100 Tìm giá trị lớn nhất
của A xyz =
Ghi chú: Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2vÜnh têng n¨m häc 2010-2011
M«n: to¸n
1
(2đ) a) (1đ)3x2 + 5x− = 2 3x2 + 6x x− − = + 2 (x 2 3) ( x− 1) 1đ
b) (1đ)x2 − 10xy+ 9y2 =x2 − −xy 9xy+ 9y2 = −(x y x) ( − 9y) 1đ
2
(2đ) a) (1đ) Ta có: x3 +ax b+ = +(x 1) ( )P x + = − 7 (x 3) ( )Q x − 5
Thay x = -1 và x = 3 vào đẳng thức trên ta được:
− = − + = −
⇒ = − = −
0,5đ 0,5đ
b) (1đ) Gọi
2
2
1
= + + +
⇒ + − + ⇒ ⇒ =
M
Vậy phân số 4 3 22
+ + + tối giản với mọi số nguyên n.
0,5đ
0,5đ
3
(1đ) Ta có:
2 2 2 2 2 2
ax by cz+ + = ⇒a x +b y +c z + bcyz acxz abxy+ + =
Ta lại có:
B bc y z ca z x ab x y
bcy bcz caz acx abx aby bcyz acxz abxy
= − + − + −
Từ (1) và (2) suy ra
2 2 2 2 2 2
B ax b c by a c cz a b a x b y c z
a x b y c z a b c
= + + + + + + + +
Do đó
bc y z ca z x ab x y
ax by cz
− + − + −
+ +
0,5đ
0,5đ
Trang 3(2đ) a) (1đ) Ta có:
( ) ( )
2
1 2
1 2
m
m n n m n n
y
m n y
−
+ = ⇒ = + −
+ =
⇒ − = > ⇒ − = − =
⇒ ⇒
0,5đ
0,5đ
2 (8x x− 1) (4x− = ⇔ 1) 9 8 (8x x− 1) (8x− = 2) 72
Đặt 8x – 1 = y ta có:
( 1) (2 1) 72 2 9
1 2 3
1 4
x y
x
+ − = ⇔ =
=
⇔ = ± ⇔
= −
0,5đ
0,5đ
5
(2đ)
I
H
F E
O
M
N
G
a) (1đ) Theo định lí Ta-let ta có: DH DM BN HN/ /BD
HC = MA = NC ⇒ (theo định lí Ta-let đảo)
0,5đ 0,5đ
b)(1đ) Gọi G là giao điểm của HM và BD, Q là giao điểm của HN và
AC Ta có: MG AO BO NQ GQ MN/ /
GH =OC =OD=QH ⇒ Gọi K là giao điểm của HO và GQ
Do OGHQ là hình bình hành nên GK = KQ
Do đó: IE = IF, IM = IN, ME = NF
0,5đ
0,5đ
Trang 4a)( 0,5đ) Ta có:
z x y xy x z y z z
x+ = ⇒y z + = ⇔ − − =
Gọi d = −(x z y z, − ⇒) z dM ⇒x dM ⇒ y dM ⇒ =d 1
Do đó x – z và y – z đều là số chính phương
Đặt
( )
2
2 2
2
2
2 2
x z k
y z m
− = ∈ ⇒ = ⇒ =
− =
⇒ + = − + − + = + + = +
Vậy x + y là số chính phương
0,25đ
0,25đ
b) (0,5đ) Ta có
60
4
x y z
A xyz x y z
≥ + + = ⇒ <
⇒ − − ≤ ⇒ − + + ≤
⇒ ≤ + −
+ + −
(áp dụng bất đẳng thức Côsi)
Dấu “=” xảy ra khi
60
z
x y
=
= + + − =
+ + = = =
Vậy Max A = 24000⇔ x= =z=y6020
0,25đ
0,25đ
Trần mạnh Cường
GV : THCS Kim Xá –VT- Vĩnh Phúc