a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số.. a Viết phơng trình đờng tròn đi qua giao điểm của 2 elíp trên.. b Viết phơng trình tiếp tuyến chung của E1 và P.. Tính tỉ số SM SB...
Trang 1đề xuất ngân hàng đề
Đề thi Học sinh giỏi THPT – Môn Toán Bảng A
-o0o -Câu 1: (6 điểm) Cho hàm số: y = x3 + 3x2 + 1
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b) Biện luận theo m số nghiệm của phơng trình: x3 + 3x2 = m3 + 3m2 c) Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị (C) kẻ từ điểm (1; 5)
d) Trên đờng thẳng y = 9x – 4, tìm những điểm có thể kẻ đến (C) 3 tiếp tuyến
Câu 2: (3 điểm) Giải các phơng trình sau:
a) (7 5 2)+ cos x −(17 12 2)+ cos x 3 =cos3x
3
− + = − + +
Câu 3: (4 điểm)
a) Tìm m để bất phơng trình sau có nghiệm duy nhất:
7
log 11 log ( x+ +mx 10 4)log (x+ + +mx 12) 0+ ≥ .
b) Tìm m để bất phơng trình sau đúng với mọi x
1 + 2cosx+ 1 + sin2x≤ 2m – 1
Câu 4: (2,5 điểm)
a) Xác định a, b để hàm số sau có đạo hàm tại x = 0:
31 ax 3 cosx với x 0 f(x)
ln(1 2x) b 1 với x 0
=
b) Tính tích phân:
1 5
2 2
1 5 2
(x x 1)(1 2006 )
+
+
−
+
=
Câu 5: (2,5 điểm)
Cho 2 elíp (E1): x2 y2 1
15 + 6 = , (E2): x2 y2 1
6 +15 = và parabol (P): y2 = 12x
a) Viết phơng trình đờng tròn đi qua giao điểm của 2 elíp trên
b) Viết phơng trình tiếp tuyến chung của (E1) và (P)
Câu 6: (2 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là nửa lục giác đều với cạnh
a (a> 0) Cạnh SA vuông góc với đáy và SA = a 3 M là một điểm khác B trên SB sao cho AM ⊥ MD Tính tỉ số SM
SB .
Trang 2-đề xuất ngân hàng -đề
Đáp án đề thi Học sinh giỏi THPT – Môn Toán Bảng A
-o0o -Chú ý: + Đáp án gồm 5 trang.
+Nếu thí sinh làm cách khác với đáp án mà kết quả đúng thì cho điểm tối đa
1 1a - Tập xác định: D = R
- Sự biến thiên:
+ Chiều biến thiên: y’ = 3x2 + 6x = 0 ⇔ = −x 0x= 2
⇒ Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞; -2) và (0; +∞);
hàm số nghịch biến trên khoảng (-2; 0)
+ Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại điểm (0; 1) và đạt cực tiểu tại điểm (-2; 5)
+ Giới hạn: xlim y→±∞ = ±∞ ⇒ đồ thị hàm số không có tiệm cận
+ Tính lồi lõm và điểm uốn: y’’ = 6x + 6 = 0 ⇔ x = -1
⇒ Đồ thị hàm số lồi trên khoảng (-∞; -1), lõm trên khoảng (-1; +∞) và có điểm uốn là (-1; 3)
+ Bảng biến thiên:
