Tìm quĩ tích giao điểm M của C và C’ biết rằng chúng luôn cắt nhau dới một góc cho trớc là góc tạo bởi hai tiếp tuyến của hai đờng tròn tại M.. Chứng minh đồ thị của chúng tiếp xúc n
Trang 1sở giáo dục và đào tạo hà nội
kỳ thi học sinh giỏi thành phố (Vòng I)
Năm học 1998-1999
Ngày thi: 9 - 12 - 1998
Môn thi: Toán lớp 12
Thời gian làm bài: 180 phút
Bài I ( 5 điểm ):
Cho họ đờng cong (Cm): y=x3-3x2+mx+4-m ( m là tham số )
Đờng thẳng (d): y=3-x cắt một đờng cong bất kỳ (C) của họ (Cm) tại ba điểm phân biệt A,I,B (theo thứ tự), tiếp tuyến tại A và tiếp tuyến tại B của (C) lần lợt cắt đờng cong tại điểm thứ hai là M và N Tìm tham số m để tứ giác AMBN là hình thoi
Bài II ( 5 điểm ): Giải hệ phơng trình
x y
x y
sin
;
5
Bài III (5 điểm ): Chứng minh bất đẳng thức
1
1
1
cos a cos a cos a Với a làm vế trái có nghĩa
Có thể thay số 2 ở vế phải bằng một số vô tỷ để có một bất đẳng thức đúng
và mạnh hơn không?
Bài IV (5 điểm ):
Cho hai đờng tròn thay đổi (C) và (C’) luôn tiếp xúc với một đờng thẳng lần lợt tại hai điểm A và A’cố định Tìm quĩ tích giao điểm M của (C) và (C’) biết rằng chúng luôn cắt nhau dới một góc cho trớc ( là góc tạo bởi hai tiếp tuyến của hai đờng tròn tại M )
_
Họ và tên thí sinh:
Phòng thi: Số Báo danh:
sở giáo dục và đào tạo hà nội
kỳ thi học sinh giỏi thành phố-lớp
12 (Vòng I)
Năm học 1999-2000
Ngày thi: 11 - 12 - 1999
Môn thi: Toán
Thời gian làm bài: 180 phút
Bài I (5 điểm)
Cho hai hàm số f(x)=1 xx
và g(x)=arctgx
1 Chứng minh đồ thị của chúng tiếp xúc nhau
2 Giải bất phơng trình: f(x)g(x)+x
Trang 2Bài II (5 điểm)
Cho tam giác ABC thoả mãn:
2 c
2 b
2 a
2
C g cot 2
B g cot 2
A g cot ) abc ( ) gC cot gB cot gA (cot 3
) m m m ( 4
(ma, mb, mc là 3 trung tuyến ứng với 3 cạnh a, b, c ; A, B, C là 3 góc của tam giác)
Chứng minh tam giác ABC đều
Bài III (5 điểm)
Tìm tham số a sao cho phơng trình:
) 2 a
x )(
34 10 a 5 x ( a 4 2 x ) 2 a ( 2 x
x
4 4 a
2 2
= 0
có ít nhất một nghiệm nguyên
Bài IV (5 điểm)
Trong hệ toạ độ trực chuẩn xOy cho đờng tròn (C) có phơng trình:
x2+y2=4
1 Tìm tham số m để trên đờng thẳng y=m có đúng 4 điểm sao cho qua mỗi
điểm đó có hai đờng thẳng tạo với nhau góc 450 và chúng đều tiếp xúc với
đờng tròn (C)
2 Cho hai điểm A(a; b), B(c; d) thuộc đờng tròn (C) chứng minh:
6 3 bd ac 4 3 d c 4 3 b a
Sở Giáo dục và Đào tạo Hà Nội
Kỳ thi chọn đội tuyển lớp 12 thành phố tham dự kỳ thi học sinh giỏi Quốc gia năm học 2000-2001.
Môn thi: Toán Ngày thi: 29 tháng 12 năm 2000 Thời gian làm bài: 180phút
Câu I (4 điểm):
Cho các số thực a1, a2, ,an ; b1, b2, , bn ; c1, c2, , cn thoả mãn điều kiện ai>0 và aicibi2, i=1, 2, 3, , n
Chứng minh rằng: (a1+a2+ +an).(c1+c2+ +cn)(b1+b2+ +bn)2
Câu II (4 điểm):
Gọi N* là tập hợp tất cả các số nguyên dơng
Hãy tìm tất cả các hàm f : N* N* thoả mãn điều kiện:
lẻ n nếu 1 2n
chẵn n nếu n
) n ( )) n (
Câu III (4 điểm):
Một hình lập phơng kích thớc 8x8x8 đợc chia thành lới các hình lập
ph-ơng đơn vị Ta gọi một cột của lới là một hình hộp chữ nhật với các cạnh nằm trên các đờng lới có kích thớc là: 1x8x8 hoặc 8x1x8 hoặc 8x8x1 Chứng minh rằng ta có thể đánh dấu 64 hình lập phơng đơn vị sao cho trong 8 hình lập
ph-ơng đánh dấu tuỳ ý có 2 hình lập phph-ơng cùng nằm trên một cột và trong bất
kỳ một cột nào đều có 8 hình lập phơng đợc đánh dấu
Trang 3Câu IV (4 điểm):
Cho P(x) là một đa thức bậc n với hệ số thực có n nghiệm thực phân biệt trong khoảng (1; )
Giả sử Q(x)=(x2+1).P(x).P’(x)+x.{[P(x)]2+[P’(x)]2}, xR
Chứng minh rằng đa thức Q(x) có ít nhất 2n-1 nghiệm thực phân biệt
Câu V (4 điểm):
Cho tam giác ABC Giả sử P là một điểm di động trên đoạn thẳng AB,
Q là một điểm di động trên đoạn thẳng AC Gọi T là giao điểm của hai đoạn thẳng BQ và CP Hãy tìm vị trí của P và Q sao cho PQT có diện tích lớn nhất
sở giáo dục và đào tạo hà nội
kỳ thi học sinh giỏi thành phố-lớp 12 (Vòng I)
Năm học 2001-2002
Môn thi: Toán
Ngày thi: 8 - 12 - 2001 Thời gian làm bài: 180 phút
Bài I (4 điểm)
Cho hàm số y=x4-2m2x2+n Tìm giá trị của các tham số m và n, để đồ thị của hàm số có 3 điểm cực trị
là các đỉnh của một tam giác đều ngoại tiếp đợc một đờng tròn có tâm là gốc toạ độ
Bài II (4 điểm)
Tìm tất cả các giá trị của a và b thoả mãn điều kiện:
2
1
a và 1
b
a
sao cho biểu thức P=
) b a ( b
1 a
2 3
đạt giá trị nhỏ nhất.Tìm giá trị nhỏ nhất đó
Bài III (4 điểm)
Giải bất phơng trình:
1 x 2
6 1
x
x log
Bài IV (4 điểm)
Tìm tất cả các giá trị của x, để với mọi giá trị của y luôn tồn tại giá trị của z thoả mãn:
sin(x+y+z)=
2
1
y cos(2x+
x cos 2 2
3 y ) 3
Bài V (4 điểm)
Cho Elip (E) có 2 tiêu điểm là F1 và F2 Hai điểm M, N trên (E) Chứng minh rằng 4 đờng thẳng MF1 , MF2 , NF1 và NF2 cùng tiếp xúc với một đờng tròn
Trang 4sở gD-ĐT hà nội kỳ thi học sinh giỏi thành phố-lớp 12
Năm học 2002-2003
Môn thi: Toán
Ngày thi: 7 - 12 - 2002 Thời gian làm bài: 180 phút
Bài I (4 điểm)
Cho hàm số y=
2 x
3 x ) m 1 2 1 (
Tìm giá trị của tham số m để tiệm cận xiên của đồ thị hàm số tiếp xúc với
đờng tròn có tâm I(0; 1) và có bán kính lớn nhất