- Đồ thị: Đồ thị hàm số đi qua các điểm (-3; 1), (-2; 5), (-1; 3), (0; 1) và (1; 5) Nhận điểm uốn (-1; 3) làm tâm đối xứng
0,25
0,25 0,25
0,25 0,25
0,25
1b Ta có: x3 + 3x2 = m3 + 3m2 (1)
y 5 3
1
-3 -2 -1 0 1 x
Trang 3⇔ x3 + 3x2 + 1 = m2 + 3m2 + 1 = a
⇒ số nghiệm của phơng trình (1) chính là số giao điểm của
đồ thị (C) và đờng thẳng y = a, từ đồ thị ở câu a ta có:
- Phơng trình (1) có 1 nghiệm nếu a > 5 hoặc a < 1
- Phơng trình (1) có 2 nghiệm nếu a = 5 hoặc a = 1
- Phơng trình (1) có 3 nghiệm nếu 1 < a < 5
Xét hàm số f(m) = m3 + 3m2 + 1 ⇒ f(m) cũng có đồ thị là
(C), nên từ đồ thị ở câu a ta có:
- a > 5 ⇔ m > 1; a = 5 ⇔ m = 1 hoặc m = -2
- a < 1 ⇔ m < -3; a = 1 ⇔ m = -3 hoặc m = 1
- 1 < a < 5 ⇔ -3 < m < 1
Vậy ta có:
+ Với m > 1 hoặc m < -3 thì phơng trình (1) có 1 nghiệm
+ Với m = -3 hoặc m = -2 hoặc m = 1 hoặc m = 2 thì phơng
trình (1) có 2 nghiệm
+ Với -3 < m < 1 và m ≠ -2, m ≠ 0 thì phơng trình (1) có 3
nghiệm phân biệt
0,25 0,25
0,25
0,25
1c Gọi phơng trình tiếp tuyến kẻ từ điểm (1; 5) có dạng:
y = k(x – 1) + 5 ⇔ y = kx + 5 – k
Vì là tiếp tuyến của (C) nên ta có:
2
x 1, k 9
+ + = + − = − =
⇒ Có 2 tiếp tuyến của (C) đi qua điểm (1; 5) là:
y = 5 và y = 9x – 4
0,25 0,50 0,25
1d Gọi M (x0; 9x0 – 4) là điểm trên đờng thẳng y = 9x – 4
⇒ Đờng thẳng đi qua M có phơng trình dạng:
y = k(x – x0) + 9x0 – 4
⇒ Ta có:
2
Để có 3 tiếp tuyến qua M thì hệ trên cần có 3 nghiệm
⇒ phơng trình sau cần có 3 nghiệm phân biệt:
(x – 1)[2x2 + (5 – 3x0)x + 5 – 9x0] = 0
Từ đó ta có điều kiện của x0 là:
0 0 0
x 1/ 3
>
< −
≠
Vậy các điểm M cần tìm có toạ độ (x; 9x – 4) với điều
kiện:
x 1/ 3
x 1
>
< −
≠
0,25
0,25 0,25
0,25
Trang 42 2a Tập xác định: D = R.
Phơng trình đã cho tơng đơng với phơng trình:
3
3
3 cos x 4 cos x 3
Xét hàm số f(t) = (1+ 2)t +t, ta có f(t) đồng biến với mọi t nên ta có: f(3cosx) = f(4cos3x) ⇔ 3cosx = 4cos3x
⇔ cos3x = 0 ⇔ x = k
π + π
, k ∈ Z
0,25
0,50 0,50 0,25
2b Ta có: x4 + x2 + 1 = (x2 + x + 1)(x2 – x + 1) > 0
x2 – 3x + 1 = 2(x2 – x + 1) – (x2 + x + 1) Đặt 2
2
t
− +
=
+ + , t > 0 Phơng trình trở thành:
2
3
t 3
−
= <
=
2 2
− +
+ +
⇔ x = 1
0,25 0,25 0,50 0,25 0,25
3 3a Điều kiện: m > 0 và m ≠ 1, x2 + mx + 10 ≥ 0
Bất phơng trình đã cho tơng đơng với:
11
1 log ( x mx 10 4)log (x mx 12)
0 log m
Đặt u = x2 + mx + 10, u ≥ 0