Bài II (4 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn, chứng minh bất đẳng thức
tg5A+ tg5B+ tg5C 9 (tgA+tgB+tgC)
Bài III (4 điểm)
Tìm quỹ tích điểm M(x; y) có toạ độ thoả mãn hệ:
y sin x 3 3 y cos y cos
x 1 4 x
x 5 3
Bài IV (4 điểm)
Tìm tham số a (a 0) để bất phơng trình a3x4+6a2x2-x+9a+3 0
nghiệm đúng với x [2008; 2009]
Bài V (4 điểm)
Trong hệ toạ độ Oxy cho Hypebol (H) có phơng trình: xy=k2 (k0) Một đờng tròn (C) tâm J cắt (H) tại 4 điểm A1, A2 , A3 , A4 Chứng minh:
1 Nếu J thuộc A1A3 thì O thuộc A2A4
2 Các trực tâm của 4 tam giác A1A2A3 , A1A2A4 , A1A3A4 , A2A3A4
cùng nằm trên một đờng tròn
Trang 5sở gD-ĐT hà nội kỳ thi học sinh giỏi thành phố-lớp 12
Năm học 2003-2004
Môn thi: Toán
Ngày thi: 5 - 12 - 2003 Thời gian làm bài: 180 phút
Bài I (4 điểm)
Biện luận theo tham số a số nghiệm của phơng trình: (n+2)xn+3 - 2003(n+3) xn+2 + an+3 = 0 ( với n là số tự nhiên lẻ)
Bài II (4 điểm)
Cho đờng cong (C) có phơng trình y = - x4 + 4x2 - 3 Tìm m và n để đ-ờng thẳng y = mx + n cắt đđ-ờng cong (C) tại 4 điểm phân biệt A, B, C, D
( theo thứ tự ) sao cho AB = CD = BC
2
Bài III (4 điểm)
Cho tam giác ABC có trọng tâm G Gọi R và R’ lần lợt là bán kính của
đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC và đờng tròn ngoại tiếp tam giác có độ dài
3 cạnh là GA, GB, GC Chứng minh rằng nếu có :
9R’ = 2R(sinA + sinB + sinC) thì tam giác ABC đều
Bài IV (4 điểm)
Giải các phơng trình:
1) 2cosx + sin19x - 5 2 = sin21x - 3 2sin10x
2) 32x5 - 40x3 + 10x - 3 = 0
Bài V (4 điểm)
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho Parabol (P) : y2 = 2px (p > 0), tiêu
điểm là F Từ một điểm I kẻ 2 đờng thẳng tiếp xúc với (P) tại M và N
1) Chứng minh rằng FIM đồng dạng với FNI
2) Một đờng thẳng (d) tuỳ ý tiếp xúc với (P) tại T và cắt IM, IN tại Q và Q’ Chứng minh rằng
FT
' FQ FQ
không phụ thuộc vào vị trí của (d)
Trang 6sở gD-ĐT hà nội kỳ thi học sinh giỏi thành phố-lớp 12
Năm học 2004-2005
Môn thi: Toán
Ngày thi: 3 - 12 - 2004 Thời gian làm bài: 180 phút
Bài I (4 điểm)
3
m ) x ( g
; 1 x 5
4 mx ) x
(C) và (C’) Hãy tìm tham số m để tồn tại 4 đờng thẳng khác nhau, song song với trục tung và mỗi đờng trong chúng đều cắt (C) và (C’) tại 2 điểm sao cho tiếp tuyến tơng ứng tại 2 điểm đó song song với nhau
Bài II (4 điểm)
Cho bất phơng trình: x x x 2 x 2 ax 2 x a 2 x x x 2
1 Giải bất phơng trình khi a=-1
2 Tìm a để bất phơng trình có nghiệm x>1
Bài III (4 điểm)
Giải phơng trình: cos x sin x (x) 3 9 4 (x)
2 2
2 3
2 2
2
Bài IV (4 điểm)
Một tứ giác có ba cạnh bằng 1 và diện tích bằng
4
3
3 Hãy tính cạnh còn lại và độ lớn các góc của tứ giác
Bài V (4 điểm)
Cho khối tứ diện DABC có DA=a, DB=b, DC=c đôi một vuông góc với nhau Một điểm M tùy ý thuộc khối tứ diện
1 Gọi các góc tạo bởi tia DM với DA, DB, DC là α, β, γ
Chứng minh: sin2α + sin2β + sin2γ = 2
2 Gọi SA, SB, SC, SD lần lợt là diện tích các mặt đối diện với các đỉnh A, B,
C, D của khối tứ diện Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Q=MA.SA+ MB.SB + MC.Sc + MD SD
Trang 7sở giáo Dục & Đào tạo hà nội
kỳ thi học sinh giỏi thành phố-lớp 12
Năm học 2005-2006
Môn thi: Toán
Ngày thi: 01 - 12 - 2005 Thời gian làm bài: 180 phút
Bài I (4 điểm)
3
5 m ( x
Chứng minh rằng phơng trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của tham số m
Bài II (4 điểm)
Gọi A, B, C là 3 góc của tam giác ABC, chứng minh bất đẳng thức:
4
A 3 C sin 4
C 3 B sin 4
B 3 A
Bài III (4 điểm)
Giải hệ phơng trình:
2 2005 2006 0 2004
0 ) y 2005 x
12 1 )(
y x 2 1 ( 1 y x 2
2 x
1 y
x
2
Bài IV (4 điểm)
Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đờng tròn bán kính R Gọi diện tích tứ giác là S và độ dài các cạnh là AB=a, BC=b, CD=c, DA=d
1 Chứng minh đẳng thức: (4RS)2=(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)
2 Chứng minh rằng nếu 4(SR)4 = (abcd)3 thì tứ giác là hình vuông
Bài V (4 điểm)
Hình chóp S.ABC có các cạnh bên đôi một vuông góc và SA=a, SB=b, SC=c Gọi A’, B’, C’ là các điểm di động lần lợt thuộc các cạnh SA, SB, SC nhng luôn thỏa mãn SA.SA’=SB.SB’=SC.SC’ Gọi H là trực tâm của tam giác A’B’C’ và I là giao điểm của SH với mặt phẳng (ABC)
1 Chứng minh mặt phẳng (A’B’C’) song song với một mặt phẳng cố định
và H thuộc một đờng thẳng cố định
2 Tính IA2+IB2+IC2 theo a, b, c
hết
Sở Giáo dục và Đào tạo Hà Nội
Kỳ thi chọn đội tuyển Học Sinh Giỏi lớp 12 thành phố
năm học 2006-2007
Môn thi: Toán Ngày thi: 28 tháng 11 năm 2006 Thời gian làm bài: 180 phút Câu I (4 điểm)
Giải hệ phơng trình sau:
Trang 8
0 y x y x 2 y
2 y x x
2 2
2 2
Câu II (4 điểm)
Cho , R Chứng minh rằng nếu tập hợp
A, = cos( n ) cos( n ) 0 n Z
là hữu hạn thì và là các số hữu tỷ
Câu III (4 điểm)
Tìm tất cả các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn phơng trình :
2x4 + 1 = y2
Câu IV (4 điểm)
Cho tam giác ABC và M là một điểm tùy ý nằm ở miền trong của tam giác đó Chứng minh rằng:
min MA, MB, MC MA MB MC AB BC CA
Câu V (4 điểm)
Cho dãy số thực (xn) với n N* thỏa mãn các điều kiện sau:
x x 3 x
) 0 a , R a ( a x
1 n 1
n 1
n 1 2 Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dơng n0 sao cho x n0> 2006 !
Hết