+ Với 0 < m < 1: (*) ⇔ f(u) = log7( u + 4)log11(u + 2) ≥ 1
Ta thấy f(9) = 1 và f(u) là hàm đồng biến nên ta có:
f(u) ≥ f(9) ⇔ u ≥ 9 ⇔ x2 + mx + 10 ≥ 9 ⇔ x2 + mx + 1 ≥ 0 Vì phơng trình trên có ∆ = m2 – 4 < 0 với 0 < m < 1 nên phơng trình trên vô nghiệm ⇒ bất phơng trình đã cho vô
nghiệm
+ Với m > 1: Ta có: f(u) ≤ 1 = f(9) ⇔ 0 ≤ u ≤ 9
⇔ 0 ≤ x2 + mx + 10 ≤ 9
2 2
x mx 10 0 (1)
x mx 1 0 (2)
⇔ + + ≤
Xét phơng trình x2 + mx + 1 = 0 có ∆ = m2 – 4
Nếu 1 < m < 2 ⇔∆ < 0 ⇒ (2) vô nghiệm ⇒ bất phơng trình đã cho vô nghiệm
0,50 0,50
0,50
0,50
Trang 5Nếu m > 2 ⇒∆ > 0 ⇒ phơng trình trên có 2 nghiệm đều thoả mãn (1) và (2) ⇒ bất phơng trình đã cho có nhiều hơn một nghiệm
Nếu m = 2 ⇒ (2) có nghiệm duy nhất x = -1 ⇒ bất phơng trình đã cho có nghiệm duy nhất x = -1
Vậy giá trị cần tìm của m là: m = -2
3b Đặt f(x) = 1 + 2cosx + 1 + 2sinx Bài toán trở thành:
tìm m sao cho maxf(x) ≤ 2m – 1
Ta có f2(x) = 6 + 4(sinx + cosx) + 21 + 2(sinx + cosx) + 4sinxcosx
Đặt t = sinx + cosx, − 2 t≤ ≤ 2 Ta có:
f2(x) = g(t) = 6 + 4t + 22t2 + 2t – 1 với − 2 t≤ ≤ 2 Xét sự biến thiên của g(t) ta có: −max g(t) 4( 2 1)2 ; 2 2
Vì f(x) ≥ 0 nên ta có:
maxf(x) = max f (x)2 = maxg(t) 2( 2 1)= + Vậy ta có: 2( 2 1) 2m 1 m 3 2 2
2
+
0,25 0,25
0,25 0,75 0,25 0,25
4 4a Hàm số có đạo hàm tại x = 0 khi nó liên tục tại x = 0
x 0lim f(x) lim f(x) f(0)x 0 b 1
x 0
f '(0 ) lim
−
−
→
+ ∆ − ∆
∆
Và
x 0
ln(1 2 x)
x
+
+
→
+ ∆
Vậy hàm số có đạo hàm tại x = 0 khi a = 6 và b = 1
0,25 0,50 0,25
0,25 0,25
4b Chứng minh đợc:
1 5
2
1 5 2
1 1 x
1
x
+
+
−
+
⇔ =
Đặt
/ 4 / 4
1
π
−π
π
− = ⇒ = ∫ =
0,50 0,25 0,50
Trang 65 5a Toạ độ giao điểm của 2 elíp (E1) và (E2) là nghiệm của hệ
phơng trình:
1
60
7
1
6 15
+ =
Vậy đờng tròn đi qua các giao điểm của 2 elíp là:
7 + =
0,50 0,50
5b Gọi đờng thẳng Ax + By + C = 0 (A2 + B2≠ 0), là tiếp
tuyến chung của (E1) và (P) Ta có:
2
Vậy có 2 tiếp tuyến cần tìm là: 3x± 5y 5 3 0+ =
1,0 0,50
Đặt hình chóp vào hệ trục toạ độ nh hình vẽ Suy ra ta có:
A = (0; 0; 0), D = (2a; 0; 0), S = (0; 0; a 3 ) và
B = a a 3; ;0
Suy ra phơng trình của SB là:
−
− Gọi M(x0; y0; z0) thuộc cạnh SB, ta có:
=
Mặt khác AM⊥DN ⇔ AM.DM 0uuuur uuuur=
⇔ x0 – 2ax0 + y0 + z0 = 0 x0 3a
8
0,25
0,25 0,25
0,25 0,25 0,25 0,50
S H
Trang 73a 3a 3 a 3
3
4
=
uuur uur
hay SM 3
SB =4
-